第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述及其轉(zhuǎn)換

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在控制系統(tǒng)的研究中有著相當(dāng)重要的地位，要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真處理，首先應(yīng)當(dāng)知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后才可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬。同樣，如果知道了系統(tǒng)的模型，才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使得系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到預(yù)期的效果，從而符合工程實(shí)際的需要。

在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型形式有：傳遞函數(shù)模型（系統(tǒng)的外部模型）、狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模型）、零極點(diǎn)增益模型和部分分式模型等。這些模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換。微分方程是控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)，一般來(lái)講，利用機(jī)械學(xué)、電學(xué)、力學(xué)等物理規(guī)律，便可以得到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，這些方程對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言是一種常系數(shù)的線性微分方程。

一、線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本描述方法

如果已知輸入量及變量的初始條件，對(duì)微分方程進(jìn)行求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：

對(duì)線性定常系統(tǒng)，式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a1不等于零，這時(shí)系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)向量唯一地確定出來(lái)，這兩個(gè)向量分別用num和den表示。

num=[bm,bm-1,…,b1,b0] den=[an,an-1,…,a1,a0]

注意：它們都是按s的降冪進(jìn)行排列的。1、連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型

在MATLAB中建立傳遞函數(shù)的模型，有兩種方法：

直接用函數(shù)tf；或者通過(guò)定義拉普拉斯變量s

建立SISO系統(tǒng)傳函模型建立MIMO系統(tǒng)傳函模型

用串聯(lián)SISO系統(tǒng)和單元數(shù)組程序Example9_1.m程序Example2_2.m程序Example2_3.m建立SISO系統(tǒng)傳函模型例2建立MIMO系統(tǒng)傳函模型例1

零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對(duì)原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用[Z,P,K]矢量組表示。即：

Z=[z1;z2;…;zm]P=[p1;p2;...;pn]K=[k]K為系統(tǒng)增益，zi為零點(diǎn)，pj為極點(diǎn)2、零極點(diǎn)增益模型在MATLAB中建立零極點(diǎn)增益的模型，有兩種方法：

直接用函數(shù)zpk；或者通過(guò)拉普拉斯變量s

建立SISO系統(tǒng)傳函模型建立MIMO系統(tǒng)傳函模型

用串聯(lián)SISO系統(tǒng)和單元數(shù)組程序Example9_2.m建立SISO系統(tǒng)的zpk模型例4建立MIMO系統(tǒng)的zpk模型例3系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以表示成部分分式或留數(shù)的形式函數(shù)[r,p,k]=residue(num,den)對(duì)兩個(gè)多項(xiàng)式的比進(jìn)行部分展開(kāi)，以及把傳函分解為微分單元的形式。[num,den]=residue(r,p,k)可以將部分分式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式比num(s)/den(s)。3、部分分式展開(kāi)4.狀態(tài)空間描述

狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程，經(jīng)典控制理論用傳遞函數(shù)將輸入—輸出關(guān)系表達(dá)出來(lái)，而現(xiàn)代控制理論則用狀態(tài)方程和輸出方程來(lái)表達(dá)輸入—輸出關(guān)系，揭示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。狀態(tài)空間法是反映輸入變量、狀態(tài)變量和輸出變量間關(guān)系的一對(duì)向量方程。狀態(tài)空間法是一種時(shí)間域方法，同時(shí)適用于單輸入-單輸出系統(tǒng)和多輸入-多輸出系統(tǒng)，線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)。其主要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是線性代數(shù)，在系統(tǒng)的分析和綜合中所涉及的計(jì)算主要為矩陣運(yùn)算和矩陣變換。狀態(tài)方程：輸出方程：在MATLAB中用函數(shù)ss建立狀態(tài)空間模型，格式為：sys=ss（A，B，C，D）舉例：系統(tǒng)為一個(gè)兩輸入兩輸出系統(tǒng)》A=[16910;31268;47911;5121314];》B=[46;24;22;10];》C=[0021;8022];》D=zeros(2,2);5.離散時(shí)間系統(tǒng)模型

建立幾種離散時(shí)間系統(tǒng)模型的函數(shù)調(diào)用格式如下：

sys1=tf（num，den，Ts）

sys2=zpk（z,p,k，Ts）

sys3=ss（a，b，c，d，Ts）二、系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型間的相互轉(zhuǎn)換在一些場(chǎng)合下需要用到某種模型，而在另外一些場(chǎng)合下可能需要另外的模型，這就需要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換。

傳遞函數(shù)-狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu);

狀態(tài)方程-零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu);[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k);

傳遞函數(shù)-零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換

[z,p,k]=tf2zp(num,den);[num,den]=zp2tf(z,p,k);用法舉例：1）已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：》A=[01;-1-2];B=[0;1];》C=[1,3];D=[1];》[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)％iu用來(lái)指定第n個(gè)輸入，當(dāng)只有一個(gè)輸入時(shí)可忽略。》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)2）已知一個(gè)單輸入三輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為：》num=[00-2;0-1-5;120];den=[16116];》[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型：》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;》[num,den]=zp2tf(z,p,k)》[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)注意：零極點(diǎn)的輸入可以寫(xiě)出行向量，也可以寫(xiě)出列向量。

三、系統(tǒng)模型的連接串聯(lián)連接：sys1sys2u1u2y1y21控制系統(tǒng)的典型連接sys=series（sys1，sys2）[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)％將串聯(lián)連接的傳遞函數(shù)進(jìn)行相乘。[A,B,C,D]=series（A1,B1,C1,D1，A2,B2,C2,D2）％串聯(lián)連接兩個(gè)狀態(tài)空間系統(tǒng)。[a,b,c,d]=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,out1,in2)％out1和in2分別指定系統(tǒng)1的部分輸出和系統(tǒng)2的部分輸入進(jìn)行連接。sys=parallel（sys1，sys2）[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)％將并聯(lián)連接的傳遞函數(shù)進(jìn)行相加。[A,B,C,D]=parallel（A1,B1,C1,D1，A2,B2,C2,D2）％并聯(lián)連接兩個(gè)狀態(tài)空間系統(tǒng)。

[a,b,c,d]=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2)％inp1和inp2分別指定兩系統(tǒng)中要連接在一起的輸入端編號(hào)，從u1,u2,…,un依次編號(hào)為1,2,…,n；out1和out2分別指定要作相加的輸出端編號(hào)，編號(hào)方式與輸入類(lèi)似。inp1和inp2既可以是標(biāo)量也可以是向量。out1和out2用法與之相同。如inp1=1,inp2=3表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入端與系統(tǒng)2的第三個(gè)輸入端相連接。若inp1=[13],inp2=[21]則表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第二個(gè)輸入連接，以及系統(tǒng)1的第三個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第一個(gè)輸入連接。sys1sys2u1u2y1y2++并聯(lián)連接：rsys1sys2u1u2y1y2+-負(fù)反饋連接：[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)％將兩個(gè)系統(tǒng)按反饋方式連接，一般而言，系統(tǒng)1為對(duì)象，系統(tǒng)2為反饋控制器。[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)％系統(tǒng)1的所有輸出連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的所有輸出連接到系統(tǒng)1的輸入，sign用來(lái)指示系統(tǒng)2輸出到系統(tǒng)1輸入的連接符號(hào)，sign缺省時(shí)，默認(rèn)為負(fù)，即sign=-1?？傁到y(tǒng)的輸入/輸出數(shù)等同于系統(tǒng)1。[a,b,c,d]=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1)％部分反饋連接，將系統(tǒng)1的指定輸出out1連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的輸出連接到系統(tǒng)1的指定輸入inp1，以此構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)％可以得到類(lèi)似的連接，只是子系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)均以傳遞函數(shù)的形式表示。sign的含義與前述相同。閉環(huán)：cloop（單位反饋）[ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,sign)％通過(guò)將所有的輸出反饋到輸入，從而產(chǎn)生閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。當(dāng)sign=1時(shí)采用正反饋；當(dāng)sign=-1時(shí)采用負(fù)反饋；sign缺省時(shí)，默認(rèn)為負(fù)反饋。[ac,bc,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs)％表示將指定的輸出outputs反饋到指定的輸入inputs，以此構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。一般為正反饋，形成負(fù)反饋時(shí)應(yīng)在inputs中采用負(fù)值。[numc,denc]=cloop(num,den,sign)％表示由傳遞函數(shù)表示的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，sign意義與上述相同。程序Example2_17.m將狀態(tài)增廣到狀態(tài)空間系統(tǒng)的輸出中格式：[Ac,Bc,Cc,Dc]=augstate(A,B,C,D)系統(tǒng)的組合格式：[A,B,C,D]=append(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)2由較復(fù)雜的方框圖求狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)在研究復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)，一般習(xí)慣利用方框圖來(lái)輔助列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)。這樣做的好處是：一方面是直觀，符合控制系統(tǒng)的實(shí)際情況；另一方面也方便系統(tǒng)模型的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，包括系統(tǒng)的綜合和校正等等。步驟：

使用append命令，建立系統(tǒng)無(wú)連接的狀態(tài)空間模型確定Q矩陣及輸入輸出編號(hào)，建立系統(tǒng)連接關(guān)系建立系統(tǒng)整體模型

SYSc=connect(SYS,Q,input,output)程序Example2_18.m四、典型系統(tǒng)的生成1.建立二階系統(tǒng)模型格式：[A,B,C,D]=ord2(wn,ζ)or[num,den]=ord2(wn,ζ)2.具有純時(shí)延系統(tǒng)的pade近似[num,den]=pade(T,n)

五、系統(tǒng)的離散化和連續(xù)化連續(xù)系統(tǒng)離散化：

[Ad,Bd]=c2d（A,B,T）

[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dm（A,B,C,