第2章

信號與系統(tǒng)分析基礎(chǔ)（2）第2章信號與系統(tǒng)分析基礎(chǔ)2.1引言2.2信號分類和典型示例2.3線性時不變系統(tǒng)2.4卷積2.5傅里葉變換2.6小結(jié)2.5傅里葉變換2.5.1周期信號的傅里葉級數(shù)2.5.2傅里葉變換2.5.3傅里葉變換的基本性質(zhì)2.5.4卷積特性2.5.5周期信號的傅里葉變換傅里葉讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉（JeanBaptisteJosephFourier）法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家1768年3月21日－1830年5月16日2.5.1周期信號的傅里葉級數(shù)任何周期信號只要滿足狄利克雷條件，就可以分解成直流分量及許多正弦、余弦分量。這些正弦、余弦分量的頻率必定是基頻f1(f1=1/T1)的整數(shù)倍。通常把頻率為f1的分量稱為基波，

頻率為2f1、3f1，…等分量分別稱為二次諧波、三次諧波……等。

直流分量的大小以及基波與各次諧波的幅度、相位取決于周期信號的波形。狄利克雷（Dirichlet）條件：（1）在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個；（2）在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個；（3）在一周期內(nèi)，信號是絕對可積的，即

等于有限值（T1為周期）。（一）三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

若f(t)的周期為T1，角頻率ω1=2π/T1，頻率f1=1/T1，傅里葉級數(shù)展開表達式為：

f(t)=a0+a1cos(ω1t)+b1sin(ω1t)

+a2cos(2ω1t)+b2sin(2ω1t)+…+ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)+…

=a0+∑[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]n=1直流分量基波分量n=1

諧波分量n>1各次諧波成分的幅度值計算公式為：直流分量

余弦分量的幅度

正弦分量的幅度

其中n=1，2，3，…傅里葉級數(shù)的另一種形式：

其中：a0=c0=d0，cn=dn=√an2+bn2an=cncosφn=dnsinθn

bn=-cnsinφn=dncosθn

tanφn=-bn/antanθn=an/bn(n=1,2,…)頻譜特性

由以上公式可以看出，各分量的幅度an，bn，cn及相位φn都是nω1的函數(shù)。幅度頻譜（簡稱為幅度譜）：幅度cn對nω1的關(guān)系所繪成的線圖，可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小。圖中每條線代表某一頻率分量的幅度，稱為譜線。連接各譜線頂點的曲線稱為包絡(luò)線，它反映各分量的幅度變化情況。相位頻譜（簡稱相位譜）：各分量的相位φn對頻率nω1的線圖。頻譜圖幅度譜（幅頻特性）相位譜（相頻特性）結(jié)論周期信號的頻譜只會出現(xiàn)在0，ω1，2ω1，…等離散頻率點上，這種頻譜稱為離散譜，它是周期信號頻譜的主要特點?！纠?-8】周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)

（三角形式）

設(shè)周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為τ,脈沖幅度為E,重復(fù)周期為T1,此信號在一個周期內(nèi)(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式為

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1f(t)=a0+∑[ancos(nω1t)+bnsin(nω1t)]其中：n=1周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)(三角形式)周期信號的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處（離散）。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移。

（二）指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)其中：系數(shù)F（nω1）（簡寫作Fn）為

n為從-∞到+∞的整數(shù)。公式推導(dǎo)過程：【例2-9】周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)

（指數(shù)形式）

設(shè)周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為τ,脈沖幅度為E,重復(fù)周期為T1,此信號在一個周期內(nèi)(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式為

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1分析：（1）周期矩形脈沖的頻譜是離散的，兩譜線的間隔為1（=2/T1），當(dāng)脈沖重復(fù)周期愈大，譜線愈靠近。（2）直流分量、基波及各諧波分量的大小正比于脈幅E和脈寬，反比于周期T1。各譜線的幅度按Sa(n/T1)包絡(luò)線的規(guī)律而變化。（3）周期矩形信號包含無窮多條譜線，也就是說它可以分解成無窮多個頻率分量。但其主要能量集中在第一個零點以內(nèi)。單邊譜雙邊譜負頻率在復(fù)數(shù)頻譜中出現(xiàn)的負頻率是由于將sin(nω1t)，cos(nω1t)寫成指數(shù)形式時，從數(shù)學(xué)的觀點自然分成ejnω1t以及e-jnω1t兩項，因而引入了-jnω1t項。所以，負頻率的出現(xiàn)完全是數(shù)學(xué)運算的結(jié)果，并沒有任何物理意義，只有把負頻率項與相應(yīng)的正頻率項成對地合并起來，才是實際的頻譜函數(shù)。(三)周期信號的平均功率（帕塞瓦爾定理）此式表明：周期信號的平均功率等于傅里葉級數(shù)展開各諧波分量有效值的平方和，也即時域和頻域的能量守恒。帕賽瓦爾定理(四)頻帶寬度（帶寬）

頻譜圖上第一個零點以內(nèi)的范圍，記作B。例：對周期矩形脈沖信號，

Bω=2π/τ或Bf=1/τ2.5.2傅里葉變換傅里葉正變換

F(ω)=[f(t)]=

F(ω)=|F(ω)|ejφ(ω)傅里葉逆變換f(t)=-1[F(ω)]=推導(dǎo)過程:F(nω1)=1/T1

T1/2-T1/2f(t)e-jnω1tdtF(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1=-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdtF(ω)=lim2πF(nω1)/ω1=limF(nω1)·T1

=lim-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdt

=-∞∞

f(t)e-jωtdtω10T1T1推導(dǎo)過程:F(nω1)=1/T1

T1/2-T1/2f(t)e-jnω1tdtF(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1=-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdtF(ω)=lim2πF(nω1)/ω1=limF(nω1)·T1

=lim-T1/2T1/2f(t)e-jnω1tdt

=-∞∞

f(t)e-jωtdtω10T1T1表示單位頻帶的頻譜值—即頻譜密度的概念.F(ω)稱為原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù).f(t)=F(nω1)e-jnω1t

=F(nω1)/ω1?

e-jnω1tΔ(nω1)在極限情況下，nω1ω，Δ(nω1)dω1,

F(nω1)/ω1F(ω)/2π

-∞∞f(t)=1/(2π)-∞∞

F(ω)ejωtdωnω1=-nω1=-n=-結(jié)論:

非周期信號和周期信號一樣，也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量。所不同的是，由于非周期信號的周期趨于無限大，基波趨于無限小，于是它包含了從零到無限高的所有頻率分量。同時，由于周期趨于無限大，因此，對任一能量有限的信號，在各頻率點的分量幅度趨于無限小。所以頻譜不能再用幅度表示，而改用頻譜密度函數(shù)來表示。【例2-10】矩形脈沖信號的頻譜

f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]F(ω)=∞-∞f(t)e-jωtdt=τ/2-τ/2

Ee-jωtdt=(2E/ω)sin(ωτ/2)=Eτ·Sa(ωτ/2)f(t)E0tτ/2-τ/2【例2-11】鐘形(高斯)脈沖信號的頻譜

f(t)=Ee-(t/τ)2(-∞＜t＜+∞)F(ω)=∞-∞f(t)e-jωtdt=-∞∞

Ee-(t/τ)2

e-jωtdt=E-∞∞

e-(t/τ)2

[cos(ωt)-jsin(ωt)]dt=2E0∞

e-(t/τ)2

cos(ωt)dt=√πEτ·e-(ωτ/2)2f(t)E0tτE/ef(t)E0tτE/eF(ω)√πEτ0ωτ/2√πEτ/e【例2-12】升余弦脈沖信號的頻譜

f(t)=E/2[1+cos(πt/τ)](0≤t≤τ)F(ω)=-∞∞

f(t)e-jωtdt=-ττ

E/2[1+cos(πt/τ)]e-jωtdt=E/2-ττ

e-jωtdt+E/4∫τ-τejπt/τ·e-jωtdt+E/4-ττe-jπt/τ·e-jωtdt=EτSa(ωτ)+(Eτ/2)Sa[(ω-π/τ)τ]+(Eτ/2)Sa[(ω+π/τ)τ]=Esin(ωτ)/ω[1-(ωτ/π)2]=EτSa(ωτ)/[1-(ωτ/π)2]f(t)E0tτ/2-τ/2-ττf(t)E0tτ/2-τ/2-ττ【例2-13】沖激信號的頻譜F(ω)=∫∞-∞δ

(t)e-jωtdt=1f(t)(1)0tF(ω)10ω2.5.3傅里葉變換的基本性質(zhì)（1）對稱性（2）線性（疊加性）（3）奇偶虛實性（4）尺度變換特性（5）時移特性（6）頻移特性（7）微分特性（8）積分特性（1）對稱性若F(ω)=[f(t)]，則

[F(t)]=2πf(-ω)當(dāng)f(t)是偶函數(shù)時，則

[F(t)]=2πf(ω)證明：

f(t)=1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωtdωf(-t)=1/(2π)∫∞-∞F(ω)e-jωtdω將變量t與ω互換,可以得到

2πf(-ω)=∫∞-∞F(t)e-jωtdt所以[F(t)]=2πf(-ω)若f(t)是偶函數(shù)，則

[F(t)]=2πf(ω)【例2-14】對稱性實例(一)【例2-15】對稱性實例(二)f(t)t10(2π)0F(ω)ωf(t)(1)0tF(ω)10ω（2）線性（疊加性）若[fi(t)]=Fi(ω)（i=1,2,…,n），則

[∑aifi(t)]=∑aiFi(ω)其中ai為常數(shù)，為n正整數(shù)。nni=1i=1（3）奇偶虛實性若[f(t)]=F(ω)，無論f(t)為實函數(shù)或復(fù)函數(shù)，都具有以下性質(zhì)：

[f(-t)]=F(-ω)

[f

(t)]=F(-ω)

[f(-t)]=F(ω)（4）尺度變換特性若[f(t)]=F(ω)，則其中，α為非零的實常數(shù)?！纠?-16】尺度變換特性的實例（5）時移特性若[f(t)]=F(ω)，則

[f(t-t0)]=e–jωt0

·F(ω)

[f(t+t0)]=ejωt0

·F(ω)（6）頻移特性若[f(t)]=F(ω)，則

[f(t)ejω0t]=F(ω-ω0)

[f(t)e-jω0t]=F(ω+ω0)根據(jù)歐拉公式:cos(nω1t)=1/2(ejnω1t+e-jnω1t)

sin(nω1t)=1/2j(ejnω1t-e-jnω1t)有：[cos(ω0t)]=π[(ω+ω0)+(ω-ω0)]

[sin(ω0t)]=jπ[(ω+ω0)-(ω-ω0)]

[f(t)cos(ω0t)]=1/2[F(ω+ω0)+F(ω-ω0)][f(t)sin(ω0t)]=j/2[F(ω+ω0)-F(ω-ω0)]

【例2-17】余弦波和正弦波信號的頻譜(π)0F(ω)ω(π)ω1-ω1(π)0jF(ω)ω(-π)ω1-ω1【例2-18】矩形調(diào)幅信號的頻譜g(t)E0tτ/2-τ/2G(ω)f(t)=g(t)cos(ω0t)（7）微分特性若[f(t)]=F(ω)，則時域微分特性為

[df(t)/dt]=jωF(ω)

[dfn(t)/dtn]=(jω)n

F(ω)頻域微分特性為

-1[dF(ω)/dω]=(-jt)f(t)

-1[dFn(ω)/dωn]=(-jt)n

f(t)（8）積分特性若[f(t)]=F(ω)，則時域積分特性為

[∫t-∞f(τ)dτ]=F(ω)/(jω)+πF(0)δ(ω)頻域積分特性為

-1[∫ω-∞F(Ω)dΩ]=-f(t)/(jt)+πf(0)δ(t)【例2-19】三角脈沖信號的頻譜22.5.4卷積定理若[f1(t)]=F1(ω)[f2(t)]=F2(ω)時域卷積定理

[f1(t)﹡f2(t)]=F1(ω)F2(ω)頻域卷積定理

[f1(t)·f2(t)]=1/(2π)F1(ω)﹡F2(ω)系統(tǒng)的時域分析由于任意信號可以用沖激信號的組合表示，即：

e(t)=-

e(τ)

δ(t-τ)dτ根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性，則系統(tǒng)的響應(yīng)可表示為：

r(t)=-

e(τ)

h(t-τ)dτ=e(t)*h(t)h(t)e(t)r(t)系統(tǒng)的頻域分析R（ω）＝H（ω）E（ω）系統(tǒng)改變了激勵信號的頻譜。系統(tǒng)的功能是對信號各頻率分量進行加權(quán)，某些頻率分量增強，而另一些分量則相對削弱或不變。而且，每個頻率分量在傳輸過程中都產(chǎn)生各自的相位移。H(ω)E(ω)R(ω)【例2-20】利用卷積定理求三角脈沖的頻譜

f(t)=g(t)g(t)F(ω)=G(ω)·G(ω)g(t)【例2-21】求有限長余弦信號的頻譜2.5.5周期信號的傅里葉變換令周期信號f(t)的周期為T1，角頻率ω1=2π/T1f(t)=∑F（nω1）ejnω1t

[f(t)]=∑F（nω1）ejnω1t=∑F（nω1）[ejnω1t]

[ejnω1t]=2πδ(ω-nω1)則[f(t)]=2π∑Fnδ(ω-nω1)

n=-n=-n=-n=-【例2-22】周期單位沖激序列的傅里葉變換δT(t)=δ(t-nT1)=

Fnejnω1tFn=1/T1

-T1/2T1/2

δT(t)e-jnω1tdt=1/T1δT(t)=1/T1ejnω1tF()=21/T1(-n1)

=1(-n1)δT(t)(1)0t……-T1T1n=-n=-n=-n=-n=-δ(t)(1)0tF0(ω)10ωδT(t)(1)0t……-T1T1δT(t)(1)0t……-T1T1F(ω)(ω1)0ω……-ω1ω1Fn(1/T1)0ω……-ω1ω1【例2-23】周期矩形脈沖信號的傅里葉變換f(t)=Eτ/T1∑Sa(nω1τ/2)ejnω1tF(ω)=2πΣFnδ(ω-nω1)=Eτω1ΣSa(nω1τ/2)δ(ω-nω1)f(t)E0tτ/2-τ/2T1-T1n=-n=-n=-2.6小結(jié)信號的分解沖激信號的疊加傅里葉級數(shù)卷積線性時不變系統(tǒng)的時域分析傅里葉變換頻譜與帶寬線性時不變系統(tǒng)的頻域分析作業(yè)2-1（1）（3）（5）（7）2-4（1）（2）（3）2-62-8（a）（b）（c）（d）課程設(shè)計制作卷積運算的動畫制作傅里葉變換的動畫設(shè)計程序?qū)崿F(xiàn)對任意兩個函數(shù)進行卷積運算的過程及結(jié)果顯示設(shè)計程序計算并顯示周期信號的傅里葉級數(shù)設(shè)計程序計算并顯示信號的傅里葉變換設(shè)計程序?qū)崿F(xiàn)如下功能：采集語音或視頻信號后顯示其頻譜。習(xí)題2-6（P.1603-3）若周期信號f1(t)和f2(t)波形如圖所示，f1(t)的參數(shù)為=0.5s，T=1s，E=1V；f2(t)的參數(shù)為=1.5s，T=3s，E=3V，分別求：（1）f1(t)的譜線間隔和帶寬（第一零點位置），頻率單位以表示；（2）f2(t)的譜線間隔和帶寬；（3）f1(t)與f2(t)的基波幅