卡方檢驗和非參數(shù)檢驗在總體分布形式已知條件下未知參數(shù)檢驗問題。但實際問題中總體的分布形式往往是未知的，雖然根據(jù)中心極限定理可以有相當?shù)陌盐照J為大多數(shù)經(jīng)濟變量服從或近似服從正態(tài)分布，但有時為了使所做的統(tǒng)計推斷更具說服力，就需要對總體的分布形式進行檢驗。1

本章主要內(nèi)容：（1）總體分布的卡方（）檢驗；（2）兩個比例差異的卡方（）檢驗（獨立樣本）；（3）兩個以上比例差異的卡方（）檢驗（獨立樣本）；（4）獨立性的卡方（）檢驗；（5）兩個比例差異的McNEMAR檢驗（相關(guān)樣本）；（6）兩個獨立總體的非參數(shù)檢驗（Wilcoxon秩和檢驗）；（7）單因素方差分析的非參數(shù)檢驗（Kruskal-Wallis秩檢驗）2檢驗的基本原理(1)設(shè)x1,x2,,xn為總體X的一組樣本觀察值，F(xiàn)(x)為某一已知分布的分布函數(shù)，1,

2,,

r是的r個待定參數(shù)，分別是r個參數(shù)的點估計，以分別代替1,

2,….,r，作原假設(shè)H0：總體X的分布函數(shù)為F(x)(2)將F(x)的定義域劃分為k個互不相交的區(qū)間(ai,ai+1，i=1,2,…,k；記fi為樣本觀察值x1,x2,…,xn落在第個區(qū)間(ai,ai+1

內(nèi)的頻數(shù)，并記Pi=P{ai<X≤ai+1}=F(ai+1)-F(ai)

3§.1總體分布的檢驗為以F(x)為分布函數(shù)的隨機變量在區(qū)間(ai,ai+1

上取值的概率，i=1,2,…,k。則當H0為真時，由貝努里定理，當n充分大時，n次獨立重復(fù)試驗結(jié)果的實際頻率與其概率Pi之間的差異并不顯著，于是顯然可以用統(tǒng)計量來刻畫它們間總的差異的大小。其中nPi為理論頻數(shù)。當H0為真時，下式的值就應(yīng)當較小

4(3)可以證明，當n充分大時(n≥50)，若H0為真，則統(tǒng)計量近似服從(k-r-1)分布。其中r為分布F(x)中待定參數(shù)的個數(shù)于是在給定顯著性水平下，若就拒絕H0，說明總體X的真實分布函數(shù)與F(x)間存在顯著差異；否則接受H0，即可以認為兩者在水平下并無顯著差異。5

某廠有一臺經(jīng)常需要維修的設(shè)備，該設(shè)備中有一個易損壞的重負荷軸承，設(shè)備故障的主要原因是軸承損壞。為了制定該設(shè)備的維修計劃和維修預(yù)算，需要了解該軸承的壽命分布。表10.1給出了100個軸承壽命的觀察數(shù)據(jù)，問：該軸承壽命是否服從正態(tài)分布？6

解：由表中數(shù)據(jù)，用Excel可求得=120.95，S2=40.582，故可作原假設(shè)H0：X~N(120，402)將實軸劃分為如下7個互不相交的區(qū)間。用Excel的FREQUENCY函數(shù)計算數(shù)據(jù)落在各區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)，用NORMDIST函數(shù)求出各理論頻數(shù)nPi，統(tǒng)計量的計算如表所示。78取顯著性水平

=0.25(由于原假設(shè)H0是我們希望得到的結(jié)果，為使檢驗結(jié)論更具說服力，控制的重點應(yīng)是與原假設(shè)H0不真而接受H0的概率，故

應(yīng)取的稍大些)。本例中k=7，r=2，k–r-1=4。故在水平

=0.25下接受原假設(shè)H0，即可認為該軸承的使用壽命服從N(120，402)分布。9§.2比例差異的檢驗（獨立樣本）§10.2.1兩個比例差異的檢驗前面，我們研究了兩個比例的Z檢驗。這部分從不同角度檢驗數(shù)據(jù)。假設(shè)檢驗過程使用近似卡方（）分布的檢驗數(shù)據(jù)。如果想要比較兩個獨立樣本組的分類變量，可以做兩維的列聯(lián)表，顯示每組的第1類（正向類，如“成功”，“是”等）和第2類（反向類，如“失敗”，“否”等）出現(xiàn)的頻數(shù)，如表所示10為了檢驗組一樣本有關(guān)類1的比例是否等于第二組樣本有關(guān)類1的比例，即假設(shè)檢驗為：原假設(shè)為兩比例之間無顯著差異：備擇假設(shè)為兩比例之間有差異：使用卡方（）檢驗的基本思路為：（1）.確定統(tǒng)計量為

(10.2.1)其中為列聯(lián)表中特定單元的觀測頻數(shù)，為列聯(lián)表中特定單元的期望頻數(shù)，因此這里的統(tǒng)計量是觀測頻數(shù)和期望頻數(shù)差的平方除以每單元的期望頻數(shù)，并對表中的所有單元格取和求得；11（2）可以證明上述統(tǒng)計量近似服從自由度為1的分布，因此在顯著性水平下，決策規(guī)則為：如果，拒絕否則，接受。1213應(yīng)用案例

有兩家酒店，為了確定服務(wù)質(zhì)量，要求顧客離開時做滿意度調(diào)查，顧客可能會再次入??；根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)得到的列聯(lián)表如表10.5所示。問在顯著性水平的情況下，顧客會回到酒店一和酒店二的比例是否相同。

141516171810.2.2兩個以上比例差異的檢驗

統(tǒng)計量是觀測頻數(shù)和期望頻數(shù)差的平方除以每單元的期望頻數(shù)，并對表中的2×c個所有單元格取和求得因此統(tǒng)計量的自由度為1920應(yīng)用案例如果有四家酒店，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)得到的列聯(lián)表如表10.10所示。問在顯著性水平的情況下，顧客會回到這四家酒店的比例是否相同。212223獨立性檢驗24假設(shè)在上面例子中的酒店顧客滿意度的調(diào)查中，向表明不會再次入住酒店的顧客問第二個問題。即不會再次入住的原因是什么，包括價格、位置、客房服務(wù)和其他等。調(diào)查結(jié)果的列聯(lián)表如表10.14所示。試問在顯著性水平的情況下，不會再次入住理由與酒店之間是否有聯(lián)系？25262728§10.3兩個相關(guān)樣本比例差異檢驗293031應(yīng)用案例3233如果樣本容量很小，并且無法確定樣本數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)分布總體，此時可以選擇以下兩種方法來分析兩獨立總體均值間的區(qū)別：（1）用不依賴于正態(tài)總體假設(shè)的Wilcoxon秩和檢驗；（2）對于數(shù)據(jù)進行正態(tài)轉(zhuǎn)換后使用合并方差的t檢驗。本節(jié)介紹用Wilcoxon秩和檢驗來檢驗兩組值間是否有差別。在合乎這些檢驗的條件下，Wilcoxon秩和檢驗和合并方差及獨立方差的t檢驗一樣有效；當t檢驗假設(shè)不符合時，Wilcoxon秩和檢驗更有效。3410.4兩個獨立總體的非參數(shù)分析：Wilcoxon秩和檢驗3536應(yīng)用案例37383940§10.5單因素方差分析的非參數(shù)分析：Kruskal-Wallis秩檢驗

如果第9章中單因素方差分析的F檢驗的正態(tài)分布假設(shè)條件不符合時，可以使用Kruskal-Wallis秩