注：摘自《奧數(shù)標(biāo)準(zhǔn)教程+習(xí)題精選+能力測(cè)試三合一》（六年級(jí)分冊(cè)第12講）北大出版社，陳拓著。第72講圖形標(biāo)數(shù)法與卡特蘭數(shù)1.圖形標(biāo)數(shù)法如圖1.在4x5的方格表中，從左下角兒到右上角B的最短路線有多少條?圖］ 圖2 圖3這是基本的最短路線問題，可以采用標(biāo)數(shù)法.從4到S需要橫著走5條線段，豎著走4條線段，對(duì)于每個(gè)基本的方格的右上角頂點(diǎn)，可以從左邊再走一步，因此包括左邊的“種走法；也可以從下邊向上再走一步，也包括下邊的/，種走法.根據(jù)加法原理，到每個(gè)右上角有（u+6）種最短路線，如圖2.具體如圖3標(biāo)出.所以,從4到E的最短路線有126條.本題還有一種組合的解法.1）從4到E的最短路線共有9步，其中5橫4豎.它們構(gòu)成的任 ——F意一種排法，都對(duì)應(yīng)一條最短路線.如“橫橫縱橫縱縱橫橫縱”，即圖4中的粗線. 2）根據(jù)相同對(duì)象排列，共有C；=126種. 月圖42.卡特蘭數(shù)卡特個(gè)數(shù)又稱為卡塔絲數(shù)，是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)的計(jì)數(shù)問題，用比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁?查理?卡特子的名字加以命名.對(duì)于一個(gè)數(shù)列與嗎，的，…%T,把它逆序排列成4_i ，…，4，然后對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到n個(gè)乘積的和叫作逆序乘積之和，簡稱逆序和.記作：%=?o +?iXan_2+a2Xan_3+??+a?,2X%+an_iXa0.設(shè)q=1時(shí)，則第12講圖形標(biāo)數(shù)法與卡特蘭數(shù)%=a0Xa0 =1 X1=1,a2=xa\ +% xa0=1x1+1x 1=2,=a0xa2 + xai+a2 xa0=\ x2+ 1 x 1 +2x1 =5,a4=a0xa3 + x+a-, xaA+a3xa0 = 1 x 5 +1 x 2+2x1+5x1=14,如此，得到卡特蘭數(shù)列為1,1,2,5,14,42,132,…卡特蘭數(shù)的另一種表示方法為4=一二加,（〃20）.卡特蘭數(shù)與階梯最短路線標(biāo)數(shù)法一一對(duì)應(yīng)，如圖1所示.卬二5卬二5為什么階梯標(biāo)數(shù)法與卡特蘭數(shù)的結(jié)果相同呢？下面以5個(gè)1和5個(gè)。組成的十位數(shù)中，符合從左到右1的個(gè)數(shù)始終不少于。的個(gè)數(shù)的十位數(shù)共有多少個(gè)？推導(dǎo)過程如下.把1用一橫表示，把0用一豎表示.則符合條件的十位數(shù)就是圖2中從4到B的最短路線條數(shù).1）我們想從圖3中的最短路線的條數(shù)中排除一部分，從而就得到所求的結(jié)果.符合條件的就是圖4中線段加以下的從4到8的最短路線的條數(shù).圖3的最短路線有C：o=252條，排除圖5中的穿過線段A8的最短路線條數(shù).2）對(duì)圖5中的穿過AB的路線做出以下調(diào)整.當(dāng)最短路線第一次越過線段AB后（保留這次），把后面橫線變豎線，同時(shí)把豎線變橫線，如圖5中的粗線對(duì)應(yīng)圖6中的粗線.這樣就會(huì)發(fā)現(xiàn)，穿過的最短路線與從4到"的最短路線一一對(duì)應(yīng).也就是說，圖3中的最短路線條奧數(shù)六年級(jí)標(biāo)準(zhǔn)教程+習(xí)題精選+能力測(cè)試三合一數(shù)中不符合的最短路線(穿過，仍的路線)對(duì)應(yīng)圖6中4x6的方格表中從4到"的最短路線條數(shù)，共有C；。=210條.所以，圖2中的最短路線有C：。-C：。==21。條.o一般地，〃個(gè)〃與〃個(gè)排成的2〃個(gè)字母串中，從左至右。的個(gè)數(shù)不少于/)的個(gè)數(shù)的字母另外，〃個(gè)Q、〃個(gè)以〃個(gè)C排成的3〃個(gè)字母串中，從左至右。的個(gè)數(shù)不少于〃的個(gè)數(shù),且b的個(gè)數(shù)不少于c的個(gè)數(shù)的字母串個(gè)數(shù)為--(29M—―.n!x(n+l)!x(n+2)j〃個(gè)a、〃個(gè)〃、〃個(gè)c、〃個(gè)“排成的4〃個(gè)字母串中，從左至右a的個(gè)數(shù)不少于〃的個(gè)數(shù),且的個(gè)數(shù)不少于。的個(gè)數(shù)，c的個(gè)數(shù)不少于d的個(gè)數(shù)的字母串個(gè)數(shù)為12x(4〃)！n!x(n+1)!x(〃+2)!x(n+3)!3如右圖，按照向右或向上的方向，沿著方格線從4點(diǎn)走到3 |||||一點(diǎn)，其中C點(diǎn)不能通過，共有 種不同的走法. Q——【分析】行走方向確定，相當(dāng)于求從4到8的最短路線.采用標(biāo)數(shù)4III-A法，C點(diǎn)不能通過，可以在此處先標(biāo)記0.【解答】如下圖，先在c處標(biāo)記0,然后從左下角到右上角標(biāo)數(shù)，得到不同的走法共66種.15 252611另解：本題可以先考慮從4到8的最短路線條數(shù)，然后減去經(jīng)過點(diǎn)。的最短路線條數(shù),得到不同走法《-C；x=126-10x6=66條.【評(píng)注】本題給出的是行走的方向，并沒有向下和向左的可能，不能走“I可頭路”，所以所求是從4到8的最短路線條數(shù).第12講圖形標(biāo)數(shù)法與卡特蘭數(shù)@）如右圖，從4到8的最短路線共有@）如右圖，從4到8的最短路線共有【分析】此題圖形非不完整的矩形，就采用圖形標(biāo)數(shù)法吧.【解答】如下圖標(biāo)數(shù)，得到從4到3的最短路線共有42條.【評(píng)注】本題采用標(biāo)數(shù)法求得最短路線條數(shù).想一想，此題還可以再用組合法嗎?【解答】如右圖，從/1到N的最短路線有髭條.從N到M的最短路線有C；條.從M到B的最短路線有C；條.根據(jù)乘法原理，得到符合條件的走法共有C；xC：xC；=150種.【評(píng)注】小河上只有MN一座獨(dú)木橋，如果從4到N標(biāo)數(shù)，就是在2x4的長方形中標(biāo)數(shù)，同時(shí)在從時(shí)到3標(biāo)數(shù)，就是在2x3的長方形標(biāo)數(shù).可以試一試在下圖的虛線中標(biāo)數(shù)，得到正確答案.掃我聽課掃我聽課按右圖中箭頭所示的方向行走，從4點(diǎn)走到8點(diǎn)的不同路線共有條，港奧數(shù)六年級(jí)標(biāo)準(zhǔn)教程+習(xí)題精選+能力測(cè)試三合一【分析】按箭頭方向進(jìn)行標(biāo)數(shù)，分析每個(gè)點(diǎn)上的標(biāo)數(shù)是哪些數(shù)之和.【解答】如圖標(biāo)數(shù)，得到從人點(diǎn)走到3點(diǎn)的不同路線共有55條.【評(píng)注】本題按箭頭方向行走，得到每個(gè)點(diǎn)處的標(biāo)數(shù).這些標(biāo)數(shù)是不是很熟悉，排成一排看看.1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.它是斐波那契數(shù)列的前幾項(xiàng)嗎？掃我聽課掃我聽課。如圖是中國象棋棋盤的一部分.象棋中的“車”必須走直線（走幾個(gè)邊長都可以，就是不能拐彎）.如果一個(gè)“車”從4出發(fā)到&且路線最短，那么共有――—―種不同的走法.（“車”行兩個(gè)邊長，可以兩步，每步一個(gè)邊 長.也可以一步，一下子走兩個(gè)邊長，算不同的走法.） 力1~~~~【分析】“車”走直線.對(duì)于每個(gè)格點(diǎn)，這個(gè)格點(diǎn)左邊的每個(gè)點(diǎn)都可以是“車”倒數(shù)第二步的位置，然后一下子到達(dá)該點(diǎn).同樣，這個(gè)點(diǎn)下邊的每個(gè)點(diǎn)也是如此.因此，到達(dá)每個(gè)格點(diǎn)的走法包括其左邊和下邊所有點(diǎn)的走法，是它們所有走法的和.【解答】如下圖，根據(jù)分析，采用圖形標(biāo)數(shù)法，得到“車”從4到3的走法有94種.2512【評(píng)注】本題采用圖形標(biāo)數(shù)法，根據(jù)實(shí)際情況，調(diào)整原來兩個(gè)之和的一般標(biāo)數(shù)法.這里是每個(gè)點(diǎn)前面和下面所有點(diǎn)的標(biāo)數(shù)之和.除了掌握基本的標(biāo)數(shù)法以外，要學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際情況修改調(diào)整標(biāo)數(shù)方法.,其中一個(gè)盒子放有4個(gè)相同的紅球，另個(gè)盒子放有,其中一個(gè)盒子放有4個(gè)相同的紅球，另個(gè)盒子放有3個(gè)相同的黃球.現(xiàn)在從兩個(gè)盒子中把球全部取走.取球方法如下：①每次從一個(gè)盒子里取球，所取球數(shù)目不限；②每次從一個(gè)盒子里取球，每次最多取兩個(gè)球;

第12講圖形標(biāo)數(shù)法與卡特蘭數(shù)③每次從兩個(gè)盒子里各取一個(gè)球.那么，如果按要求①把球取完，共有種不同的取球順序；如果按要求②③把球取完，共有 種不同的取球順序.【分析】可以把紅球看作一段“橫線”，把黃球看作一段“豎線”.這樣構(gòu)造一個(gè)3x4的方格表.根據(jù)條件進(jìn)行標(biāo)數(shù).【解答】畫出3x4的方格表，滿足條件①，每個(gè)格點(diǎn)處的標(biāo)數(shù)是其左邊和下邊所有點(diǎn)上所標(biāo)數(shù)之和.如圖1所示，從4到8的不同走法有289條，對(duì)應(yīng)289種不同的取球順序.畫出3x4的方格表，并畫出每個(gè)小正方形從左下到右上的對(duì)角線.根據(jù)條件②，每個(gè)點(diǎn)所標(biāo)數(shù)包括其左邊最近的兩個(gè)點(diǎn)和下邊最近的兩個(gè)點(diǎn)上的標(biāo)數(shù).根據(jù)條件③，可以從單位小正方形的左下角到該點(diǎn)，表示每次從兩個(gè)盒子里各取一個(gè)球.所以，每個(gè)點(diǎn)上的標(biāo)數(shù)來自其左邊兩個(gè)點(diǎn)、下邊兩個(gè)點(diǎn)，左下角一個(gè)點(diǎn)處的標(biāo)數(shù)之和（最多是5個(gè)標(biāo)數(shù)之和）.如圖2所示，共計(jì)有417種不同的取球順序.4 12 37 106 289圖14 12 37 106 289圖1【評(píng)注】對(duì)應(yīng)法是計(jì)數(shù)問題中常用的技巧.把看似麻煩的問題，做出一個(gè)合理的對(duì)應(yīng)，使所求問題的每種情況，對(duì)應(yīng)新問題的每種情況.同時(shí)每種新問題的一種情況也一定對(duì)應(yīng)著原來問題的已知情況，這樣就是一一對(duì)應(yīng)了.所求問題的計(jì)數(shù)情況，就可以轉(zhuǎn)化為新問題的計(jì)數(shù)情況.這種具有附加條件的標(biāo)數(shù)法，需要靈活掌握.如果題目要求滿足條件①③，可以采用標(biāo)數(shù)法來解答嗎？掃我聽課掃我聽課?在一次巴西和英格蘭的足球比賽中，巴西始終至少領(lǐng)先1個(gè)球，最多領(lǐng)先5個(gè)球,且曾經(jīng)出現(xiàn)領(lǐng)先5個(gè)球的情況.最后以7：5結(jié)束比賽，那么共有種不同的進(jìn)球情況.【分析】根據(jù)題意，可以采用對(duì)應(yīng)法.巴西進(jìn)一個(gè)球，記作“一”，英格蘭進(jìn)一個(gè)球，記作

場(chǎng)?奧數(shù)六年級(jí)標(biāo)準(zhǔn)教程+習(xí)題精選+能力測(cè)試三合一“I”，構(gòu)造一個(gè)圖形，進(jìn)行最短路線標(biāo)數(shù).【解答】根據(jù)分析，如圖1構(gòu)圖，注意前3個(gè)球必須是巴西進(jìn)的球，這樣就找到階梯的標(biāo)數(shù)法.但是又有領(lǐng)先最多5個(gè)球的限制，還要排除沒有領(lǐng)先的情況，如圖2所示.共計(jì)有122-89=33種進(jìn)球情況.@有一天,【評(píng)注】在圖1和圖2的標(biāo)數(shù)中，對(duì)右下角處不可能出現(xiàn)的情況，采取了兩種不同的構(gòu)圖標(biāo)數(shù)方法.圖1是把不可能得到的情況先標(biāo)數(shù)0,圖2是在構(gòu)圖中，就把不可能得到的情況直接刪除，兩種方法都可行.@有一天,張經(jīng)理有5封文件交給打字員打印.每次他都將要打印的文件放在打字員的文件堆的上面，打字員有時(shí)間就將文件堆最上面的文件取來打印.當(dāng)要打印的文件有3封時(shí)，打字員必須停下手中的其他工作來打印.假定5封文件按經(jīng)理放在文件堆上的時(shí)間順序依次編號(hào)為1、2、3、4、5.則張經(jīng)理放文件與打字員打印文件的順序共有種.（如12345、21435是可能打印的順序，但54321不可能）【分析】我們把張經(jīng)理交給一封信記作一段橫線，打字員打印一封信記作一段豎線.由于有最多積壓3封信的要求，不是標(biāo)準(zhǔn)的階梯標(biāo)數(shù)法.【解答】根據(jù)分析，構(gòu)造下圖并標(biāo)數(shù)，得到打印順序有34種.。3434218【評(píng)注】如果本題沒有“當(dāng)要打印的文件有3封時(shí)，打字員必須停下手中的其他T.作來打E|T這個(gè)條件，就會(huì)是標(biāo)準(zhǔn)的階梯標(biāo)數(shù)法.第12講圖形標(biāo)數(shù)法與卡特蘭數(shù)掃我聽課回掃我聽課回3游樂園門票5元一張，每人限購一張.現(xiàn)在有8個(gè)小朋友排隊(duì)購票，其中4個(gè)小朋友每人只有10元的鈔票一張，另外4個(gè)小朋友每人只有5元的鈔票一張，售票員沒有準(zhǔn)備零錢.那么共有種排隊(duì)方法，使售票員總能找得開零錢.【分析】排隊(duì)時(shí)，售票員總能找開零錢，需要隊(duì)頭到隊(duì)尾的排隊(duì)中，有10元的小朋友始終不多于有5元的小朋友.可以把有5元的小朋友看作一段橫線，有10元的小朋友看作一段豎線，利用階梯標(biāo)數(shù)法，得到排隊(duì)的所有情況.同時(shí)不要忘了，小朋友是不同的對(duì)象，需要再考慮4名有10元的小朋友的排列和4名有5元的小朋友的排列.【解答】根據(jù)分析，對(duì)圖1進(jìn)行階梯標(biāo)數(shù)，得到排隊(duì)的情況共有14種.圖1中的粗線代表一種排隊(duì)順序，轉(zhuǎn)化為圖2.那么4個(gè)有10元的小朋友，如何排列這其中4個(gè)10元的位置呢?有5元的4個(gè)小朋友也同樣分析.所以，共有14xA：xA：=8064種排隊(duì)方法，使售票員總能找得開零錢.圖1 圖2【評(píng)注】此題的找得開零錢的排列順序，就是從隊(duì)頭到隊(duì)尾的累計(jì)過程中，5元的個(gè)數(shù)不?姐妹兩人一起配合洗6少于10元的個(gè)數(shù).也就是〃=4時(shí)的卡特蘭數(shù)，即?姐妹兩人一起配合洗6個(gè)大小不同的盤子.姐姐按從大到小的順序洗盤子，然后把洗好的盤子一個(gè)一個(gè)摞起來.妹妹從最上面一個(gè)一個(gè)地把盤子拿走放到碗柜中，按照自己所拿的順序摞在一起.那么姐姐與妹妹洗盤子和摞盤子共有種不同的順序.【分析】妹妹摞的盤子一定在姐姐洗好的盤子之后.也就是說，對(duì)于姐妹洗放盤子的順序,是姐姐的洗盤子數(shù)不少于妹妹的摞盤子數(shù)，就是〃=6時(shí)的卡特蘭數(shù).【解答】根據(jù)分析，得/C；2=132種順序.【評(píng)注】兩個(gè)對(duì)象都有〃個(gè)，且一種對(duì)象從一個(gè)方向的累計(jì)數(shù)不少于另一個(gè)對(duì)象的累計(jì)數(shù),

卷；奧數(shù)六年級(jí)標(biāo)準(zhǔn)教程+習(xí)題精選+能力測(cè)試三合一就是〃個(gè)對(duì)象的卡特蘭數(shù).）14個(gè)高矮不同的人，排成兩排七列，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對(duì)應(yīng)的第一排的人高.那么共有種不同排法.【分析】把14個(gè)人先從矮到高的順序排列，然后每個(gè)人被選到第一排或第二排.每挑完一次后，第二排中的人數(shù)不多于第一排中的人數(shù).符合卡特蘭數(shù)特征.【解答】當(dāng)〃=7時(shí)，JcZ=429（種）.O【評(píng)注】符合卡特蘭數(shù)條件或特征就可以直接運(yùn)用公式.掃我聽課掃我聽課法國隊(duì)和巴西隊(duì)進(jìn)行世界杯比賽，最終法國隊(duì)以7：5獲勝.已知整個(gè)比賽過程中，巴西隊(duì)始終沒有領(lǐng)先過.那么符合要求的進(jìn)球順序共有種.【分析】上面都是（〃+〃）型的卡特蘭數(shù)，這里是（〃+根）型的卡特蘭數(shù).同樣可以進(jìn)行階梯型標(biāo)數(shù)或使用公式.【解答】法國隊(duì)進(jìn)一球畫一段橫線，巴西隊(duì)進(jìn)一球畫一段豎線.得到階梯型圖形進(jìn)行標(biāo)數(shù).共有297種不同的進(jìn)球順序.（請(qǐng)?jiān)趫D1中標(biāo)數(shù)）口，口，圖1 圖2【評(píng)注】圖2中的右下角的階梯型從4到8的最短路線是符合條件的，把穿過虛線后的第一段線段保留，以后每段橫線變豎線，每段豎線變橫線.這些不符合的最短路線就是從4到所的最短路線.所以也可以得到進(jìn)球順序是C；2-Cl=297種.一般地，〃:形成的卡特、/一捌r-1〃—IJ1+1為C/i.m—C/a.m— 〃+]C/i.m*

第12講圖形標(biāo)數(shù)法與卡特蘭數(shù)4、8兩人競選部門經(jīng)理，一共14票，結(jié)果4得9票，3得5票.在唱票的過程中,A始終領(lǐng)先B的得票記錄.那么唱票過程共有種.【分析】沒有得票持平的情況，必須讓4先得1票，然后出現(xiàn)階梯型卡特蘭數(shù).［解答］根據(jù)分析，讓/I先得1票，共有C：3-Cf3=1287-715=572種唱票順序.1?9填入3x3的右圖方格中,使每一行左邊的數(shù)大于右邊的數(shù).1?9填入3x3的右圖方格中,使每一行左邊的數(shù)大于右邊的數(shù).每一列上面的數(shù)都大于下面的數(shù).那么共有種不同填法.【分析】把第一行、第二行、第三行所填的數(shù)排成一行時(shí)，從左到右的累計(jì)中，第一行中的數(shù)的個(gè)數(shù)不少于第二行中數(shù)的個(gè)數(shù)，第二行中的數(shù)的個(gè)數(shù)不少于第三行中數(shù)的個(gè)數(shù).可以考慮三維圖形標(biāo)數(shù)法.【解答】構(gòu)造三維立體圖形標(biāo)數(shù).第一行每寫一個(gè)數(shù)畫一橫；第二行每寫一個(gè)數(shù)畫一斜杠;第三行每寫一個(gè)數(shù)畫一豎.如圖1所示，從4到B的最短路線有42條，對(duì)應(yīng)方格表的填法有42種.42種.圖1 圖2【評(píng)注】1）立體圖形標(biāo)數(shù)，其正視圖、右視圖、俯視圖都是圖2.三維圖形對(duì)應(yīng)的卡特蘭數(shù)也是有公式的，當(dāng)n=3時(shí)，Mx；：；；?：—!=IfvMW=42.2）對(duì)于本講的階梯標(biāo)數(shù)法和卡特蘭數(shù)，有些同學(xué)認(rèn)為掌握一種就可以了.其實(shí)兩者各有優(yōu)越性.如果圖形出現(xiàn)變形，階梯標(biāo)數(shù)較為直觀和簡單；如果維度較高，還是卡特蘭數(shù)快速和簡潔.若把本題的表格換成4x4的方格表，所填數(shù)字是1?16,其他條件不變，共有多少種不同填法？顯然四維圖形是無法畫出的，而公式就可以發(fā)揮其威力了.根據(jù)公式，得到二24024種.12x(4二24024種.4!x5!x6!x7!嘴奧數(shù)六年級(jí)標(biāo)準(zhǔn)教程+習(xí)題精選+能力測(cè)試三合一1.(1)如右圖，從1.(1)如右圖，從4到3的最短路線共有條.(2)如右圖，按照向右或向上沿著方格線從4點(diǎn)走到8點(diǎn)，其中C點(diǎn)不能通過.共有種不同的走法.點(diǎn)不能通過.共有種不同的走法.3.如右圖, 條.沿圓周上的弧線從A3.如右圖, 條.沿圓周上的弧線從A到B的最短路線共有(3)右圖中，從4到8的最短路線共有種不同的走法. 一2.按照右圖中的箭頭方向，從4到8的路線共有條..(1)甲、乙足球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，結(jié)果甲5：3獲勝，且甲一直保持領(lǐng)先.那么進(jìn)球的情第12講圖形標(biāo)數(shù)法與卡特蘭數(shù)(2)甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，結(jié)果甲以5：3獲得勝利，又知道乙始終沒有領(lǐng)先過.那么比賽中進(jìn)球情況共有種..巴西和英格蘭兩個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽，結(jié)果巴西以6：4獲得勝利，且英格蘭始終落后，但是巴西最多比英格蘭多進(jìn)4個(gè)球(且多4個(gè)球的情況出現(xiàn)過).那么比賽進(jìn)球情況共有 種..一天，經(jīng)理有5封信交給打字員打字，每次他都將信放在打字員的信堆上面，打字員有時(shí)間就將信堆最上面的那封信取來打印.假定5封信按經(jīng)理放在信堆的先后順序依次編號(hào)為1、2、3、4、5.那么經(jīng)理放信與打字員打字共有種順序..某班競選班長，甲共得6票，乙共得7票.在唱票的過程中，甲始終沒有超過乙的得票記錄.那么唱票順序共有種..3個(gè)1、3個(gè)2、3個(gè)3排成一個(gè)九位數(shù)，從左往右看，1出現(xiàn)的次數(shù)始終不多于2出現(xiàn)的次數(shù)，2出現(xiàn)的次數(shù)不多于3出現(xiàn)的次數(shù).如332132211、321323211都是符合條件的,332221311、321322131都是不符合條件的.那么共有種符合條件的排法.內(nèi)容摘要本教程是針對(duì)六年級(jí)學(xué)生的智力發(fā)展特點(diǎn)和教學(xué)認(rèn)知能力而編寫的奧數(shù)教程、習(xí)題精選和能力測(cè)試綜合教材。全書共設(shè)幾何、計(jì)數(shù)、構(gòu)造論語、能力測(cè)試和參考答案五部分，共30講。每一講設(shè)置知識(shí)點(diǎn)綜述、例題詳解和習(xí)題精選三個(gè)環(huán)節(jié)。本教程內(nèi)容豐富.深入淺出，知識(shí)點(diǎn)梳理詳細(xì)，便于閱讀理解和記憶。為方便學(xué)生進(jìn)行自學(xué)，每道例題均附有配套的詳解視頻，通過掃描二維碼可以在線訪問播放。在知識(shí)點(diǎn)的講解中穿插順口溜形式的總結(jié),簡單明了、詼諧幽