行列式概要二階、三階行列式的計算(對角線法則)二階行列式我們用記號表示代數(shù)和

稱為二階行列式,即

二元一次方程組

的唯一解為其中定義+－三階行列式我們用記號表示代數(shù)和稱為三階行列式,即主對角線法‘—’三元素乘積取“+”號；‘—’三元素乘積取“-”號.主對角線法主對角線法三元一次方程組

的唯一解為其中+－主對角線法n階行列式我們用記號排列_1定義1由1,2,…,n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。例如，2431是一個4級排列。n級排列的總數(shù)是n!=n(n-1)…112…n也是一個n級排列，這個排列具有自然順序，就是按遞增的順序排起來的。其它的排列都或多或少地破壞自然順序。排列_2定義2在一個排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序。一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù)。例如，2431中，21，43，41，31是逆序，2431的逆序數(shù)為4。

排列_3定義3逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。例如，2431是偶排列，2413是奇排列。P96練習(xí):決定以下排列的逆序數(shù)以及奇偶性(1)134782695(2)217986354那么這個排列的逆序數(shù)等于

計算逆序數(shù)的方法：看有多少個數(shù)碼排在1的前面，設(shè)為個，那么就有個數(shù)碼與1構(gòu)成反序；然后把1劃去，再看有多少個數(shù)碼排在2的前面，設(shè)為個，那么就有個數(shù)碼與2構(gòu)成反序；然后把2劃去，計算有多少個數(shù)碼在3前面，設(shè)為個，……，如此繼續(xù)下去，最后設(shè)在n前面有個排列_4定義把一個排列中某兩個數(shù)的位置互換，而其它的數(shù)不動，就得到另一個排列，這樣的一個變換稱為對換。例如，經(jīng)過1，2對換，排列2134變成1234。

定理1對換改變排列的奇偶性。推論在全部n級排列中，奇、偶排列的個數(shù)相等，各有n!/2個。(參考習(xí)題11)定理2任何一個n級排列與排列12…n都可以經(jīng)過一系列對換互變，并且所做對換的個數(shù)與這個排列有相同的奇偶性。n階行列式的定義定義組成的記號

稱為n階行列式,其中：橫排列稱為行，縱排列稱為列.n級行列式_1

例1計算四階行列式例2計算上三角行列式等于主對角線上元素的乘積特殊情況對角形行列式練習(xí)：P9782）

練習(xí)：P966行指標和列指標的地位是對稱的n級行列式_2行列式性質(zhì)_1

注：行列式中行與例的地位是對稱的，從而凡是有關(guān)行的性質(zhì)，對列也同樣成立。例計算下三角行列式等于主對角線上元素的乘積行列式性質(zhì)_2Aij表示所有含有aij的項在提出公因子aij之后的代數(shù)和行列式按某行展開行列式的等價定義行列式性質(zhì)_2

行列式性質(zhì)_7

例：計算n級行列式例2：一個n級行列式，假設(shè)它的元素滿足證明：當n為奇數(shù)時，此行列式為零。練習(xí)：P98131）3）矩陣定義1數(shù)域P上sn個數(shù)

排成一個s行n列的表

叫做一個s行n列（或s×n）的矩陣，注意：矩陣和行列式在形式上有些類似，但有完全不同的意義，一個行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個矩陣僅僅是一個表.

定義2矩陣的行（列）初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換：3)用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列）2)交換矩陣的兩行（列）1)用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）矩陣的三種初等行變換表示矩陣A經(jīng)過初等行變換變成矩陣B矩陣的三種初等行變換第1種:以非零的數(shù)k乘矩陣中的某一行

矩陣的三種初等行變換第2種:交換矩陣的第i行和第j行的位置矩陣的三種初等行變換第3種:把矩陣中某一行的k倍加到另一行階梯形矩陣定義滿足以下條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：每一行從第一個元素起至該行的第一個非零元素下方全零。例子任意一個矩陣經(jīng)過一系列初等行變換總能變成階梯形矩陣例：把下列矩陣通過初等行變換化為階梯形矩陣3)用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列）2)交換矩陣的兩行（列）1)用一個不等于零k的數(shù)乘矩陣的某一行（列）行列式的計算性質(zhì)2性質(zhì)7性質(zhì)6行列式的計算階梯形方陣的行列式為上三角形行列式方陣A通過一系列初等行變換后變成階梯形方陣J，有例：計算行列式按某行展開特別地，定義n(n>1)階行列式的某一元素的余子式指的是在D中劃去所在行和列后所余下的n－1階子式.實際上，一般地，定理：例：計算例：證明：范德蒙德行列式例：證明行列式的計算三角化法：對行列式通過初等變換化為上（下）三角行列式降階法：直接降階：按行列式中非零元素較少的行（列）展開間接降階：利用行列式性質(zhì)，使行列式的某行（列）具有較少的非零元，再按其展開普遍法則行列式的計算提取因子法：行和相等時，各列加到第一列，提取公因子(P98131)2)P100173))文字行列式，當文字取某些值時可使行列式為零，則行列式含此因子；結(jié)合行列式定義，可得行列式值常用技巧拆分法：A=B+CP9814行列式的計算歸納法：III常用技巧化為I的情形Exe:P1013)行列式的計算行列式的計算特殊行列式計算削去行列式第二列后所有對角元或次對角元，再展開直接按第一列展開(Exe: 171))1.2.消去第一列（行）后成三角行列式直接按第一行（列）展開(Exe:181))3.加邊法，化原行列式如2.形式第一行（列）消去其他各行（列），化為型如2.形式(Exe:185))行列式的計算行列式的計算

作業(yè)：P98135)14171)5)184)5)齊次與非齊次線性方程組的概念含有n個方程的n元線性方程組的一般形式為（1）

它的系數(shù)構(gòu)成的行列式稱為方程組（1）的系數(shù)行列式。如果線性方程組（1.1）的常數(shù)項為零，即稱為齊次線性方程組。（10）3.5.2．克萊姆法則定理3.5.1(克萊姆法則)線性方程組(1.1)當其系數(shù)行列式時,有且僅有唯一解此處是將系數(shù)行列式中第j列的元素對應(yīng)地換為方程組的常數(shù)項后得到的n階行列式.證時是顯然的.設(shè).令是整數(shù)1，2，…，中的任意一個.分別以乘方程組（1）的第一，第二，…，第個n方程，然后相加，得由定理3.4.2和3.4.3，的系數(shù)等于D而的系數(shù)都是零；因此等式左端等于，而等式右端剛好是階行列式這樣，我們得到令我們得到方程組（3）

方程組（1）的每一解都是方程組（3）的解.事實上，設(shè)是方程組（1）的一個解。那么在（1）中把代以，就得到一組等式。對于這一組等式施以由方程組（1）到方程組（3）的變換，顯然得到下面的一組等式：這就是說，也是方程組（3）的一解。當時，方程組（3）有唯一解，就是（2）。因此方程組（1）也最多有這一個解。我們證明（2）是（1）的解。為此，把（2）代入方程組（1），那么（1）的第個方程的左端變?yōu)槎嬎愠鰜?，我們得到這里我們應(yīng)用了定理3.4.2和3.4.3。這就是說，（2）是方程組（1）得解。因此，當時，方程組（1）有且僅有一個解，這個解由公式（2）給出。齊次線性方程組解的定理定理5如果齊次線性方程組(10)的系數(shù)行列式,則它僅有零解.例：求在什么條件下，下列方程組有非零解注：齊次線性方程組有非零解，則D=0克拉默法則k階子式、余子式、代數(shù)余子式例1：在四級行列式中例2:在五級行列式中Laplace定理設(shè)D是n階行列式，在D中任取k行（列），那么含于這k行（列）的全部k階子式與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于D.即若取定k個行：例3:利用Laplace定理計算行列式定理7（行列式乘法定理）兩個行列式的乘積