PAGE高考沖刺：解析幾何綜合問題編稿：辛文升審稿：孫永釗【高考展望】1.坐標(biāo)法、曲線的方程與方程的曲線是解析幾何的學(xué)科基礎(chǔ)，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上會應(yīng)用；2.點、直線、圓、圓錐曲線是解析幾何重點研究的基本圖形，其方程、幾何性質(zhì)是高中解析幾何重點研究的內(nèi)容，也是高考考查的重點；3.幾何性質(zhì)與方程的對應(yīng)關(guān)系是正確理解解析幾何問題的關(guān)鍵，也是正確解決解析幾何問題的關(guān)鍵；4.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是解決解析幾何的根本方法，是解決解析幾何綜合問題的基本思路.【知識升華】知識點一：曲線的方程和方程的曲線的關(guān)系一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上所有點的坐標(biāo)都是方程的解；（2）以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上.那么，方程叫做曲線的方程；曲線叫做方程的曲線.知識點二：求曲線的方程1.坐標(biāo)法的定義：在直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示點，把曲線看成滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標(biāo)（x，y）所滿足的方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這就是坐標(biāo)法.2.坐標(biāo)法求曲線方程的步驟：建系→設(shè)點→點滿足的幾何條件坐標(biāo)化→整理化簡成最簡形式→證明（可省略，但必須刪去增加的或者補上丟失的解）3．求軌跡方程的常用方法：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法等?！靖咔逭n堂：解析幾何綜合問題369357知識要點】知識點三：有關(guān)圓錐曲線綜合題類型(1)求圓錐曲線方程一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟：定形——指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置，如果位置不確定時，考慮是否多解。此時注意數(shù)形結(jié)合，在圖形上標(biāo)出已知條件，檢查軸上的點、垂直于軸的直線的位置是否準(zhǔn)確等。定式——根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點不確定在哪個坐標(biāo)軸上時，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)定量——由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小。此處注意n個未知數(shù)，列夠n個獨立的方程，并注意“點在線上”條件及韋達定理的使用。要點詮釋：求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點，主要考查學(xué)生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法(2)求取值范圍或最值①函數(shù)方法將待求范圍參數(shù)表示為另一個變量的函數(shù)，注意求函數(shù)的定義域。②方程與不等式組n個未知數(shù)，列夠n個獨立方程或不等式，注意歸納總結(jié)列不等式的方法：③利用幾何性質(zhì)求參數(shù)范圍；④利用不等式性質(zhì)(結(jié)合幾何性質(zhì))求參數(shù)范同．知識點四：解析幾何問題中，解決運算問題的幾點措施：解析幾何圖形結(jié)構(gòu)、問題結(jié)構(gòu)多，且易于發(fā)散，一旦形成為圖形或知識點的綜合，往往最具運算量、最為繁難復(fù)雜．因此，有時即便是明確了解法甚至較細(xì)的步驟，解題過程當(dāng)中也常常被卡住，算不到底、算不出正確結(jié)果也是常有的事。因此，如何解決運算量問題，對于解題成功與否至關(guān)重要．解決運算問題，可以有以下措施：(1)不斷提高運算和恒等變形能力。注意培養(yǎng)觀察問題、分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力，避免思維定勢，提高思維靈活性；具體審題中多收集些信息，綜觀全局，權(quán)衡利弊，再決定解題策略；加強訓(xùn)練運算基本功，不斷提高恒等變形的能力．(2)善于運用平面幾何性質(zhì)來解題問題。解題處理方式不同，可能繁簡大相徑庭，若考慮問題的幾何特征，充分利用圖形幾何性質(zhì)，對于解決運算量會大有裨益，這一點對于圓錐曲線綜合題的處理很重要．(3)注意解析法與各種數(shù)學(xué)方法結(jié)合。當(dāng)所求點的坐標(biāo)直接解決有困難時，往往引進參數(shù)或參數(shù)方程起到解決問題的橋梁作用，引進合適的參數(shù)，進行設(shè)而不求的計算方式，在解析幾何中是普遍的，但應(yīng)注意不斷積累消參經(jīng)驗；相應(yīng)元替換法也是常用的策略．【典型例題】類型一：解析幾何中最值問題例1.設(shè)橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率.已知點到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離為,求這個橢圓方程.并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標(biāo).【解析】設(shè)橢圓方程為,為橢圓上的點,由得若,則當(dāng)時最大,即,,故矛盾.若時,時,所求方程為把代入，求得M的坐標(biāo)是(─,─)或(,─).舉一反三：【變式1】定長為3的線段，其兩端點在拋物線上移動，設(shè)中點為，求點到軸的最短距離，并求此時點的坐標(biāo).【解析一】作準(zhǔn)線:，過、、分別作,、,垂足、、，且交軸于，連結(jié)、.∴當(dāng)線段過焦點時，，此時.此時設(shè)過焦點的直線的方程為（），則由消去得即解得∴故當(dāng)時，點到軸最短距離為.【解析二】設(shè)、、，則(1)+(2)得，由(3)有…………(5)(3)2-(5)得…………(6)∵，∴即∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)即時，且）.例2.(2015山東高考)(本小題滿分13分)平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓：（）的離心率為，左、右焦點分別為F1,F2,以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心以1為半徑的圓相交,且交點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)橢圓E：,P為橢圓C上任意一點,過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點,射線PO交橢圓E于點Q.(ⅰ)求的值;(ⅱ)求△ABQ面積的最大值.【思路點撥】(1)由離心率e和2a=r1+r2可求a,b,c.(2)將直線y=kx+m與橢圓E和橢圓C聯(lián)立消y,再根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解面積的最大值.【解析】(1)因為兩圓的公共點在橢圓C上,所以2a=3+1=4,a=2.又因為橢圓C的離心率為,所以即橢圓C的方程為..(2)(ⅰ)橢圓E：.設(shè)是橢圓C上任意一點，則.直線：與橢圓E：聯(lián)立消得，所以.即.(ⅱ)因為點在直線上，所以，點到直線的距離為.將與聯(lián)立消得，由可得.=1\*GB3①設(shè)，則，所以.直線y=kx+m與y軸交點為(0,m),所以△OAB面積，令，則.將與聯(lián)立消得，由可得.=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②可知，因此（當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最大值），注意到，所以.即的面積的最大值為.舉一反三：【變式1】(2015天津高考)(本小題滿分14分)已知橢圓(a>b>0)的左焦點為F(-c,0),離心率為,點M在橢圓上且位于第一象限,直線FM被圓x2+y2=QUOTEb24截得的線段的長為c,|FM|=QUOTE433.(1)求直線FM的斜率.(2)求橢圓的方程.(3)設(shè)動點P在橢圓上,若直線FP的斜率大于2,求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍.【解析】(1)由已知有=QUOTE13,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.設(shè)直線FM的斜率為k(k>0),則直線FM的方程為y=k(x+c).由已知,有+,解得k=QUOTE33.(2)由(1)得橢圓方程為,直線FM的方程為兩個方程聯(lián)立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-QUOTE53c,或x=c.因為點M在第一象限,可得M的坐標(biāo)為(c,QUOTE233c).有解得c=1,所以橢圓的方程為.(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),直線FP的斜率為t,得t=QUOTEyx+1,即y=t(x+1)(x≠-1),與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得.又由已知，得，解得-QUOTE32<x<-1,或-1<x<0.設(shè)直線OP的斜率為m,得m=,即y=mx(x≠0),與橢圓方程聯(lián)立,整理可得m2=QUOTE2x2-QUOTE23.①當(dāng)x∈(-QUOTE32,-1)時,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈(QUOTE23,QUOTE233).②當(dāng)x∈(-1,0)時,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-QUOTE2x2-23,得m∈(-∞,-QUOTE233).綜上,直線OP的斜率的取值范圍是(-∞,-QUOTE233)∪(QUOTE23,QUOTE233).類型二：有關(guān)對稱的問題例3.已知直線過坐標(biāo)原點，拋物線的頂點在原點，焦點在軸的正半軸上，若點、關(guān)于直線的對稱點都在上.求直線與拋物線的方程.【解析】設(shè):(且),:()又設(shè)關(guān)于的對稱點，則由得∴，即………(1)又設(shè)關(guān)于的對稱點,則由得∴，即………(2)由(1),(2)知：，故直線：,拋物線：.舉一反三：【變式1】已知拋物線上永遠(yuǎn)有關(guān)于直線對稱的相異兩點，求實數(shù)的取值范圍.【解析一】令相異兩點為、,（），令線段的中點為,則，，，由，相減得，.∵點在拋物線開口內(nèi)，∴即故.【解析二】設(shè)關(guān)于直線對稱的兩點為、，直線，由，消去有：.∴，令線段的中點為,則，，∵點在直線上∴又∵,∴,∴，故.【變式2】試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同兩點關(guān)于直線對稱【解析】設(shè)橢圓上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且中點為橢圓內(nèi)的點從而有由(1)-(2)得∴由由在直線上從而有類型三：求軌跡（軌跡方程）【高清課堂：解析幾何綜合問題369357例4】例4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B與點A（-1,1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由?！窘馕觥浚↖）因為點B與A關(guān)于原點對稱，所以點得坐標(biāo)為.設(shè)點的坐標(biāo)為由題意得化簡得.故動點的軌跡方程為（II）若存在點使得與的面積相等，設(shè)點的坐標(biāo)為則.因為,所以所以即，解得因為，所以故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標(biāo)為.舉一反三：【變式1】已知定點A(2，0)和圓x2+y2=1上的動點Q，∠AOQ的平分線交AQ于P點(O為坐標(biāo)原點)，求動點P的軌跡方程.【解析】(如圖)由三角形內(nèi)角平分線定義：設(shè)P(x，y)，Q(x1，y1)則∵點Q在圓上，化簡得：即為P點的軌跡方程.例5.已知定點A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．動點P滿足：.（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；（2）當(dāng)時，求的最大、最小值．【解析】（1）設(shè)動點坐標(biāo)為，則，，．因為，所以．．若，則方程為，表示過點（1，0）且平行于y軸的直線．若，則方程化為．表示以為圓心，以為半徑的圓．（2）當(dāng)時，方程化為，因為，所以．又，所以．因為，所以令，則．所以的最大值為，最小值為．【總結(jié)升華】求動點的軌跡，首先要分析形成軌跡的點和已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的坐標(biāo)形式，建立等式，利用直接法或間接法得到軌跡方程.舉一反三：【變式1】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，AF2⊥F1F2，原點O到直線AF1的距離為(Ⅰ)證明(Ⅱ)設(shè)Q1,Q2為橢圓上的兩個動點，OQ1⊥OQ2，過原點O作直線Q1Q2的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程.【解析】(Ⅰ)證法一：由題設(shè)AF2⊥F1F2及F1(-c,0),F2(c,0)，不妨設(shè)點A(c,y)，其中y>0，由于點A在橢圓上，有解得，從而得到直線AF1的方程為，整理得b2x-2acy+b2c=0由題設(shè)，原點O到直線AF1的距離為將c2=a2-b2代入上式并化簡得a2=2b2，即證法二：同證法一，得到點A的坐標(biāo)為過點O作OB⊥AF1，垂足為B，易知△F1BO∽△F1F2A，故由橢圓定義得所以解得(Ⅱ)設(shè)點D的坐標(biāo)為(x0，y0)當(dāng)y0≠0時，由OD⊥Q1Q2知，直線Q1Q2的斜率為，所以直線Q1Q2的方程為點Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐標(biāo)滿足方程組將(1