山西省運城市北辛高級中學2021-2022學年高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知復數z=為純虛數，則x的值為（

）A.-1或3

B.0

C.3

D.-1參考答案：D略2.已知實數a，b，c，則以下正確的是（

）A.若，則

B.若，則C.若，則

D.參考答案：C3.△ABC中，已知∠A=1200，且，則sinC為A.

B.

C.

D.參考答案：A略4.橢圓ax2+by2=1與直線y=1﹣x交于A、B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】聯立橢圓方程與直線方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達定理得AB中點坐標：（），AB中點與原點連線的斜率k===．【解答】解：聯立橢圓方程與直線方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中點坐標：（），AB中點與原點連線的斜率k===．故選A．5.已知為純虛數(是虛數單位)則實數 （） A.

B.

C.－1

D.－2參考答案：A6.=（） A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i參考答案：C【考點】復數代數形式的乘除運算． 【專題】計算題；方程思想；數學模型法；數系的擴充和復數． 【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案． 【解答】解：=． 故選：C． 【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎的計算題． 7.參考答案：A8.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是(

)A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C.“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”

參考答案：C略9.直線截圓得到的弦長為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知數列的前項和為，且，，可歸納猜想出的表達式為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.指出下列命題中，是的充分不必要條件的是____________.（1）在中，，（2）對于實數、、，或；（3）非空集合、中，，；（4）已知,，參考答案：

⑵⑷略12.不等式（x2﹣2x﹣3）（x﹣2）＜0的解集為

．參考答案：（﹣∞，﹣1）∪（2，3）

【考點】其他不等式的解法．【分析】不等式即（x﹣3）（x+1）（x﹣2）＜0，再用穿根法求得它的解集．【解答】解：（x2﹣2x﹣3）（x﹣2）＜0，即（x﹣3）（x+1）（x﹣2）＜0，用穿根法求得它的解集為（﹣∞，﹣1）∪（2，3），故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（2，3）．13.函數的定義域是

參考答案：

解:由.

所以原函數的定義域為.

因此，本題正確答案是.14.右邊的程序中,若輸入，則輸出的

.參考答案：215.已知雙曲線﹣=1（a＞0）的漸近線方程是y=±x，則其準線方程為

．參考答案：x=±根據題意，由雙曲線的方程可得其漸近線方程，由題意分析可得a的值，由雙曲線的幾何性質可得c的值，進而將a、c的值代入雙曲線的準線方程計算可得答案．解：根據題意，雙曲線的方程為﹣=1，其漸近線方程為y=±x，又由該雙曲線﹣=1的漸近線方程是y=±x，則有=，解可得a=3，其中c==5，則其準線方程為x=±，故答案為：x=±．16.已知向量,.若,則實數__________

參考答案：17.拋物線y=ax2+bx+c的頂點在以該拋物線截x軸所得線段為直徑的圓的內部，則a，b，c之間的關系是

。參考答案：4ac<b2<4ac+4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=ax﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）討論函數f（x）的單調性；（2）若a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），證明：f（x）＜axlnx．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6K：導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；（2）令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），求出函數的導數，通過討論a的范圍，結合函數的單調性證明即可．【解答】解：（1）f′（x）=a﹣=，當a≤0時，ax﹣1＜0，從而f'（x）＜0，函數f（x）在（0，+∞）單調遞減；當a＞0時，若0＜x＜，則ax﹣1＜0，從而f'（x）＜0，若x＞，則ax﹣1＞0，從而f'（x）＞0，函數在（0，）單調遞減，在（，+∞）單調遞增．（2）令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），則g′（x）=﹣﹣alnx，g″（x）=，令g″（x）=0，解得：x=，①≤1即a≥1時，g″（x）＜0，g′（x）在（1，+∞）遞減，g′（x）＜g′（1）=﹣1＜0，故g（x）在（1，+∞）遞減，g（x）＜g（1）=0，成立；②＞1即0＜a＜1時，令g″（x）＞0，解得：1＜x＜，令g″（x）＜0，解得：x＞，故g′（x）在（1，）遞增，在（，+∞）遞減，∴g′（x）＜g′（）=2lna﹣a+1，令h（a）=2lna﹣a+1，（0＜a＜1），則h′（a）=＞0，h（a）在（0，1）遞增，故h（a）＜h（1）=0，故g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）遞減，g（x）＜g（1）=0，成立；綜上，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），f（x）＜axlnx．19.已知函數．若，求：

（I）的值；

（II）的最大值．參考答案：解：

（I）由得，

又，所以，

得.

（II）由（I）知，

所以，即，當時，“”號成立，所以的最大值為.

略20.已知集合.(1)若，求；(2)若，求實數a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）．試題分析：（1）根據集合的交集運算法則可求；（2）由交集與子集的關系，可以得出，利用分類討論，可分析出.試題解析：由解得，所以，由得（1）時，，所以（2）∵，∴若時，顯然不成立，若時，，，所以.21.已知，圓C：x2+y2﹣8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0．（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當直線l與圓C相交于A、B兩點，且AB=2時，求直線l的方程．參考答案：考點：直線與圓的位置關系；直線與圓相交的性質．專題：計算題；綜合題．分析：把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標與圓的半徑r，（1）當直線l與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）聯立圓C和直線l的方程，消去y后，得到關于x的一元二次方程，然后利用韋達定理表示出AB的長度，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：將圓C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得標準方程為x2+（y﹣4）2=4，則此圓的圓心為（0，4），半徑為2．（1）若直線l與圓C相切，則有．解得．（2）聯立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0．設此方程的兩根分別為x1、x2，所以x1+x2=﹣，x1x2=則AB===2兩邊平方并代入解得：a=﹣7或a=﹣1，∴直線l的方程是7x﹣y+14=0和x﹣y+2=0．點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，靈活運用韋達定理及兩點間的距離公式化簡求值，是一道綜合題．22.已知橢圓C：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.A、B是橢圓C的右頂點與上頂點，直線與橢圓相交于E、F兩點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當四邊形AEBF面積取最大值時，求k