第一章概率論的基本概念

1理解隨機事件的概念，了解樣本空間的概念，掌握事件之間的關系和運算。2理解概率的定義，掌握概率的基本性質(zhì)，并能應用這些性質(zhì)進行概率計算。3理解條件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，并能應用這些公式進行概率計算。4理解事件的獨立性概念，掌握應用事件獨立性進行概率計算。5掌握伯努利概型及其計算。第一節(jié)基本概念一.必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）的現(xiàn)象；條件不能完全決定結果，每次觀察所發(fā)生的結果可能是不同的。

二.隨機試驗與隨機事件1.隨機試驗隨機試驗具有以下三個特點：1.可以在相同條件下重復進行；2.試驗結果不止一個，且可以預知一切可能的結果的取值范圍；3.試驗前不能確定會出現(xiàn)哪一個結果。

例子：：擲一個骰子，觀察所擲的點數(shù)；：抽查市場某些商品的質(zhì)量，檢查商品是否合格；：觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù)；：已知某物體的長度在a和b之間，測量其長度；：對某個燈泡作實驗,觀察其使用壽命

2.隨機事件在隨機試驗中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件，簡稱事件。其特點：事前不能夠預言其結果的事情。常用大寫字母A,B,C等表示事件例1.1：拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣

例2.1：袋中有10個大小相同的小球，編號從0到9，每次從袋中取出一球，看編號。

基本事件：試驗的每一個可能的結果是事件，因為這種事件不可能再分解為更簡單的事件，所以我們稱這種事件為基本事件。b.復合（一般）事件：由若干基本事件復合而成。c.在一次試驗中，一個事件發(fā)生當且僅當它所含的一個基本事件發(fā)生；一個事件不發(fā)生當且僅當它所含的所有事件都不發(fā)生

三、事件的集合表示，樣本空間

樣本點：隨機試驗中每一種可能的結果為一個樣本點，記為：樣本空間：由全體樣本點組成的集合。記為：。例：

四.事件的關系與運算

1、事件的集合論定義：a.隨機事件：樣本空間中滿足某些條件的樣本點構成的子集稱為隨機事件，通常用A,B,C……表示；b.基本事件：只含有一個樣本點的事件；c.必然事件：樣本空間本身也是事件；d.不可能事件：空集中不含樣本空間的任何元素，它叫不可能事件。直觀意義與集合論定義比較

符號集合論解釋概率論解釋

空間必然事件、樣本空間空集不可能事件點（元素）基本事件、樣本點

A的子集A事件A是A中的點事件A發(fā)生不是A中的點事件A不發(fā)生

2.事件的包含關系

（1）事件的包含：若事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，即A中每個樣本點都屬于B,則稱A包含于B,記為

（2）事件的相等：若且，則稱A與B相等，記為A=B。

3、和事件事件的和（并）：事件A發(fā)生或者B發(fā)生，稱為A與B的和（并）事件，記。

推廣：事件至少發(fā)生其一：事件的至少發(fā)生其一：

4、交事件（積事件）事件的交(積)：事件A與B都發(fā)生，稱為A與B的積（交）事件，記為。推廣：事件同時發(fā)生：

事件同時發(fā)生：

5、差事件：事件A發(fā)生但B不發(fā)生稱為A與B之差，記為A-B

6、互斥（不相容）事件：若事件A與B不能同時發(fā)生，稱A與B為互斥事件.7、互逆事件：若且則稱A與B為互逆事件.記

符號集合論解釋概率論解釋A是B的子集事件A發(fā)生必導致事件B發(fā)生A=B集合A與B相等兩事件A與B相等A的補集A的對立事件

A與B的交集事件A與事件B同時發(fā)生A與B的和集事件A與B中至少有一個發(fā)生

A-BA與B的差集事件A發(fā)生但B不發(fā)生A與B沒有公共點事件A與B互不相容

8、事件運算的基本性質(zhì)交換律結合律分配律

摩根定律（對偶律）

否定律冪等律第二節(jié)隨機事件的概率

一.概率的統(tǒng)計定義定義1.1在n次重復試驗中，若事件A發(fā)生了m次，則稱m為事件A發(fā)生的頻數(shù)，稱為事件A發(fā)生的頻率，記為頻率的穩(wěn)定性：對于每個事件A，隨著試驗次數(shù)n的逐漸增大，頻率逐漸穩(wěn)定于某一固定常數(shù)。

概率的統(tǒng)計定義：在同樣的條件下進行大量試驗時，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，事件Ａ的頻率必然穩(wěn)定在某一個確定數(shù)ｐ的附近則，定義事件Ａ的概率為P(A)=p二、古典概型1、定義如果隨機試驗滿足下述三條：(1)試驗結果的個數(shù)有限，即樣本空間為(2)基本事件兩兩互不相容(3)基本事件發(fā)生的可能性相等。我們稱具有以上兩特點的隨機試驗所對應的概率模型為古典概型

定理2.1在古典概型中，設樣本空間有n個樣本點，A是的事件且A中有k個樣本點，則事件A發(fā)生的概率為例2.1、袋中有10個小球，4個紅的，6個白的，按下述兩種取法連續(xù)從袋中取3個球，分別求下列事件的概率：A=“3個球都是白的”，B=“2個紅的，一個白的”.

抽取方案(1)每次抽取一個，看放回袋中；然后再抽取下一個(有放回抽樣)(2)每次抽取一個，不放回袋中；然后在剩下的小球中再抽取下一個(不放回抽樣)

概率計算要點給定樣本點，并計算出它的總數(shù)再計算有利場合的數(shù)目

2、基本的組合分析公式

a.兩條原理

乘法原理：若進行過程有種方法，進行過程有種方法，則進行過程后接著進行過程共有種方法。

加法原理

：若進行過程有種方法，進行過程有種方法，假定過程與過程是并行的，則進行過程或過程的方法共有種。

b.排列：(1)在有放回選取中，從n個元素中取出r個元素進行排列，這種排列稱為有重復的排列，其總數(shù)共有種。(2)在不放回選取中，從n個元素中取出r個元素進行排列,其總數(shù)為這種排列稱為選排列.當r=n時,稱為全排列.(3)n個元素的全排列數(shù)為

c.組合

（1）從n個元素中取出r個元素而不考慮其順序，稱為組合，其總數(shù)為（2）若，把n個不同的元素分成k個部分，第一部分個，第二部分個，…,第k部分個，則不同的分法有種。（3）從n個元素中有重復地取r個，不計順序，則不同的取法有種，這個數(shù)稱為有重復組合數(shù)。例2.2麥克斯韋爾-波爾茲曼點運動問題:有m個質(zhì)點，每個質(zhì)點等可能地落入N個格子里（每個格子可容納的質(zhì)點數(shù)不限），試求P(A),P(B).1)A=“m個質(zhì)點落入同一個格子里”；2)B=“m個質(zhì)點落入不同的m個格子里”

例2.3.口袋中有a只黑球，b只白球，它們除顏色不同外其它方面無差別，現(xiàn)把球隨機地一只只摸出來，求第k次摸出一只球是黑球的概率例2.4將15名新生隨機地平均分配到三個班級中，這15名新生中有3名是優(yōu)秀生。問1）每個班級各分配到一個優(yōu)秀生的概率是多少？2）3名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少？例2.5某接待站在某一周接待過12次來訪，已知所有這些接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？

四、概率定義及性質(zhì)1定義2.3：設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一個事件A賦予一個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)滿足下列條件（1）非負性：對于任一事件A，有（2）規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S)=1（3）可列可加性：設為兩兩不相容(互斥)事件，則有

2、概率的一些重要性質(zhì)1）2）有限可加性：設為n個兩兩不相容事件，則有

3）減法公式：若，則P(B-A)=P(B)-P(A),推論1.若，則推論2.對任一事件A，4）逆事件的概率:對于任一事件A，有

5）加法公式：對于任兩個事件A,B，則推廣：對任意n個事件,有

例2.6：設A、B為兩個事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.5，，求例2.9：某城市共發(fā)行A,B,C三種報紙，調(diào)查表明居民家庭中訂購C報的占30%，同時訂購A,B兩報的占10%,同時訂購A,C及B,C兩報的各占8%，5%，三報都訂的占3%.今在該城中任找一戶，問該戶(1)只訂A、B兩報；(2)只訂C報的概率各為多少？第三節(jié)條件概率一.條件概率(conditionalprobability)的定義定義.3.1設A,B為同一隨機試驗中的兩個事件，且P(A)>0，稱為在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。

例3.1：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況，設事件A為“至少有一次為正面”，事件B為“兩次擲出同一面”。求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。

定理3.1設A為一給定的事件，且P(A)>0，則關于條件概率成立（1）非負性：對任意的事件B，；（2）規(guī)范性：（3）可列可加性：若是一列兩兩互不相容的事件，有

定理3.2若P(A)>0，對于事件A發(fā)生下的條件概率成立(1)(2)若兩兩互不相容,則(3)對任意事件B，成立(4)若，則P(B-C|A)=P(B|A)-P(C|A)

(5).對任意事件B、C，成立一般地，對任意有限個事件，成立

例3.2.一個盒子裝有4只產(chǎn)品，其中有3只一等品，1只二等品。從中取產(chǎn)品兩次，每次任取1只，做不放回抽樣。設事件A為“第一次取到的是一等品”，事件B為“第二次取到的是一等品”。試求條件概率P(B|A).

二.乘法公式定理3.3對于任意的事件A,B,若P(A)>0，則

P(AB)=P(A)P(B|A)上式稱為事件概率的乘法公式。推論：設是n個事件，，且，則有例3.4.袋中有r個紅球，t個白球，每次從袋中任取一球，觀其顏色后放回，并再加入同顏色、同型號的小球a個。若在袋中連續(xù)取球四次，試求第一、第二次取到紅球、第三次、第四次取到白球的概率.

三.全概率公式定義3.2設S為某隨機試驗E的樣本空間，

為E中一組事件，若滿足：(1)互不相容性：(2)完全性：則稱為樣本空間S的一個劃分，或是一個完備事件組。

定理3.4設試驗E的樣本空間為S,A為E的事件，為E的一個劃分，且，則有(全概率公式）

例3.5：某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)元件制造廠次品率提供元件的分額10.020.1520.010.8030.030.05設這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標志，在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率。

四.貝葉斯公式定理3.5：設構成樣本空間S的一個劃分，且,A是任一事件,且P(A)>0,則有(貝葉斯公式）例3.6在例3.5中，在倉庫中隨機地取出一元件，若已知取到的是次品，為分析該次品出自何廠，需求出此次品由三家工廠生廠的概率分別是多少，試求這些概率選擇。

例3.7對以往數(shù)據(jù)分析結果表明，當機器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為98%，而當機器發(fā)生某種故障時，其合格率為55%。每天早上機器開動時，機器調(diào)整良好的概率為95%。試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整良好的概率是多少？

第四節(jié)事件的獨立性一.兩個事件的獨立性定義4.1：設A,B為同一樣本空間中的兩事件，若P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B互相獨立。例4.1：一口袋中裝有a只黑球，b只白球，采用有放回摸球，求：1）在已知第一次摸得黑球的條件下，第二次摸出黑球的概率；2）第二次摸出黑球的概率。定理4.1：若P(A)>0,則事件A,B相互獨立的充分必要條件是P(B|A)=P(B)注：1）零概率事件與任何事件都是相互獨立的；2）A,B相互獨立，必有B,A相互獨立。定理4.2：設兩事件A,B互相獨立，則

A與，與B，與各對事件也分別互相獨立。

例4.3：甲乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9和0.85，求每人射擊一次后，目標被擊中的概率。

二.多個事件的獨立性定義4.2：設是n個事件，如果對其中任意兩個