學業(yè)分層測評（二十三）函數模型的應用實例(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．某廠日產手套總成本y(元)與手套日產量x(副)的函數解析式為y＝5x＋4000，而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產手套至少為()A．200副 B．400副C．600副 D．800副【解析】由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日產手套至少800副時才不虧本．【答案】D2．某市生產總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產總值的年平均增長率為()【導學號：97030143】\f(p＋q,2) \f(p＋1q＋1－1,2)\r(pq) \r(p＋1q＋1)－1【解析】設年平均增長率為x，則有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.【答案】D3．某種細胞在正常培養(yǎng)過程中，時刻t(單位：分)與細胞數n(單位：個)的部分數據如下表：t02060140n128128根據表中數據，推測繁殖到1000個細胞時的時刻t最接近于()A．200 B．220C．240 D．260【解析】由表中數據可以看出，n與t的函數關系式為n＝2eq\f(t,20)，令n＝1000，則2eq\f(t,20)＝1000，而210＝1024，所以繁殖到1000個細胞時，時刻t最接近200分鐘，故應選A.【答案】A4．若鐳經過100年后剩留原來質量的%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是()A．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co16))eq\f(x,100) B．y＝6)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f9,100)))x D．y＝1－4)eq\f(x,100)【解析】設鐳一年放射掉其質量的t%，則有%＝1·(1－t)100，t＝6)eq\f(1,100)，∴y＝(1－t)x＝6)eq\f(x,100).【答案】A5．根據統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c為常數)．已知工人組裝第4件產品用時30min，組裝第A件產品用時15min，那么c和A的值分別是()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16【解析】由題意知，組裝第A件產品所需時間為eq\f(c,\r(A))＝15，故組裝第4件產品所需時間為eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.將c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.【答案】D二、填空題6．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米元收費；超過8km時，超過部分按每千米元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費元，則此次出租車行駛了________km.【解析】設出租車行駛xkm時，付費y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋x－3＋1，3<x≤8，,8＋×5＋x－8＋1，x>8，))由y＝，解得x＝9.【答案】97．(2023·深圳高一檢測)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設物體的初始溫度是T0，經過一定時間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h)，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降到40℃需要20分鐘，那么此杯咖啡從40℃降溫到32℃時，還需要________分鐘．【解析】設物體的初始溫度是T0，經過一定時間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h)，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降到40℃需要20分鐘，可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，可得：40－24＝(88－24)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(20,h)，解得h＝10，此杯咖啡從40℃降溫到32℃時，可得：32－24＝(40－24)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,10)，解得t＝10.【答案】108．(2023·鄭州模擬)為了在“十一”黃金周期間降價促銷，某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：①如果不超過200元，則不予優(yōu)惠；②如果超過200元，但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠；③如果超過500元，其中500元按第②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠．辛云和她母親兩次去購物，分別付款168元和423元，假設她們一次性購買上述同樣的商品，則應付款額為________元．【解析】依題意，價值為x元商品和實際付款數f(x)之間的函數關系式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤200，,，200<x≤500，,500×＋x－500×，x>500.))當f(x)＝168時，由168÷≈187<200，故此時x＝168；當f(x)＝423時，由423÷＝470∈(200,500]，故此時x＝470.∴兩次共購得價值為470＋168＝638(元)的商品，∴500×＋(638－500)×＝(元)，故若一次性購買上述商品，應付款額為元．【答案】三、解答題9．(2023·西安模擬)如圖3-2-10所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上．圖3-2-10(1)設MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數，求該函數的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．【解】(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．又△EPQ∽△EDF，所以eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，即eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2).所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}．(2)設矩形BNPM的面積為S平方米，則S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，S(x)是關于x的二次函數，且其圖象開口向下，對稱軸為x＝10，所以當x∈[4,8]時，S(x)單調遞增．所以當x＝8米時，矩形BNPM的面積取得最大值，為48平方米．10．有時可用函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＋15ln\f(a,a－x)，x≤6，,\f(x－,x－4)，x>6，))描述學習某學科知識的掌握程度．其中x表示某學科知識的學習次數(x∈N*)，f(x)表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關.【導學號：97030144】(1)證明：當x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降；(2)根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]．當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科．【解】(1)證明：當x≥7時，f(x＋1)－f(x)＝eq\f,x－3x－4)，而當x≥7時，函數y＝(x－3)(x－4)單調遞增，且(x－3)(x－4)＞0，故函數f(x＋1)－f(x)單調遞減，所以當x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降．(2)由題意可知＋15lneq\f(a,a－6)＝，整理得eq\f(a,a－6)＝，解得a＝eq\f,－1)·6＝×6＝123,123∈(121,127]，由此可知，該學科是乙學科．[能力提升]1．一個高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖3-2-11所示，現(xiàn)以均勻速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，如果水深h時水的體積為V，則函數V＝f(h)的圖象大致是()圖3-2-11【解析】水深h越大，水的體積V就越大，故函數V＝f(h)是一個增函數，一開始增長越來越快，后來增長越來越慢，圖象是先凹后凸的，曲線斜率是先增大后變小的．【答案】D2．某公司招聘員工，面試人數按擬錄用人數分段計算，計算公式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N，,2x＋10，10≤x＜100，,，x≥100，x∈N，))x∈N，其中，x代表擬錄用人數，y代表面試人數，若面試人數為60，則該公司擬錄用人數為()【導學號：97030145】A．15 B．40C．25 D．130【解析】若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若＝60，則x＝40＜100，不合題意．故擬錄用人數為25人．【答案】C3．某地區(qū)發(fā)生里氏級特大地震．地震專家對發(fā)生的余震進行了監(jiān)測，記錄的部分數據如下表：強度(J)×1019×1019×1019×1019震級(里氏)注：地震強度是指地震時釋放的能量．地震強度(x)和震級(y)的模擬函數關系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數)．利用散點圖可知a的值等于________．(取lg2＝進行計算)圖3-2-12【解析】由記錄的部分數據可知x＝×1019時，y＝，x＝×1019時，y＝.所以＝alg×1019)＋b，①5．2＝alg×1019)＋b，②②－①得＝algeq\f×1019,×1019)，＝alg2.所以a＝eq\f,lg2)＝eq\f,＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)4．某企業(yè)為打入國際市場，決定從A、B兩種產品中只選擇一種進行投資生產，已知投資生產這兩種產品的有關數據如表：(單位：萬美元)項目類別年固定成本每件產品成本每件產品銷售價每年最多可生產的件數A產品20m10200B產品40818120其中年固定成本與年生產的件數無關，m是待定常數，其值由生產A產品的原材料決定，預計m∈[6,8]，另外，年銷售x件B產品時需上交萬美元的特別關稅，假設生產出來的產品都能在當年銷售出去．(1)求該廠分別投資生產A、B兩種產品的年利潤y1，y2與生產相應產品的件數x之間的函數關系，并求出其定義域；(2)如何投資才可獲得最大年利潤？請設計相關方案．【解】(1)y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,0≤x≤200，且x∈N，y2＝18x－(8x＋40)－＝－＋10x－40，0≤x≤120且x∈N.(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x－20為增函數，又0≤x≤200，x∈N.∴x＝200時，生產A產品有最大利潤(10－m)×200－20＝1980－20