第四章平面的投影

第一節(jié)平面的表示方法及各類平面的投影特性一、平面的表示方法不在同一直線上的三點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)兩平行直線兩相交直線平面圖形●●●●●●abcabc(1)●●●●●●abcabc(2)abcabc●●●●●●d●d●(3)abcabc●●●●●●(4)abcabc●●●●●●(5)二、各類平面的投影特性平面平行投影面積聚性平面垂直投影面存真性

平面傾斜投影面類似性投影就把實(shí)形現(xiàn)投影積聚成直線投影類似原平面1.平面在一個(gè)投影面上的投影特性平行垂直傾斜2.三投影面體系中平面的位置⊥某一投影面／另兩投影面投影面垂直面正垂面鉛垂面?zhèn)却姑妗文骋煌队懊妗土韮赏队懊嫱队懊嫫叫忻嬲矫嫠矫鎮(zhèn)绕矫妫队懊嫱队懊鎯A斜面特殊位置平面一般位置平面XYZOVHWp3.各類平面的投影特性★投影面的垂直面⊥H——積聚成直線與V、W傾角β、γ／V、W——類似形投影特性ppPZXYHYWOpppβγ鉛垂面XYZOVHW正垂面投影特性⊥V——積聚成直線與H、W傾角α、γ

／H、W——類似形pPPpZXYHYWOpppαγPXYZOVHW側(cè)垂面投影特性⊥W——積聚成直線與V、H傾角α、β／V、H——類似形pPPpZXYHYWOppαβPp投影特性★⊥某一投影面——積聚成直線

★反映與另兩投影面的傾角★／另兩投影面——類似形ZXYHYWOpppβγZXYHYWOpppαγPZXYHYWOppαβPp鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫱队懊娴拇怪泵鎄YZOVHWp★投影面的平行面投影特性∥H——實(shí)形⊥V、W——積聚成直線

均水平ppZXYHYWOpppP水平面XYZOVHW投影特性∥V——實(shí)形⊥H、W——積聚線

H上水平

W上豎直pppPZXYHYWOppp正平面XYZOVHW投影特性

∥W——實(shí)形

⊥V、H——積聚成直線

均豎直p側(cè)平面ppPZXYHYWOppp投影面的平行面投影特性

★

∥某一投影面——實(shí)形

★

⊥另兩投影面——積聚成直線

∥坐標(biāo)軸

ZXYHYWOpppZXYHYWOpppZXYHYWOppp側(cè)平面水平面

正平面

一般位置平面投影特性／V、H、W——均為類似形XYZOVHWpppZXYHYWOpppP第二節(jié)平面內(nèi)的直線和點(diǎn)直線在平面內(nèi)的幾何條件（定理）

一、平面內(nèi)的直線定理一過平面內(nèi)兩點(diǎn)定理二

過平面內(nèi)一點(diǎn)

且平行平面內(nèi)一直線例1已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線?！舾鶕?jù)定理（兩點(diǎn)）cabbcadmnnmdabcbca●●◆在AB、AC上各取一點(diǎn)◆求兩點(diǎn)的投影◆過兩點(diǎn)同面投影作直線●●◆根據(jù)定理（一點(diǎn)、一線）根據(jù)平行投影特性◆過c作cd∥ab◆過c作cd∥ab★解一★解二例2在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。nmnm10cabcab★分析◆作水平線MN正面投影mn∥OX◆距H面10mmz＝10mm★作圖◆z＝10作水平線得m、n◆作m、n◆連線●●●●點(diǎn)在平面上的幾何條件（定理）必在該平面內(nèi)的一條直線上

二、平面內(nèi)的點(diǎn)bbk●accak●dk●d平面的積聚性面內(nèi)作輔助線例3已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。k●abcbcabbaccabacOXYWYHZ例4在已知平面內(nèi)作一點(diǎn)D，使其距H面22，距W面20。習(xí)題集P29，19d●2022◆先作d◆過c、d作直線交a

b于1，求1◆求作d1●●1◆求作d

作1c，過d作垂線●d●d例5已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。bckadadbckadadbcbc◆AC正平線→ac∥OX◆求c、b◆連線◆求c，連dc，過c作線∥ad◆過a作線∥cd，求b◆連線●●★解法一★解法二第三節(jié)平行問題平行一、直線與平面平行直線與平面平面與平面定理直線平行平面上的某一直線則必平行該平面例6過M點(diǎn)作平行平面ABC的直線MN?！锓治觥糇鱉N∥ABC只要∥面內(nèi)直線n●●acbmabcmn◆平行投影定理★作圖◆作面內(nèi)直線投影◆作同面投影平行線無數(shù)解多少解？例7過M點(diǎn)作平行V面及平面ABC的直線MN?！锓治觥糇鱉N∥Vmn∥OX◆平行投影定理★作圖◆作mn、面內(nèi)ad◆作面內(nèi)ad唯一解多少解？nnc●●bamabcm◆作mn∥ad●dd●二、兩平面平行cfbdeaabcdefhabcdefhabcdef★兩平面內(nèi)兩相交直線對(duì)應(yīng)平行兩投影面垂直面相互平行★兩平面必平行積聚性的投影必平行例8平面ABC與DEF相互平行，完成平面DEF的投影。OXa●dbbcfaedcef2121★過a作a1∥ef——作a1★過1作12∥de——作12★過d作線∥12——求e★過e作線∥a1——求f★連接de、ef習(xí)題集P30，26feeb●OXggfdaca例9已知平面P（AB∥CD）平行三角形EFG，試完成平面P的投影。習(xí)題集P30，25●●◆過e作cd平行線交fg于1◆過a作1e平行線過b作垂線求b◆加粗ab、cdbdc●●1212◆求作1，連接1e

◆連接cb過e作cb平行線交fg于2

◆求作2，連接2e

◆過b作2e平行線過c作垂線求c◆過c作ab平行線過d作垂線求d第四節(jié)相交問題相交直線與平面平面與平面一、直線與平面相交交點(diǎn)——直線與平面的共有點(diǎn)

重點(diǎn)★求直線與平面的交點(diǎn)★判斷可見性例10求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K，并判斷可見性?！锓治觥鬭bc——直線

ABC⊥H面——鉛垂面◆mn與之交點(diǎn)——k★求交點(diǎn)◆作k◆判斷可見性kn在前——kn可見bbacmncnamk1(2)k●2●1●●★判斷可見性——根據(jù)重影點(diǎn)判斷1k（面）在前2k（線）在后2k不可見●1.至少其一處特殊位置例11求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K，并判斷可見性?！锓治觥鬽(n)——點(diǎn)MN⊥H面——鉛垂線◆

k也在此點(diǎn)★求交點(diǎn)◆作k★判斷可見性◆取點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ的1、2Ⅰ在面，在前——可見Ⅱ在線，在后——不可見kbm(n)●mncbaac1(2)k●2●1●●k2不可見K以下——面在前，可見K以上——線在前，可見另一判斷方法●OXe(f)abcabcfe例12求直線EF與已知平面的交點(diǎn)，并判斷可見性。習(xí)題集P31，28kk●★分析

◆交點(diǎn)以下EF在上、可見◆ABC——一般位置EF——正垂線◆過a、k作線交bc于1，求作1

◆交點(diǎn)以上

ABC在上、可見◆交點(diǎn)k與e(f)重合

★求作交點(diǎn)

1●1●◆連接1a，求作k

★判斷可見性

END作業(yè):

習(xí)題集P28——16、17(a)、（b)P29——18、19、20P30——22～27下次課內(nèi)容——線面相交面面相交2.一般位置線面相交一般位置線面相交

求交點(diǎn)——無積聚性投影可利用求交點(diǎn)步驟★

含已知直線作特殊位置輔助平面★

求輔助平面與已知平面的交線輔助平面法★

求交線與已知直線的交點(diǎn)eacbbcfefa例13求直線EF與平面ABC的交點(diǎn)K，并判斷可見性。★分析◆線、面——一般位置◆過EF作正垂面QV★求交點(diǎn)◆求Q與ABC的交線ⅠⅡqv1kk122◆求Ⅰ、Ⅱ與EF的交點(diǎn)K即所求交點(diǎn)K●●●●●●作輔助平面解一Ⅰ、Ⅱ在Q、ABC上交ABC于AB、BC上eacbbcfefa例13求直線EF與平面ABC的交點(diǎn)K，并判斷可見性?！锓治觥艟€、面——一般位置◆過EF作鉛垂面PH★求交點(diǎn)◆求P與ABC的交線ⅠⅡPH1kk122◆求Ⅰ、Ⅱ與EF的交點(diǎn)K即所求交點(diǎn)K●●●●●●作輔助平面解二Ⅰ、Ⅱ在P、ABC上交ABC于AB、AC上例13求直線EF與平面ABC的交點(diǎn)K，并判斷可見性?！锱袛嗫梢娦浴衾弥赜包c(diǎn)◆作重影點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ11(2)3(4)Ⅰ在面，在前——可見Ⅱ在線，在后——不可見243◆作重影點(diǎn)Ⅲ、ⅣⅢ在面，在上——可見Ⅳ在線，在下——不可見2k在后——不可見4k在下——不可見ek在前——可見fk在上——可見eacbbcfefkk●●a●●●●●●上次課重點(diǎn)★各類平面的投影特性（特殊、一般）★平面上的直線（兩點(diǎn)、一點(diǎn)一線）★平面上的點(diǎn)（在面內(nèi)直線上）★直線與平面平行（平行面內(nèi)直線）★平面與平面平行（相交直線對(duì)應(yīng)平行、積聚性投影平行））★直線與平面相交（至少一個(gè)特殊位置）（共有點(diǎn)、可見性）二、平面與平面相交交線——直線

兩平面的共有線交線上的點(diǎn)——兩平面的共有點(diǎn)重點(diǎn)★求平面與平面的交線★判斷可見性方法★求兩平面的兩共有點(diǎn)★一共有點(diǎn)及交線方向abcdefcfbead例14求兩平面的交線MN，并判斷可見性。★分析◆ABC、DEF⊥V——正垂面◆交線——正垂線V面積聚成點(diǎn)★求交線◆作交線

mn★判斷可見性交線左，ABC在上——可見交線右，DEF在上——可見m(n)nm●如何判斷？從V面投影●●1.至少其一處特殊位置例15求兩平面的交線MN，并判斷可見性。bcfgaeabcefg1(2)mn2●nm●1●★分析◆efg直線且∥OXEFG——水平面◆ab交efg于m★求交線◆作交線mn★判斷可見性

Ⅰ在FG上，在上——可見

Ⅱ在BC上，在下——不可見

mn——MN正面投影共有點(diǎn)投影bc交efg于n

●FG在上——可見2n在下——不可見●●●◆利用重影點(diǎn)

交線之上——ABC可見；交線之前——EFG可見例16求兩平面的交線MN，并判斷可見性?！锓治觥鬴de直線

DEF⊥V面——正垂面◎M在AB上、DEF面內(nèi)★求交線◆求交點(diǎn)★判斷可見性◆fde以上

mb、bk、fd、dn

——可見◎N在DE上、ABC面內(nèi)mk與de交點(diǎn)——n◎K在BC上、DEF面外

nnmkmkcdefababcdef●●●●◆fde以下

am、ac、ne、fe

——部分不可見●●Xabcdefga’b’c’e’f’d’g’O例17求三角形ABC與矩形DEFG的交線，并判斷可見性。1’n1習(xí)題集P31，31mn’m’★分析ABC——一般位置DEFG——水平面◎交線MN——水平線∥AB★求交線◆求DG、DE與ABC交點(diǎn)M、N★判斷可見性ac、bc、dm、dn

——可見ab、gm、en

——不可見◎作水平線交a’b’于1’，求1◎作ab平行線分別交dg、de于m、n◎求m’、n’例18過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABCD（AB∥CD）以及平面DEF。n’m’a●ag●bdcgfebdcfemn●1●2●1’●2’★分析◆MN∥面內(nèi)直線◆求兩平面交線★求作兩平面交線◆ABCD——鉛垂面◆EFG——一般位置◆兩平面相交◆作MN∥交線◆交線投影12已知◆求作1’2’

★作MN投影◆作mn∥12◆作m’n’∥1’2’

兩平面是如何相交的呢？例19求平面ABC與平面DEF的交線MN，并判斷可見性。eacbabcedfdf★分析●一般位置平面●過DE作正垂面QV★求交線●連接mn、mn得所求交線MN◆作交線共有點(diǎn)M◆Q、ABC交Ⅰ、Ⅱ