極值點(diǎn)與拐點(diǎn)的偏移——課后檢測1【2023年全國卷Ⅰ理科21題】已知函數(shù)QUOTE有兩個(gè)零點(diǎn)．（I）求a的取值范圍；（II）設(shè)，是QUOTE的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．2.【2023年浙江高考22題】已知函數(shù)．（1）若在，處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；（2）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)．（選作）【2023年深圳一模21題】已知函數(shù)，其定義域?yàn)?求其遞增區(qū)間；若函數(shù)在定義域是增函數(shù)，且，證明：.附：參考答案1.【解析】（Ⅰ）．（i）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．（ii）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)．（iii）設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為．（Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，又在上單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．2.【解析】（1），不妨設(shè)，即，是方程的兩根，即，是方程的根，所以，得，且，，，令，，∴在上單調(diào)遞減．所以，即．（2）設(shè)，則當(dāng)充分小時(shí)，充分大時(shí)，所以至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，①，則，遞增，有唯一零點(diǎn)，②，則令，得有兩個(gè)極值點(diǎn)，，∴，∴．可知在遞增，遞減，遞增，∴，又，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴有唯一零點(diǎn)，綜上可知，時(shí)，與有唯一公共點(diǎn)．3.【解析】（1）因?yàn)椋裕?1\*romani）當(dāng)時(shí)，由，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是.（=2\*romanii）當(dāng)時(shí)，，所以若，或，單調(diào)增區(qū)間是和；若，或，單調(diào)增區(qū)間是和；若，單調(diào)增區(qū)間是.（2）由（1）知，若函數(shù)在是增函數(shù)，則，所以，，，，因?yàn)?，不妨設(shè)，，設(shè)，則因?yàn)?，所以，即，由此，所以，在增，因?yàn)椋?，即，，由，得，又，在單增，所以，?極值點(diǎn)與拐點(diǎn)的偏移——課堂練習(xí)1.【2023年遼寧卷21題】已知函數(shù).討論的單調(diào)性；設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.參考答案：【法一】由，可得，其中當(dāng)，即時(shí)，易得恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，由，可得；由，可得；即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：令，其中，且；則顯然成立故在上單增，故必有，即當(dāng)時(shí)，成立；設(shè)，不妨設(shè)，由（1）中的結(jié)論可得必有，且，因?yàn)榇藭r(shí)，故要證，只需證即可，因，即只需證明.由（2）中的結(jié)論可得：當(dāng)時(shí)，必有又因?yàn)椋时赜?，且，再由?）中所得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故必有，即得證，即，由以上分心可得必有成立.【法二】若沒有第二小題過渡，則第三小題可以這樣分析：欲證，只需證，即，即，因?yàn)樗?，又，所以只需證，即.下面構(gòu)造函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?/p>