3．3.1

兩條直線的交點坐標(biāo)3.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式新知全景掃描案例全程導(dǎo)航訓(xùn)練全程跟蹤3．3.1

兩條直線的交點坐標(biāo)若方程組有配

，則兩條直線

，此解就是交點的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線

，此時兩條直線

．惟一解相交無公共點平行下列各組直線中，相交的是_______，平行的是_____．①a：2x－y＋1＝0；b：x＋2y＝0②c：y＝2x＋3；d：x－y＋1＝0③e：x－3y＝0；f：2x－6y＋4＝0④g：2x＋y－1＝0；h：4x＋2y－＝0提示：相交的有①②；平行的有③④．探究點一直線的交點問題求兩條直線的交點坐標(biāo)就是聯(lián)立兩直線方程所得方程組的解，方程組解的個數(shù)也可判定兩條直線的位置關(guān)系；當(dāng)方程組僅有一組解時，兩直線只有一個交點，故相交；當(dāng)方程組有無數(shù)組解時，兩直線有無數(shù)個公共點，故重合；當(dāng)方程組無解時，兩直線沒有公共點，故平行．

已知三條直線方程：x－2y＝1,2x＋ky＝3,3kx＋4y＝5，是否存在實數(shù)k使得三條直線交于一點？若存在求實數(shù)k的值，若不存在說明理由．[提示]先假設(shè)存在使三條直線交于一點的k，再由兩條直線的交點代入第三條直線的方程得k值，若求得即存在，否則就不存在．1．在本例的三條直線中，若三直線不能構(gòu)成三角形，求k的取值集合．探究點二直線系及應(yīng)用1.直線系就是具備某種共同特點的一系列直線．2．幾種特殊的直線系方程：(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m≠C)；(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋m＝0(m為常數(shù))；(3)過直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，但其不能表示直線A2x＋B2y＋C2＝0，其中λ為常數(shù)．

求經(jīng)過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程．[提示]

可考慮平行的條件，利用常規(guī)法解決，即先求出交點，用點斜式得出方程；也可考慮利用平行直線系，或過交點的直線系．2．把本例中的“平行”改為“垂直”，求直線方程．探究點三直線過定點問題要證明直線系中的直線都過一定點，就要證明它是一個共點的直線系．一般有兩種方法：①按直線系方程中參數(shù)進(jìn)行整理，令它們的系數(shù)為零，解出定點的坐標(biāo)；②給參數(shù)賦予兩組特殊值，得到直線系中的兩條直線，然后證明它們的交點是直線系中任何直線都過的定點．

求證：不論m為何實數(shù)，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都過某一定點．[提示]特殊值法，分別代入兩個m值得兩直線方程，再確定交點坐標(biāo)或?qū)⒃匠讨泻衜的式子提出來，聯(lián)立方程組求解．3．若m＋n＝1，證明直線mx＋ny＝1過定點．

求證：不論m取何實數(shù)，直線(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒過一定點．[錯因]

(1)對定點的概念認(rèn)識模糊，以為用常參數(shù)表示，即表示定點，這實際上是受思維定勢的影響，它與