第十五章勒讓德多項式2/5/20231拉普拉斯方程的解稱為調和函數(shù)。如果用球坐標和圓柱坐標來表示拉普拉斯方程,則分別得到球面調和函數(shù)和圓柱調和函數(shù),或者簡稱為球面函數(shù)和圓柱函數(shù)，球面函數(shù)中含有勒讓德多項式，圓柱函數(shù)中包括貝塞耳函數(shù)本章將介紹特殊函數(shù)。先導出它的常微分方程,然后用冪級數(shù)解法求出特殊函數(shù),再通過母函數(shù)來討論各階特殊函數(shù)之間的遞推關系。最后證明特殊函數(shù)的正交性和歸一性,并敘述展開定理2/5/20232§1勒讓德微分方程及勒讓德多項式§15.1.1.勒讓德微分方程的導出在第十一章中,我們對球形區(qū)域曾經(jīng)提出過狄利克雷問題(15.1)(15.2)其中得到球坐標系統(tǒng)下的拉普拉斯方程其中R為已知正數(shù)，引入球坐標變換2/5/20233而邊界條件(15.2)變?yōu)?15.2)’用乘之,并移項,得令代入方程(15.1)’得對電場中導體球的討論,即可歸結為這樣的定解問題2/5/20234于是有(15.3)(15.4)其中λ為泛定常數(shù),(15.4)的解與半徑r無關,故稱為球面函數(shù),或簡稱為球函數(shù)兩端乘以并移項,再令得再令代入(15.4)得2/5/20235于是我們有(15.5)(15.6)(15.6)’方程(15.6)’稱為連帶勒讓德微分方程,取m=0,則得所謂的勒讓德微分方程習慣上常令于是方程(15.6)變?yōu)?/5/20236(15.7)§15.1.2.冪級數(shù)解和勒讓德多項式的定義在常微分方程的解析理論中,一個標準形式的二階線性常微分方程的系數(shù)p(z)和q(z)如果都在某點z0解析,則z0稱為方程的常點;只要p(z)和q(z)之一在z0點不解析,則z0就稱為方程的奇點可以證明,當z0為常點時,方程具有線性無關的兩個整冪級數(shù)解.其收斂半徑等于與z0最近的方程的奇點到z0的距離2/5/20237(15.8)把(15.7)改寫為2/5/20238并稱之為n階勒讓德微分方程，如果再把它化為標準形式,立即看出x=0是方程的常點,因此,在x=0的領域內,方程的解可以表示為冪級數(shù)形式(15.9)(15.10)(15.11)把(15.9),(15.10)和(15.11)代入方程(15.8),得到其中ck為待定系數(shù).對(15.9)逐項求導,得2/5/20239因上式對x是一個恒等式,故x的各次冪的系數(shù)均必須為零,遂得從而得ck的循環(huán)公式2/5/202310(15.12)將(15.12)代入(15.9),則得方程(15.8)的含有兩個任意常數(shù)c0和c1的通解(15.13)利用循環(huán)公式(15.12)立即得級數(shù)y0(x)和y1(x)的收斂半徑2/5/202311容易看出,當n為偶數(shù)時,y0(x)是一個多項式,可以證明y1(±1)發(fā)散.此時,取c1=0,則得微分方程在閉區(qū)間[-1,1]上的有界非零解,或者滿足自然邊界條件的非零解.同理,當n為奇數(shù)時,y1(x)是一個多項式,可以證明y1(±1)發(fā)散.此時,取c0=0,亦得在[-1,1]上的有界非零解,或者滿足自然邊界條件的非零解通常把這種多項式的最高次方冪xn的系數(shù)規(guī)定然后稱之為勒讓德多項式，并用Pn(x)表示之.Pn(x)的表達式可以如下導出：由(15.12)，令k=n-2,得2/5/202312同樣,得2/5/202313借用數(shù)學歸納法,可證(15.14)下面給出前六個勒氏多項式的明顯表達式，并畫出P1(x),P2(x),P3(x)和P4(x)的圖形(x=cos)其中[n/2]表示不大于n/2的最大整數(shù)，于是得2/5/202314總結以上敘述,勒讓德方程(15.7)和解在x=±1有界的自然邊界條件構成一個常微分方程的邊值問題,n(n+1)(n=0,1,2,…)即是該問題的特征值，勒讓德多項式即是相應的特征函數(shù),也就是我們所求的有界非零解?？梢宰C明，n階勒讓德方程的與Pn(x)線性無關的所有其他解，當x=±1時必為無窮大顯然2/5/202315§15.1.3.勒讓德多項式的微分表達式—洛德利格公式為了討論問題和計算上的方便,我們介紹勒氏多項式的另一種表示法,即所謂的洛德利格公式證

按二項式展開,有因此2/5/2023162/5/202317§15.1.4.勒讓德多項式的施列夫積分表達式設由哥西積分公式(3.9),得因為故2/5/202318于是得勒氏多項式的施列夫利積分表達式或簡稱為施氏積分2/5/202319§2勒讓德多項式的母函數(shù)及其遞推公式§15.2.1.勒讓德多項式的母函數(shù)本節(jié)我們用另一種方法—母函數(shù)數(shù)方法—來產(chǎn)生勒氏多項式。由于勒氏多項式從拉普拉斯方程而來,因此,不妨從拉普拉斯方程的基本解出發(fā)考慮問題,如下圖(變點)(定點)令則現(xiàn)在討論函數(shù)2/5/202320其中z為復變數(shù),而x為絕對值不大于1的參數(shù)，因此,G(x,z)在單位圓|z|<1內是解析函數(shù)。由復變函數(shù)論可知,當|z|<1時,有作自變量代換它把復變數(shù)z變?yōu)閺蛿?shù)u,C是單位圓內包圍原點z=0的封閉曲線.由于1/r是拉普拉斯方程的解,而cn(x)又只與x(或者說,只與θ)有關,故cn(x)似應為勒氏多項式.事實上,可以嚴格推證如下其中2/5/202321顯然,z平面上的點O對應于u平面上的點x,z沿C走一圈時,對應地,u圍繞點x也沿某條封閉曲線C’走一圈,因此,于是有2/5/202322(15.16)所以,人們把G(x,z)(或者1/r)稱為勒讓德多項式的母函數(shù),這里補充說明，在前節(jié)中，把勒氏方程的多項式解的最高次冪的系數(shù)規(guī)定為正好使與(15.16)式中的展開系數(shù)完全一致借助于(15.16),也可以推出Pn(x)的表達式,例如2/5/202323§15.2.2.勒讓德多項式的遞推公式利用展開式(15.16),不難證明勒氏多項式滿足以下的遞推公式(15.17)(15.18)(15.19)(15.20)(15.21)證

首先,對(15.16)式的兩端先后關于z,x求導,得2/5/202324乘(15.20)以z,乘(15.21)以(x-z),然后相減,得此式兩端關于z的同次冪項的系數(shù)應相等,于是當時,有即(15.18)式.

其次,用(1-2xz+z2)乘(15.20),得比較兩端的系數(shù),即得(15.17)式.在(15.17)中,對x求導,得用n乘(15.18),再與此式相加,約去因子(n+1)之后,即得(15.19)式2/5/202325§3按勒讓德多項式展開我們在討論付氏級數(shù)時,曾經(jīng)注意到,一個三角函數(shù)序列的正交性和歸一性是使它成為一個坐標函數(shù)系的兩個重要性質.同理,要討論一類函數(shù)按勒氏多項式的付氏展開問題時,也必須首先考察勒氏多項式的正交性和歸一性2/5/202326§15.3.1.勒讓德多項式的正交性

定理15.1.勒氏多項式序列在區(qū)間[-1,1]上正交,即(15.22)用Pn乘前式,Pm乘后式,然后相減,并積分,得

證分別滿足方程2/5/202327因故2/5/202328§15.3.2.勒讓德多項式的歸一性定理15.2.(15.23)

證

今用數(shù)學歸納法加以證明，因為故n=1時,(15.23)式成立.今設n=m時成立,則由遞推公式(15.17)得2/5/202329再在(15.17)中,令n=m+1,得故代入上式,則得2/5/202330即(15.23)式當n=m+1時亦成立.又n=0時(15.23)是明顯成立的,于是整個定理得證.故稱為Pn(x)的歸一因子，勒氏多項式乘上歸一因子之后,即得一個在區(qū)間[-1,1]