環(huán)流與旋度過點M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當S0時，極限稱為矢量場在點M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

特點：其值與點M處的方向n有關(guān)。2、矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度旋度的計算公式:直角坐標系圓柱面坐標系球面坐標系旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零3、Stokes定理

Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即4、散度和旋度的區(qū)別

1、矢量場的源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6無旋場與無散場2、矢量場按源的分類（1）無旋場性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標量場的梯度表示為例如：靜電場（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場（3）無旋、無散場（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分1.7拉普拉斯運算與格林定理

1、拉普拉斯運算標量拉普拉斯運算概念：——拉普拉斯算符直角坐標系計算公式：圓柱坐標系球坐標系矢量拉普拉斯運算概念：即注意：對于非直角分量，直角坐標系中：如：2.格林定理

設(shè)任意兩個標量場

及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，可以證明該兩個標量場

及

滿足下列等式。

根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S

為包圍V的閉合曲面，為標量場

在S表面的外法線en

方向上的偏導數(shù)。以上兩式稱為標量第一格林定理。SV,基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標量第二格林定理。

格林定理說明了區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。

此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。亥姆霍茲定理:

若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為式中：