應(yīng)力和應(yīng)變理論第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日塑性成形是利用金屬的塑性，在外力作用下使其成形的一種加工方法。作用于金屬的外力可分為兩類(lèi)：1作用在金屬表面上的力，稱(chēng)為面力或者接觸力，它可以是集中力，一般情況下是分布力。面力可以分為作用力、反作用力和摩擦力。作用力是由塑性加工設(shè)備提供的，用于使金屬坯料發(fā)生塑性變形。反作用力是工具反作用于金屬坯料的力。一般情況下，作用力與反作用力互相平行，并組成平衡力系。摩擦力是金屬在外力作用下產(chǎn)生塑性變形時(shí)，在金屬與工具的接觸面上產(chǎn)生阻止金屬流動(dòng)的力。該力的存在往往引起變形力的增加，對(duì)金屬的塑性成形往往是有害的。2作用在金屬物體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，稱(chēng)為體積力。體積力是與變形力內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成正比的力，如重力、磁力和慣性力等。第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)應(yīng)力空間第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日一應(yīng)力的概念在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就會(huì)產(chǎn)生相互作用的力，稱(chēng)為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱(chēng)為應(yīng)力。圖11-1a在F面上圍繞Q點(diǎn)取一很小的面積ΔF，該小面積上內(nèi)力的合力為ΔP，則定義為截面F上Q點(diǎn)的全應(yīng)力。全應(yīng)力S是一個(gè)矢量，可以分解成兩個(gè)分量，垂直于截面的正應(yīng)力σ和平行于截面的切應(yīng)力τ。顯然有圖11-1面力、內(nèi)力和應(yīng)力第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日一應(yīng)力的概念若將截取的下半部分放入空間坐標(biāo)系Oxyz中，并使截面F的法線方向N平行于y軸（圖11-1b），則全應(yīng)力S在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影稱(chēng)為應(yīng)力分量，它們是σy、τyx、τ

yz

。在變形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力情況一般是不同的。對(duì)于任一點(diǎn)而言，過(guò)Q點(diǎn)可以作無(wú)限多的切面，在不同方向的切面上，Q點(diǎn)的應(yīng)力是不同的。僅用某一個(gè)切面的應(yīng)力不足以全面表示該點(diǎn)的應(yīng)力情況。為了全面表示一點(diǎn)的應(yīng)力情況，下面引入點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的概念。第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)在直角坐標(biāo)系Oxyz中有一承受任意力系的變形體，過(guò)變形體內(nèi)任意點(diǎn)Q切取一六面體作為單元體，其棱邊分別平行于三坐標(biāo)軸。在互相垂直的微分面上的全應(yīng)力都可以按坐標(biāo)軸方向分解成一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)切應(yīng)力分量，這樣，在三個(gè)互相垂直的微分面上就有三個(gè)正應(yīng)力分量和六個(gè)切應(yīng)力分量，共計(jì)9個(gè)應(yīng)力分量，它們是σxx,σyy,σzz,τxy,τyx,τyz,τzy，τzx,τxz。它們可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，如圖11-2所示。按應(yīng)力分量的符號(hào)規(guī)定，兩個(gè)下角標(biāo)相同的正應(yīng)力分量，例如σxx

表示x面上平行于x軸的正應(yīng)力分量，可簡(jiǎn)寫(xiě)為σx

；兩個(gè)下角標(biāo)不同的是切應(yīng)力分量，例如τxy

表示x面上平行于y軸的切應(yīng)力分量。將9個(gè)應(yīng)力分量寫(xiě)成矩陣的形式為：二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圖11-2直角坐標(biāo)系中單元體的應(yīng)力分量第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分量有正、負(fù)號(hào)，確定方法為：當(dāng)單元體的外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面。在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號(hào)，指向相反方向的取負(fù)號(hào)。負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，正應(yīng)力分量以拉為正，以壓為負(fù)。由于單元體處于靜力平衡狀態(tài)，故繞單元體各軸的合力矩等于零，由此導(dǎo)出切應(yīng)力互等定理：實(shí)際上，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)中的9個(gè)應(yīng)力分量只有6個(gè)是互相獨(dú)立的，它們組成對(duì)稱(chēng)的應(yīng)力張量σij若過(guò)一點(diǎn)的三個(gè)互相垂直的微分面上的九個(gè)應(yīng)力分量已知，則借助靜力平衡條件，該點(diǎn)任意方向上的應(yīng)力分量可以確定。第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖11-3所示，設(shè)過(guò)Q點(diǎn)任一斜切面的法線N與三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦為l，m，n，l=cos(N,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)。若斜微分面ABC的面積為dF，微分面OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z面)的微分面積分別為dFx、dFy、dFz，則各微分面之間的關(guān)系為：dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF又設(shè)斜微分面ABC上的全應(yīng)力為S，它在三坐標(biāo)軸方向上的分量為Sx、Sy、Sz，由靜力平衡條件ΣPx=0，得：整理得：圖11-3任意斜切微分面上的應(yīng)力用角標(biāo)符號(hào)簡(jiǎn)記為顯然，全應(yīng)力第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二、直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)斜微分面上的正應(yīng)力σ為全應(yīng)力S在法線N方向的投影，它等于Sx,Sy,Sz在N方向上的投影之和，即：斜切微分面上的切應(yīng)力為：所以，已知過(guò)一點(diǎn)的三個(gè)正交微分面上9個(gè)應(yīng)力分量，可以求出過(guò)該點(diǎn)任意方向微分面上的應(yīng)力，也就是說(shuō)，這9個(gè)應(yīng)力分量可以全面表示該點(diǎn)應(yīng)力狀況，亦即可以確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。如果質(zhì)點(diǎn)處于受力物體的邊界上，則斜切微分面ABC即為變形體的外表面，其上的表面力（外力）T沿三坐標(biāo)軸的分量為T(mén)x、Ty、Tz，其值為簡(jiǎn)記為上式稱(chēng)為應(yīng)力邊界條件。第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、張量和應(yīng)力張量1角標(biāo)符號(hào)和求和約定

成組的符號(hào)和數(shù)組用一個(gè)帶下角標(biāo)的符號(hào)表示，這種符號(hào)叫角標(biāo)符號(hào)。用角標(biāo)符號(hào)表示物理量在坐標(biāo)系中的分量，可以使冗長(zhǎng)繁雜的公式在形式上變得簡(jiǎn)潔明了。如直角坐標(biāo)系的三根軸x、y、z，可寫(xiě)成x1、x2、x3，用角標(biāo)符號(hào)簡(jiǎn)記為xi

(i＝1,2,3)；空間直線的方向余弦l、m、n可寫(xiě)成lx、ly、lz，簡(jiǎn)記為li(i＝x、y、z)。如果一個(gè)坐標(biāo)系帶有m個(gè)角標(biāo)，每個(gè)角標(biāo)取n個(gè)值，則該角標(biāo)符號(hào)代表著個(gè)元素，例如σij(i,j=x,y,z)就包含有9個(gè)元素,即9個(gè)應(yīng)力分量。在運(yùn)算中，常遇到n個(gè)數(shù)組各元素乘積求和的形式，例如：為了省略求和記號(hào)Σ，可以引入如下的求和約定：在算式的某一項(xiàng)中，如果有某個(gè)角標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)，就表示要對(duì)該角標(biāo)自1到n的所有元素求和。根據(jù)這一約定，上式可簡(jiǎn)記為：上述重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫啞標(biāo)，而在用角標(biāo)表示的算式中有不重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)，稱(chēng)為自由標(biāo)。自由標(biāo)不包含求和的意思，但可以表示該等式代表的個(gè)數(shù)。在一個(gè)等式中，要分清啞標(biāo)和自由標(biāo)。第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、張量和應(yīng)力張量2、張量的基本概念有些簡(jiǎn)單的物理量，只需要一個(gè)標(biāo)量就可以表示，如距離、時(shí)間、溫度等。有些物理量是空間矢量，如位移、速度和力等，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)分量來(lái)表示。更有一些復(fù)雜的物理量，如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)矢量，即9個(gè)分量才能完整地表示，這就需要引入張量的概念。張量是矢量的推廣，可定義為由若干個(gè)當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的所有分量的集合。廣義地說(shuō)，絕對(duì)標(biāo)量就是零階張量，其分量數(shù)目為；矢量就是一階張量，有個(gè)分量；應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)是二階張量，有個(gè)分量。表11-1新舊坐標(biāo)系間的方向余弦第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、張量和應(yīng)力張量設(shè)有某物理量P，它關(guān)于xi(i=1,2,3)的空間坐標(biāo)系存在9個(gè)分量Pij

(i,j=1,2,3)。若將xi空間坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則得到新的空間坐標(biāo)系xk

(k=1',2',3')，如圖11-1所示。新坐標(biāo)系xk

的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系xi

的方向余弦可記為lki

或llj

(k,l=1',2',3'；i,j=1,2,3）。由于cos(xk

,xi

)=cos(xi,xk

)，所以lki

=lik，llj

=ljl。物理量P在新坐標(biāo)系xk的九個(gè)分量為Pkl

(k，l=1',2',3')。若這個(gè)物理量P在坐標(biāo)系xi

中的9個(gè)分量Pij

與坐標(biāo)系xk

中的九個(gè)分量Pkl

之間存在下列線性變換關(guān)系：這個(gè)物理量被定義為張量，可用矩陣表示Pij

所帶的下標(biāo)數(shù)目是2個(gè)，稱(chēng)為二階張量。張量是滿足一定的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量所組成的集合，它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來(lái)?yè)Q算。上式為二階張量的判別式。第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、張量和應(yīng)力張量3、張量的基本性質(zhì)張量具有以下一些基本的性質(zhì)：1)張量不變量張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f(Pij

)，這些函數(shù)值與坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)，它不隨坐標(biāo)而改變，這樣的函數(shù)，叫做張量不變量。二階張量存在三個(gè)獨(dú)立的不變量。2)張量可以疊加和分解幾個(gè)同階張量各對(duì)應(yīng)的分量之和或差定義為另一個(gè)同階張量。兩個(gè)相同的張量之差定義為零張量。3)張量可分為對(duì)稱(chēng)張量、非對(duì)稱(chēng)張量、反對(duì)稱(chēng)張量若張量具有性質(zhì)Pij=Pji，就叫對(duì)稱(chēng)張量；若張量具有性質(zhì)Pij=?Pji，且當(dāng)i=j時(shí)對(duì)應(yīng)的分量為0，則叫反對(duì)稱(chēng)張量；如果張量Pij≠Pji，就叫非對(duì)稱(chēng)張量。任意非對(duì)稱(chēng)張量可以分解為一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)張量。4)二階對(duì)稱(chēng)張量存在三個(gè)主軸和三個(gè)主值如果以主軸為坐標(biāo)軸，則兩個(gè)下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個(gè)下角標(biāo)相同的三個(gè)分量，叫作主值。第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、張量和應(yīng)力張量4、應(yīng)力張量設(shè)受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在xi(i=x,y,z)，坐標(biāo)系中的九個(gè)應(yīng)力分量為σij(i,j=x,y,z)，當(dāng)xi坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一坐標(biāo)系xk(k=x’,y’,z’)，其應(yīng)力分量為σkr(k,r=x’,y’,z’)，σij與σkr之間的關(guān)系符合數(shù)學(xué)上張量之定義，即存在線性變換關(guān)系式，即有：σkr=σijlkilrj(i,j=x,y,z;k,r=x’,y’,z’)因此，表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成一個(gè)二階張量，稱(chēng)為應(yīng)力張量，可用張量符號(hào)σij表示，即每一分量稱(chēng)為應(yīng)力張量之分量。根據(jù)張量的基本性質(zhì)，應(yīng)力張量可以疊加和分解、存在三個(gè)主軸(主方向)和三個(gè)主值(主應(yīng)力)以及三個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力張量不變量。第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面1、主應(yīng)力由上節(jié)分析可知，如果表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量為已知，則過(guò)該點(diǎn)的斜微分面上的正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ都將隨法線N的方向余弦l,m,n而改變。特殊情況下，斜微分面上的全應(yīng)力S和正應(yīng)力σ重合，而切應(yīng)力τ=0。這種切應(yīng)力為零的微分面稱(chēng)為主平面，主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力。主平面的法線方向稱(chēng)為應(yīng)力主方向或應(yīng)力主軸。圖11-5中的三個(gè)主平面互相正交，設(shè)斜微分面ABC是待求的主平面，面上的切應(yīng)力為0，正應(yīng)力即為全應(yīng)力，σ=s。于是，主應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為圖11-5主平面上的應(yīng)力左式整理得第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面上式是一齊次線性方程組，l,m，n為未知數(shù)，其解為應(yīng)力主軸方向。此方程組的一組解為l=m=n=0，但由解析幾何可知，方向余弦之間必須滿足即l,m,n不能同時(shí)為零，必須尋求非零解。為了求得非零解，只有滿足齊次線性方程組式的系數(shù)組成的行列式等于零的條件，即展開(kāi)行列式，整理后得令上式可寫(xiě)成即應(yīng)力狀態(tài)特征方程第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面2、應(yīng)力張量不變量對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，主應(yīng)力只有一組值，即主應(yīng)力具有單值性。由此，上式中的系數(shù)J1、J2、J3也應(yīng)是單值的，而不隨坐標(biāo)系而變。由此得出重要結(jié)論：盡管應(yīng)力張量的各分量隨坐標(biāo)而變，但組成的函數(shù)值是不變的，所以將J1、J2、J3稱(chēng)為應(yīng)力張量第一、第二、第三不變量。如果取三個(gè)主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，并用1、2、3代替x,y,z，這時(shí)應(yīng)力張量可寫(xiě)為在主軸坐標(biāo)系中斜微分面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為因此，應(yīng)力張量的三個(gè)不變量為第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面3、應(yīng)力橢球面第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面4、主應(yīng)力圖受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可用作用在單元體上的主應(yīng)力來(lái)描述，只用主應(yīng)力的個(gè)數(shù)及符號(hào)來(lái)描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的簡(jiǎn)圖稱(chēng)為主應(yīng)力圖。其表示出主應(yīng)力的個(gè)數(shù)及正負(fù)號(hào)，并不表明作用應(yīng)力的大小。主應(yīng)力圖共有9種(圖11-6)，其中三向應(yīng)力狀態(tài)的四種，兩向應(yīng)力狀態(tài)的三種，單向應(yīng)力狀態(tài)的兩種。在兩向和三向主應(yīng)力圖中，各向主應(yīng)力符號(hào)相同時(shí)，稱(chēng)為同號(hào)主應(yīng)力圖，符號(hào)不同時(shí)稱(chēng)為異號(hào)主應(yīng)力圖，根據(jù)主應(yīng)力圖，可定性比較某一種材料采用不同的塑性成形工序加工時(shí)塑性和變形抗力的差異。第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日五、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力與斜微分面上的正應(yīng)力一樣，切應(yīng)力也隨斜微分面的方位而改變。使切應(yīng)力數(shù)值達(dá)到極大值的平面稱(chēng)為主切應(yīng)力平面，其上所作用的切應(yīng)力稱(chēng)為主切應(yīng)力。經(jīng)分析，在主軸空間中，垂直一個(gè)主平面而與另兩個(gè)主平面交角為45°的平面就是主切應(yīng)力平面，如圖11-7所示。該面上的主切應(yīng)力為主切應(yīng)力角標(biāo)表示與主切應(yīng)力平面呈45°相交的兩主平面的編號(hào)。三個(gè)主切應(yīng)力平面也是互相正交。主切應(yīng)力中絕對(duì)值最大的一個(gè)稱(chēng)為最大切應(yīng)力，用τmax表示。設(shè)三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系為σ1>σ2>σ3，則第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日五、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力圖11-7主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力將主切應(yīng)力平面的方向余弦的不同組合代入式P9可以解出作用于主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值，即將上述求解結(jié)果列于下表圖11-7所示的坐標(biāo)平面上，垂直于該主平面的主切應(yīng)力平面有兩組，將各組平面的正面和負(fù)面都表示出來(lái)，構(gòu)成一個(gè)四邊形，在這個(gè)主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力相等。第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日六、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量應(yīng)力張量和矢量一樣可以分解成應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量。設(shè)σm

為三個(gè)正應(yīng)力分量的平均值，稱(chēng)平均應(yīng)力（或靜水壓力），即是不變量，與所取的坐標(biāo)無(wú)關(guān)。對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，它是單值的。設(shè)則，根據(jù)張量的性質(zhì)，可將應(yīng)力張量分解成兩個(gè)張量之和：或式中，δij是克氏符號(hào)，也稱(chēng)單位張量，當(dāng)i=j時(shí)，δij

=1；當(dāng)i≠j時(shí)，δij

=0，即第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日六、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量式中的后一張量δijσm

，表示的是一種球應(yīng)力狀態(tài)，也稱(chēng)靜水應(yīng)力狀態(tài)，稱(chēng)為應(yīng)力球張量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力σm

。球應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)是在任何切平面上都沒(méi)有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。上式中的第二項(xiàng)稱(chēng)為應(yīng)力偏張量，它是由原應(yīng)力張量σij減去應(yīng)力球張量δijσm后得到的。應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。因此，應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。應(yīng)力偏張量是二階對(duì)稱(chēng)張量，它同樣存在三個(gè)不變量，分別用J1’、J2’、J3’表示。將應(yīng)力偏張量的分量代入應(yīng)力狀態(tài)特征方程，得第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日六、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量對(duì)于主軸坐標(biāo)系，有應(yīng)力偏張量對(duì)塑性加工是一個(gè)十分重要的概念，可以用來(lái)表示不同的變形類(lèi)型。第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日七、等效應(yīng)力在力學(xué)分析中，材料的各種極限值，如σs、σb，通常是在單向拉伸、壓縮試驗(yàn)中測(cè)出的。為了使塑性變形中的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)能與這些極限值相比較，人們引入“等效應(yīng)力”的概念，把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值。等效應(yīng)力在主軸坐標(biāo)系中定義為在任意坐標(biāo)系中定義為等效應(yīng)力不能在特定微分平面上表示出來(lái)，但它可以在一定意義上“代表”整個(gè)應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量部分，因而與材料的塑性變形密切有關(guān)。人們把它稱(chēng)為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度。等效應(yīng)力也是一個(gè)不變量。對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)代入主軸坐標(biāo)系中等效應(yīng)力的定義式，可得：σ1=。由此可見(jiàn)，等效應(yīng)力等于單向均勻拉伸（壓縮）時(shí)的應(yīng)力σ1。第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日八、應(yīng)力莫爾(Mohr)圓第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日九、應(yīng)力平衡微分方程一般認(rèn)為，應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即。設(shè)受力物體中有一點(diǎn)Q，坐標(biāo)為x，y，z，應(yīng)力狀態(tài)為σij，在Q點(diǎn)的無(wú)限鄰近處有一點(diǎn)Q’，坐標(biāo)為(x+dx)、(y+dy)、(z+dz)，則形成一個(gè)邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的平行六面體，圖11-8。由于坐標(biāo)的微量變化，Q’點(diǎn)的應(yīng)力要比Q點(diǎn)的應(yīng)力增加一個(gè)微量，即為σij+dσij。例如，在Q’點(diǎn)的x面上，由于坐標(biāo)的變化，其正應(yīng)力分量將為Q’點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)因此可以寫(xiě)為第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日單元體六個(gè)面上的應(yīng)力分量，如圖11-8所示。九、應(yīng)力平衡微分方程圖11-8靜力平橫狀態(tài)下的六面體上的應(yīng)力因?yàn)榱骟w處于靜力平衡狀態(tài)，則由平衡條件ΣPx=0,有由此得同理，由ΣPy=0和ΣPz=0，可得質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力平衡微分方程的另外兩個(gè)等式，合并寫(xiě)為簡(jiǎn)記為在單元體平面上，切應(yīng)力互等定律同樣成立，即下式。第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日九、應(yīng)力平衡微分方程例11-1在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示成張量的形式為要求:1）畫(huà)出該點(diǎn)的應(yīng)力單元體；2）用應(yīng)力狀態(tài)特征方程求出該點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向；3）畫(huà)出該點(diǎn)的應(yīng)力莫爾圓，并在應(yīng)力莫爾圓上標(biāo)出應(yīng)力單元體的微分面（即x、y、z平面）。解：1）應(yīng)力單元體如右圖11-11所示。2）將各應(yīng)力分量代入應(yīng)力張量不變量的應(yīng)力狀態(tài)特征方程式，可得：代入應(yīng)力狀態(tài)特征方程，得：或解得將應(yīng)力分量代入式齊次線性方程組聯(lián)合寫(xiě)成方程組：第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日九、應(yīng)力平衡微分方程為求主方向，可將解得的三個(gè)主應(yīng)力值，分別代入上述方程組的前三式中的任意兩式，并與第四式聯(lián)立求解，可求得三個(gè)主方向的方向余弦為對(duì)于σ1：對(duì)于σ2：對(duì)于σ3：3）根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值，求得三個(gè)圓的圓心分別為O1(5,0),O2(2.5,0),O3(-2.5,0)三個(gè)圓的半徑分別為：5,7.5,2.5。應(yīng)力單元體的微分面在應(yīng)力莫爾圓上的位置見(jiàn)圖11-12的標(biāo)示。圖11-12應(yīng)力莫爾圓第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)應(yīng)變空間第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日物體在力的作用下內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置和形狀發(fā)生變化，即產(chǎn)生了變形。應(yīng)變是一個(gè)表示變形大小的物理量。類(lèi)似于點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)也是二階對(duì)稱(chēng)張量，故與應(yīng)力張量有很多類(lèi)似的特性。但應(yīng)變分析主要是幾何學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，它和物體中的位移場(chǎng)或速度場(chǎng)有密切的聯(lián)系；同時(shí)，對(duì)于小變形和大變形，其應(yīng)變的表示方法是不同的；對(duì)于彈性變形和塑性變形，考慮的角度也不盡相同，解決彈性和小塑性變形問(wèn)題時(shí)主要用全量應(yīng)變，而解決塑性成形問(wèn)題時(shí)主要用應(yīng)變?cè)隽炕驊?yīng)變速率。應(yīng)變狀態(tài)分析的最主要的目標(biāo)是建立應(yīng)變及應(yīng)變速率的幾何方程，并為描述應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系作準(zhǔn)備。第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日一、應(yīng)變的概念1定義(以單向均勻拉伸為例，如圖P25311-18—單向拉伸桿件)(1)工程應(yīng)變(相對(duì)應(yīng)變、條件應(yīng)變)ε--每單位原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量(2)對(duì)數(shù)應(yīng)變(自然應(yīng)變、真空應(yīng)變)

ε*--代表一尺寸的無(wú)限小增量與該變形瞬時(shí)尺寸的比值的積分工程應(yīng)變的無(wú)限小增量表示直線單元長(zhǎng)度的變化與它原來(lái)長(zhǎng)度l0之比，即對(duì)數(shù)程應(yīng)變的無(wú)限小增量表示直線單元長(zhǎng)度的變化與它的瞬時(shí)長(zhǎng)度之比，即第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日一、應(yīng)變的概念2分析(1)工程應(yīng)變—不能表示變形的真實(shí)情況，變形程度越大，誤差越大。當(dāng)變形程度小于10%時(shí)，ε與ε*的數(shù)值比較接近；反之，誤差逐漸增加。(2)對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杉討?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杉討?yīng)變。(3)對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。如某物體拉長(zhǎng)一倍后ε拉=1=100%；縮短一倍后ε壓=-0.5=-50%。拉長(zhǎng)一倍與壓縮一倍，物體的變形程度應(yīng)該是一樣的(體積不變)。然而，如用工程應(yīng)變表示拉壓的變形程度，則數(shù)值相差懸殊，失去可以比較的性質(zhì)。但用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示拉壓兩種不同性質(zhì)的變形程度，并不失去可以比較的性質(zhì)。如某物體拉長(zhǎng)一倍后ε*拉=ln2=69%；縮短一倍后ε*壓=ln1/2=-69%。對(duì)于微小應(yīng)變，用上述兩種量度求出來(lái)的應(yīng)變（和應(yīng)變?cè)隽浚┲祹缀跏且粯拥?。第三十四?yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二、應(yīng)變與位移的關(guān)系變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)M（x，y，z）變形后移動(dòng)到M1，把它們?cè)谧冃吻昂蟮闹本€距離稱(chēng)為位移，如圖1a中的MM1，位移是矢量。在坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的位移矢量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影稱(chēng)為該點(diǎn)的位移分量，用u、v、w表示，或用角標(biāo)符號(hào)ui

表示，如圖1b所示。圖1受力物體內(nèi)一點(diǎn)的位移及分量根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有一階偏導(dǎo)數(shù)，即：或物體中某點(diǎn)產(chǎn)生了位移，還不表明物體產(chǎn)生了變形，只有質(zhì)點(diǎn)間產(chǎn)生相對(duì)位移，才會(huì)引起物體變形。例如，與M相鄰質(zhì)點(diǎn)M′(x+dx,y+dy,z+dz)在變形中產(chǎn)生位移矢量u′，即u+δu，和M相比，產(chǎn)生了位移增量δu，或M′與M之間相對(duì)位置變化量。如果δu=0，兩質(zhì)點(diǎn)間沒(méi)有相對(duì)位移，MM′沒(méi)有產(chǎn)生變形，僅僅產(chǎn)生了剛體移動(dòng)。第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二、應(yīng)變與位移的關(guān)系圖2a中設(shè)單元體平面PABC僅僅在xy坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生了很小的拉變形，變成了P1A1B1C1。單元體內(nèi)各線元長(zhǎng)度都發(fā)生了變化，例如線元PB由原來(lái)r變成r1=r+δr，于是把單位長(zhǎng)度的變化定義為線元PB的線應(yīng)變。對(duì)于平行于坐標(biāo)軸的線元分別有又設(shè)：該單元體在xy平面內(nèi)發(fā)生了角度的變化(切變形)，圖2b，線元PC和PA所夾的直角縮小了φ，相當(dāng)于C點(diǎn)在垂直于PC方向偏移了δrτ，表明變形后兩棱邊PC和PA的夾角減小了φyx，稱(chēng)為工程切應(yīng)變。圖15-2b所示的φyx

可以看成是由線元PA和PC同時(shí)向內(nèi)偏移相同的角度γxy

和γyx

而成，如圖2c所示，且把γxy

和γyx

定義為切應(yīng)變。γxy表示x方向的線元向y方向偏轉(zhuǎn)的角度。第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二、應(yīng)變與位移的關(guān)系圖2單元體在xy坐標(biāo)平面內(nèi)的變形第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、應(yīng)變張量分析如圖3所示，在直角坐標(biāo)系中切取一平行于坐標(biāo)平面的微分六面體PABC-DEFG，邊長(zhǎng)分別為rx

、ry

和rz

，小變形后移至P1A1B1C1?D1E1F1G1，即變成一斜平行六面體。這時(shí)，單元體同時(shí)發(fā)生了線變形、剪變形、剛性平移和轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)單元體先平移至變形后的位置，然后再發(fā)生變形，其變形可以分解為：(1)在x、y、z方向上線元的長(zhǎng)度發(fā)生改變，其線應(yīng)變分別為圖3單元體的變形(2)單元體分別在x面、y面和z面內(nèi)發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)，產(chǎn)生切應(yīng)變?yōu)榈谌隧?yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、應(yīng)變張量分析和一點(diǎn)的三個(gè)互相垂直的微分面上9個(gè)應(yīng)力分量決定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一樣，質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)互相垂直方向上的9個(gè)應(yīng)變分量確定了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。已知這九個(gè)應(yīng)變分量，可以求出給定任意方向上的應(yīng)變，這表明對(duì)應(yīng)不同坐標(biāo)系應(yīng)變分量之間有確定的變換關(guān)系。這9個(gè)應(yīng)變分量組成一個(gè)應(yīng)變張量，由于其中γij

=γji，故應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱(chēng)張量，可用εij

表示為或應(yīng)變張量與應(yīng)力張量具有同樣的性質(zhì)，主要有：(1)存在三個(gè)互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應(yīng)變而無(wú)切應(yīng)變。用表示主應(yīng)變，則主應(yīng)變張量為：主應(yīng)變可由應(yīng)變狀態(tài)特征方程求得第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、應(yīng)變張量分析(2)存在三個(gè)應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3，且對(duì)于塑性變形，由體積不變條件，I1=0(3)在與主應(yīng)變方向成45°方向上存在主切應(yīng)變，其大小為若，則最大切應(yīng)變?yōu)榈谒氖?yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、應(yīng)變張量分析(4)應(yīng)變張量可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量式中，為平均應(yīng)變；為應(yīng)變偏張量，表示變形單元體形狀變化；為應(yīng)變球張量，表示變形單元體體積變化。(5)存在應(yīng)變張量的等效應(yīng)變等效應(yīng)變的特點(diǎn)是一個(gè)不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變。等效應(yīng)變又稱(chēng)廣義應(yīng)變，在屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度分析中經(jīng)常用到它。第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、應(yīng)變張量分析(6)與應(yīng)力莫爾圓一樣，可以用應(yīng)變莫爾圓表示一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。設(shè)已知主應(yīng)變和的值，且，可以在ε?γ平面上，分別以為圓心，以為半徑畫(huà)三個(gè)圓，如圖4，稱(chēng)為應(yīng)變莫爾圓。圖4應(yīng)變莫爾圓所有可能的應(yīng)變狀態(tài)都落在陰影線范圍內(nèi)。由圖可知，最大切應(yīng)變?yōu)榈谒氖?yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、應(yīng)變張量分析--塑性變形體積不變條件設(shè)單元體的初始邊長(zhǎng)為dx、dy、dz，則變形前的體積為小變形時(shí)，可以認(rèn)為只有線應(yīng)變引起邊長(zhǎng)和體積的變化，而切應(yīng)變所引起的邊長(zhǎng)和體積的變化是高階微量，可以忽略不計(jì)。因此變形后的單元體體積為單元體體積的變化（單位體積變化率）在塑性成形時(shí)，由于物體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)連續(xù)且致密，可以認(rèn)為體積不發(fā)生變化，因此上式稱(chēng)為體積不變條件。它表明，塑性變形時(shí)三個(gè)正應(yīng)變之和等于零,說(shuō)明三個(gè)正應(yīng)變分量不可能全部同號(hào)。第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程1小應(yīng)變幾何方程物體變形后，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生了位移，并因此而產(chǎn)生應(yīng)變。因此，位移場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)都是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，可以用位移表示應(yīng)變。下面先看圖5。圖5位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系設(shè)單元體棱邊長(zhǎng)度為dx、dy、dz，它在xoy平面上的投影為abdc，變形后的投影移至a1b1d1c1,a點(diǎn)變形后移到a1點(diǎn)后，所產(chǎn)生的位移分量為u、v，則b點(diǎn)和c點(diǎn)的位移增量為第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，可以求出棱邊ac(dx)在x方向的線應(yīng)變?chǔ)舩為以及棱邊ab(dy)在y方向的線應(yīng)變由圖中的幾何關(guān)系，可得因?yàn)?，其值遠(yuǎn)小于1，所以有同理得則工程切應(yīng)變?yōu)榈谒氖屙?yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程切應(yīng)變?yōu)榘凑胀瑯拥姆椒ǎ蓡卧w在yoz和zox坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系，得其余應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，綜合在一起為用角標(biāo)符號(hào)可簡(jiǎn)記為上式六個(gè)方程表示小變形時(shí)位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，是由變形幾何關(guān)系得到的，稱(chēng)為小應(yīng)變幾何方程，又稱(chēng)柯西幾何方程。如果物體中的位移場(chǎng)已知，則可由上述小應(yīng)變幾何方程求得應(yīng)變場(chǎng)。第四十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程2應(yīng)變連續(xù)方程由小應(yīng)變幾何方程可知，三個(gè)位移分量一經(jīng)確定，六個(gè)應(yīng)變分量也就確定，顯然，它們不應(yīng)是任意的。只有這