第八章相量法§8-1．復(fù)數(shù)1．復(fù)數(shù)的多種表示法（1）代數(shù)形式

F=a+jb，（或F=x+jy）

a=Re[F]——復(fù)數(shù)的實部（Real）

b=Im[F]——復(fù)數(shù)的虛部（Imaginary）例如，F(xiàn)1=2+j3，F(xiàn)2=25-j2.4。D（2）向量形式復(fù)平面（+1，+j）上的“有向線段”（向量、矢量），起點為原點，箭頭為終點，見圖示：+j+10abF實部a是向量F在實軸上的投影，虛部b是向量在虛軸上的投影。UDθ+j+10abF（3）三角形式根據(jù)復(fù)平面的向量形式可得到：并且由圖可得：UD F=│F│Cosθ+│F│jSinθ =│F│(Cosθ+jSinθ)（4）指數(shù)形式利用歐拉公式ejθ=Cosθ+jSinθ進行轉(zhuǎn)換，可得指數(shù)形式：

F=│F│(Cosθ+jSinθ)=│F│ejθ

UDθ+10F（5）極坐標形式

F=│F│ejθ=│F│∠θUD2．復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的各種表示形式均可進行“加、減、乘、除”等運算。一般來說：加、減——用代數(shù)形式運算很方便； 乘、除——用指數(shù)形式和極坐標形式運算很方便。設(shè)：F1=a1+jb1=│F1│ejθ1，F(xiàn)2=a2+jb2=│F2│ejθ2。（1）加、減：

F=F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)UD（2）乘、除：UD設(shè)F2≠0，則：（3）和實數(shù)一樣，復(fù)數(shù)的運算也滿足：

交換律：

F1+F2=F2+F1

F1F2=F2F1

結(jié)合律：

F1+(F2+F3)=(F1+F2)+F3

F1(F2F3)=(F1F2)F3

分配律：

F1(F2+F3)=F1F2+F1F3UD+1+j0abFθ○將復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)相乘，結(jié)果是一實數(shù)，這稱為復(fù)數(shù)的有理化運算，例如：

FF*=(a+jb)(a－jb)=a2+b2F*-θ－b（4）共軛復(fù)數(shù)：F*設(shè)：F=a+jb則F的共軛復(fù)數(shù)為：F*=a－jb。

F*的向量圖見右：UD3．復(fù)數(shù)運算的圖解法（幾何意義）（1）加法：

F=F1+F2

=(a1+a2)+j(b1+b2) =a+jb由F1和F2平移后形成的平行四邊形的對角線就是F?；颍篎2沿F1平移后頭尾相接，由原點出發(fā)形成封閉三角形的第三邊即為F。+j+10abFa1b1F1F2b2a2（2）減法：F=F1-F2

=(a1-a2)+j(b1-b2)

=a-jb根據(jù)F=F1－F2=F1+(－F2)，可參考加法的幾何意義解釋。+j+10a1b1F1abFF2b2a2-F2UD+j+10（3）乘法：F=F1F2

=│F1││F2│∠(θ1+θ2) =│F│∠θ

F的模為F1的模乘以F2的模，F(xiàn)的輻角是在F2（或F1）輻角θ2（或θ1）的基礎(chǔ)上逆時針旋轉(zhuǎn)（即加上）θ1（或θ2）。θ=θ1+θ2FF2θ2F1θ1θ1（4）除法：F=F1/F2

=│F1/F2│∠(θ1-θ2)

=│F│∠θ

F的模為F1的模除以F2的模，F(xiàn)的輻角是在F1輻角θ1的基礎(chǔ)上順時針旋轉(zhuǎn)（即減去）θ2。+j+10F2θ2θ=θ1－θ2FF1θ1θ2UD※

旋轉(zhuǎn)因子：

ejθ=1∠θ——乘它時，被乘向量的模不變，但逆時針旋轉(zhuǎn)θ；

e-jθ=1∠(-θ)——乘它時，被乘向量的模不變，但順時針旋轉(zhuǎn)θ；

j=ej(π/2)——乘它時，被乘向量的模不變，但逆時針旋轉(zhuǎn)π/2；

-j=e-j(π/2)——乘它時，被乘向量的模不變，但順時針旋轉(zhuǎn)π/2；UD§8-2．正弦量正弦量——隨時間按正弦規(guī)律變化的電量統(tǒng)稱。正弦量的數(shù)學(xué)描述——Sin函數(shù)或Cos函數(shù)。（兩種變化的本質(zhì)相同，僅是初相位不同。）

注意：可任用一種作相量法分析，但不要兩者混用。本書采用Cos函數(shù)描述。1．正弦量的時域表達式（以i為例）：正弦量隨時間變化的圖形稱為正弦波，見圖：itωt0－ππ2π3πTUD2．正弦量的三要素（1）要素之一：Im或I。

Im——正弦量的振幅。（振蕩周期中達到的最大值） 波頂和波谷間的值稱為峰－峰值：IP-P=Im-(-Im)=2Im。－ImImitωt0－ππ2π3πTIP-PUD

I——有效值。（工程中常用，許多電氣設(shè)備的銘牌或表頭上標出的值都是有效值）－ImImitωt0－ππ2π3πT有效值定義：IUD（2）要素之二：ω或f、T。

ω——角頻率。表示正弦量單位時間內(nèi)變化的角速度。單位：rad/S。

f——頻率。單位時間內(nèi)正弦量變化的周波數(shù)。單位：HZ。

T——正弦波變化一次所需要的時間。單位：S。－ImImitωt0－ππ2π3πTIT=2π它們之間的關(guān)系：UD（3）要素之三：（ωt+Ψi），Ψi。(ωt+Ψi)——相位角。單位：弧度（rad）或度。

Ψi——初相角。它是相位角在t=0

時的相位，與計時參考點（零點）有關(guān)，通常在主值范圍內(nèi)取值，即：[單位：弧度（rad）或度]

－180o（或－π）≤Ψi≤180o

（或π）。Ψi－ImImitωt0－ππ2π3πTIT=2πUD3．相位差的概念

相位差是正弦穩(wěn)態(tài)電路中的一個重要概念。設(shè)：f1=f1mCos(ωt+Ψ1)和f2=f2mCos(ωt+Ψ2)，則，f1和f2之間的相位差定義為：

φ12=(ωt+Ψ1)-(ωt+Ψ2)

=Ψ1-Ψ2

=ΔΨ相位差的取值也在主值范圍內(nèi)，即：[單位：弧度（rad）或度]

－180o（或－π）≤φ12≤180o

（或π）

由定義知，相位差實際上是初相之差，它是與時間無關(guān)的常數(shù)，當f1和f2取同一時間軸時，相位差與計時零點的選取、變動均無關(guān)。UDf2φ12φ12f2ftωt0－ππ2π3πTf1（3）當φ12=0，稱f1與f2同相；f2φ12f2φ12=±π/2f2φ12討論：（1）當φ12＞0，稱f1超前f2（或稱f2滯后f1）；（2）當φ12＜0，稱f1滯后f2（或稱f2超前f1）；（4）當φ12=±180o(±π)，稱f1和f2倒相（反相）；（5）當φ12=±90o(±π/2)，稱f1和f2正交。UD4．正弦量的重要性質(zhì)★在線性電路中，正弦量具有一個重要性質(zhì)：

正弦量乘以常數(shù)，或進行微分、積分，或進行同頻正弦量的代數(shù)和等運算，其結(jié)果仍為一個同頻率的正弦量。UD§8-3．相量法的基礎(chǔ)由正弦量在線性電路中的重要特性可知，當激勵是正弦量時，電路中其它的響應(yīng)參數(shù)均是同頻率的正弦量，只是另兩個要素（振幅、初相位）發(fā)生變化。因此，在分析正弦電路時，可以不考慮頻率帶來的周期性變化，而主要分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值和初相位的變化即可，這可使穩(wěn)態(tài)電路的分析大大簡化?！裣嗔糠ㄊ墙⒃凇跋嗔俊焙汀白杩埂边@兩個概念基礎(chǔ)上的。UD1．相量形式的定義設(shè)復(fù)數(shù)F=│F│ejθ=│F│ej(ωt+Ψ)

=│F│Cos(ωt+Ψ)+jSin(ωt+Ψ)因而正弦量的表達式可寫成：（仍以電流為例） i=ImCos(ωt+Ψi)=Re[Fi]因此，在同頻率激勵的正弦電路中，穩(wěn)態(tài)后，各電壓、電流參數(shù)起變化的是：

IejΨi

這是一個以正弦量的有效值為模、以初相位為輻角的一個復(fù)常數(shù)，將它定義為相量，記為——常用。（有效值）相量：（幅值）相量：UD說明：①相量是個特殊的復(fù)數(shù)，它與一個正弦量相對應(yīng)。②電壓相量與此同樣定義；③實際應(yīng)用中可直接根據(jù)正弦量寫出相量。但是，由相量寫出對應(yīng)的正弦量時，必須知道角頻率ω，否則不能完整寫出。這兩種變換稱為M變換：

M正變換：正弦量→相量

M反變換：相量→正弦量UD已知正弦量i=14.1Sin(314t+30o)A，寫出相量：首先將正弦量變換成（本教材采用的）正弦函數(shù)形式：

i=14.1Sin(314t+30o)

=14.1Cos(314t+30o-90o)

=14.1Cos(314t-60o)A所以相量為：UD例如，已知正弦量u=141Cos(314t±30o)V，寫出相量(M正變換)：●相量在復(fù)平面上的圖形稱為“相量圖”。

例如其相量圖：+j0+17.077.07UD2．M變換的一些常用性質(zhì)設(shè)（1）微分性質(zhì)：UDM變換的微分性質(zhì)表明：正弦量的導(dǎo)數(shù)的相量，為原求導(dǎo)前的相量乘以jω。即，模擴大ω倍，并逆時針旋轉(zhuǎn)90o。依此類推，對高價導(dǎo)數(shù)有：M變換的積分性質(zhì)表明：正弦量的積分的相量，為原求積分前的相量除以jω。即，模縮小ω倍，并順時針旋轉(zhuǎn)90o。依此類推，對n重積分有：（2）積分性質(zhì)：UD

K、K1、K2均為實常數(shù)。（3）疊加性質(zhì)：（4）比例性質(zhì)：（5）線性性質(zhì)：UDB＋uS1－＋uS2－A＋uAB

－解：（1）利用M變換及性質(zhì)進行求解較方便。因為uS1、uS2均為Sin函數(shù)，所以既可先將Sin轉(zhuǎn)換成Cos再求，也可先按Sin求然后再轉(zhuǎn)換成Cos。并直接用幅值相量。例．電路如圖示。已知uS1=200Sin(ωt+10o)V，uS2=300Sin(ωt+φ)V。試求：（1）φ=-30o時的uAB。（2）在φ可調(diào)時，AB兩端電壓為最大值和最小值時的φ值及相應(yīng)的電壓幅值UABm。UD∴uAB=475.8Sin(ωt-16.2o)

=475.8Cos(ωt-106.2o)V（2）根據(jù)相位差的波形可知：當uS1和uS2同相位時，AB間電壓幅值最大，即：

φ=10o時，UABm=US1m+US2m

=200+300=500V。當uS1和uS2反相位時(10o-φ=180o)，AB間電壓幅值最小，即：

φ=-170o時，UABm=US2m-US1m

=300-200=100V。UD§8-4．電路定律的相量形式設(shè)電路中所有的激勵源均是同頻率的正弦量。則根據(jù)正弦量的重要性質(zhì)以及時域形式和相量形式M變換的特點，我們可以得到KVL、KCL以及元件R、L、C的VCR的相量形式：元件支路變換：iR＋uR

－RRUD概述：在電阻R的VCR相量形式中，電壓相量與電流相量僅為同相位的比例關(guān)系，與時域形式的歐姆定律形式非常相似。[相量圖見教材P212.圖8-9（c）]元件支路變換：iL＋uL

－LjωLUD概述：在電感L的VCR相量形式中，電壓相量超前電流相量90o[相量圖見教材P213.圖8-10（c）相當于乘以旋轉(zhuǎn)因子j]，而且其比例為ωL（量綱：Ω），電壓有效值為ωLI。當ω=0（直流）時，ωL=0，即相量形式的電感相當于短路。元件支路變換：iC＋uC

－CUD概述：在電容C的VC