第一章靜電場

第一章靜電場

靜電場：相對觀察者靜止且量值不隨時間變化的電荷所產(chǎn)生的電場。

靜電場是本課程的基礎(chǔ)。由此建立的物理概念、分析方法在一定條件下可類比推廣到恒定電場,恒定磁場及時變場。

靜電場知識結(jié)構(gòu)框圖1.1.1庫侖定律1.1電場強度

N(牛頓)適用條件

兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力;

無限大真空情況(式中可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中F/m)N(牛頓)圖1.1.1兩點電荷間的作用力

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律。大量試驗表明:真空中兩個靜止的點電荷與之間的相互作用力:1.1.2靜電場基本物理量——電場強度定義：

V/m(N/C)

電場強度（ElectricFieldIntensity)

E表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù)。a)點電荷產(chǎn)生的電場強度V/mV/m圖1.1.2點電荷的電場

b)

n個點電荷產(chǎn)生的電場強度(注意:矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強度V/m體電荷分布圖1.1.3體電荷的電場思考:線電荷與面電荷產(chǎn)生的電場強度?d)場強計算公式小結(jié)點電荷的電場為：多點電荷電場為：線電荷的電場為：面電荷的電場為：體電荷的電場為：第一組第二組無限長直線的電場無限大平面的電場電耦極子的電場實或空心球外電場1.1.3電位1)電場內(nèi)積分與路徑無關(guān)例:點電荷電場內(nèi)電場力的做功過程(如圖):上述過程可以推廣到任意源的電場中,因此靜電場是保守場。保守場有勢場無旋場積分與路徑無關(guān)沿任意閉回路積分為零點電荷的電位為：多個點電荷的電位為：線電荷的電位：面電荷的電位：體電荷的電位：如果以無窮遠(yuǎn)點為零電位參考點，則P點電位為：如果以Q點為零電位參考點，則P點電位為：(由此定義PQ兩點間的電位差(電壓))2)常用的電位計算公式

3)一個電偶極子產(chǎn)生的電位和電場強度

極化強度

P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中圖1.2.15電偶極子產(chǎn)生的電位利用關(guān)系式，可以求得位于原點的電偶極子在離它r遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電場強度為球坐標(biāo)系等位線方程：Ｅ線方程：4)

電力線與等位線（面）

電力線：曲線上每一點切線方向應(yīng)與該點電場強度E的方向一致，若是電力線的長度元，E矢量將與方向一致，電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：當(dāng)取不同的C

值時，可得到不同的等位線（面）。等位面:

在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線圖1.2.4點電荷與接地導(dǎo)體的電場在柱、球坐標(biāo)系如何?電場強度垂直于導(dǎo)體表面；

導(dǎo)體是等位體，導(dǎo)體表面為等位面；

導(dǎo)體內(nèi)電場強度E恒為零；電荷分布在導(dǎo)體表面，且

§1-2高斯定律1)靜電場中導(dǎo)體的性質(zhì)圖1.2.13靜電場中的導(dǎo)體2)靜電場中的電介質(zhì)(請看演示)

電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。用極化強度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2式中為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。（在各向同性、線性、均勻介質(zhì))

0—電介質(zhì)的極化率,無量綱量。矢量恒等式：圖1.2.16體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理令極化電荷體密度極化電荷面密度(？)3）電介質(zhì)極化引起的電場計算

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和為零.

D

的通量只取決于高斯面內(nèi)的自由電荷，與介質(zhì)無關(guān)，但不能認(rèn)為D

的分布與介質(zhì)無關(guān)。a)高斯定律的積分形式高斯公式3.電介質(zhì)中的高斯定律b）高斯定律的微分形式

在各向同性介質(zhì)中介電常數(shù)，單位（F/m）平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后，其D線、E線和P線的分布。?

D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)的自由電荷；?P線由負(fù)的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。?

E線的起點與終點既可以在自由電荷上，又可以在極化電荷上；D線E線P線圖1.2.17D、E與P三者之間的關(guān)系例1.2.2求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點：

D

線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；

等

r

處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。由得圖1.2.20電荷線密度為的無限長均勻帶電體4.高斯定律的應(yīng)用

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解(即:D的數(shù)值為常數(shù)，且D*dS在積分面上為常數(shù))。

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。

軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。試問：能否選取正方形的高斯面求解球?qū)ΨQ場(a)(b)(c)圖1.2.20.球?qū)ΨQ場的高斯面圖1.2.21.軸對稱場的高斯面無限大平面電荷：1.3靜電場的基本方程分界面上的銜接條件1.3.1靜電場的基本方程

靜電場是一個無旋、有源場，靜止電荷就是靜電場的源。這兩個重要特性用簡潔的數(shù)學(xué)形式為：解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),例1.3.1已知試判斷它能否表示個靜電場？對應(yīng)靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個靜電場。

以分界面上點P作為觀察點，作一小扁圓柱高斯面（）。

1.3.2分界面上的銜接條件1、電位移矢量D的銜接條件則有

根據(jù)

圖1.3.1在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律

分界面兩側(cè)的

D的法向分量不連續(xù)。當(dāng)時，D的法向分量連續(xù)。當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時，分界面上的銜接條件為圖1.3.3a導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面2、電場強度E的銜接條件圖1.3.2在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律∴分界面兩側(cè)

E的切向分量連續(xù)。

以點P作為觀察點，作一小矩形回路(),根據(jù)則有圖1.3.3分界面上E線的折射在交界面上不存在時，E、D滿足折射定律。折射定律練習(xí):看課本P22頁例1-10，并考慮三維情況因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件設(shè)點1與點2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d

,則當(dāng)時表明:一般情況下,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。圖1.3.4電位的銜接條件對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）例1.3.2如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的場度。（a）（b）圖1.3.5平行板電容器1.4靜電場邊值問題唯一性定理1.4.1泊松方程與拉普拉斯方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點是靜電場的基本方程：泊松方程例1.4.1列出求解區(qū)域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子圖1.4.1三個不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場已知場域邊界上各點電位值圖1.4.2邊值問題框圖自然邊界條件參考點電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即邊值問題研究方法計算法實驗法作圖法解析法數(shù)值法實測法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法圖1.4.3邊值問題研究方法框圖例1.4.2

圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。

解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖1.4.4纜心為正方形的同軸電纜橫截面邊界條件為積分之，得通解例1.4.3

設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中,電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程參考點電位圖1.4.5體電荷分布的球形域電場解得

電場強度（球坐標(biāo)梯度公式）電位：1.4.3唯一性定理證明：（反證法）

唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。1.5分離變量法1.5.1直角坐標(biāo)系中求二維泊松方程：取試探解代入式(1)有設(shè)圖1.5.2雙曲函數(shù)

例1.5.1

圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標(biāo)系（D域內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題圖11.5.1接地金屬槽的截面3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。

d）比較系數(shù)法：當(dāng)時，（D域內(nèi)）當(dāng)時，

根據(jù)經(jīng)驗也可定性判斷通解中能否舍去或項。

注意參看課本中確定系數(shù)的另一種方法。1.6有限差分法

相關(guān)的知識:1)唯一性定理是解題的根據(jù)。2)解析解vs數(shù)值解.1.

基本概念：網(wǎng)格,節(jié)點,步長,離散化。邊值問題：1）選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）（6）

例1.5.2在均勻電場中，放置一根半徑為a，介電常數(shù)為的無限長均勻介質(zhì)圓柱棒，它的軸線與垂直。柱外是自由空間。試求圓柱內(nèi)外電位函數(shù)和電場強度的分布。

根據(jù)場分布的對稱性圖1.5.4均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當(dāng)時，當(dāng)時，2）分離變量,設(shè)

代入式（1）得或根據(jù)根據(jù)，比較系數(shù)得當(dāng)時，4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)。根據(jù)場分布對稱性當(dāng)時，通解中不含的奇函數(shù)項，解之，得比較系數(shù)法：當(dāng)時，得當(dāng)時，，則最終解c）由分界面的銜接條件，得

介質(zhì)柱內(nèi)的電場是均勻的，且與外加電場E0平行。因，，所以。

介質(zhì)柱外的電場非均勻變化，但遠(yuǎn)離介質(zhì)柱的區(qū)域，其電場趨近于均勻電場。

圖1.5.5均勻外電場中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場

1.6.2差分格式

離散化：把偏導(dǎo)數(shù)用有限差分代替，對于方程具體表示如下顯然，h越小上述表達(dá)式近似效果越好。把上述最后兩個式子代到拉普拉斯方程，得

特別地，當(dāng)四個點中某個是邊界點時，上述公式變?yōu)?.6.1有限差分的網(wǎng)格分割注:當(dāng)p=q=1時就還原成內(nèi)點格式。解差分方程的目的是解出所有節(jié)點的值.3.差分方程的求解聯(lián)立方程求解(當(dāng)節(jié)點數(shù)較少時)；高斯－塞德爾迭代法的表達(dá)式：這里k表示迭代次數(shù)，

注意：1)遇到邊界點時必須用邊界值代替；2)方程的個數(shù)等于未知節(jié)點的個數(shù).3)設(shè)置一個合適的停止條件:

(2)逐次超松弛法是高斯－塞德爾迭代法的加速收斂的版本。基本格式如下：

是一個使用者確定的因子，。具體的流程圖如下。

注意：1)確定好各點的初值，初值越好收斂的越快。2)注意第二個格式的建立理由。啟動賦邊界節(jié)點已知電位值賦予場域內(nèi)各節(jié)點電位初始值累計迭代次數(shù)N=0N=N+1按超松弛法進(jìn)行一次迭代，求

所有內(nèi)點相鄰二次迭代值的最大誤差是否小于打印停機(jī)NY圖1.6.2迭代解程序框圖4.例題例題1－17應(yīng)用有限差分法求靜電場邊值問題.解:

取一致步長h=5，因此得到三個節(jié)點，根據(jù)公式1-70得到這三個節(jié)點的三個差分方程為

迭代形式為:設(shè)置迭代誤差，設(shè)置初次迭代值經(jīng)過六次迭代收斂.當(dāng)步長h=2.5時，有21個節(jié)點，經(jīng)過32次疊代收斂.此時需要21個差分方程。1.7鏡像法與電軸法邊值問題：（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（除

q所在點外的區(qū)域）（S為包圍

q的閉合面）1.平面導(dǎo)體的鏡像

鏡像法:用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖1.7.1平面導(dǎo)體的鏡像上半場域邊值問題：（除

q所在點外的區(qū)域）

（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）討論:請看課本1-7-1所示的問題.（方向指向地面）整個地面上感應(yīng)電荷的總量為例1.7.1求空氣中一個點電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點電荷離地面高度為h，則圖1.7.2點電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布2.導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場分布。1)邊值問題：（除q點外的導(dǎo)體球外空間)圖1.7.3點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點P的電位與電場分別為圖1.7.5點電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場圖

鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷圖1.7.4接地導(dǎo)體球外的電場計算在接地球基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置解:邊值問題：(除q

點外的導(dǎo)體球外空間）

(S為球面面積)例1.7.2試計算不接地金屬球附近放置一點電荷時的電場分布。

任一點電位及電場強度為：圖1.7.6點電荷對不接地金屬球的鏡像感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ性，在球內(nèi)有兩個等效電荷。正負(fù)鏡像電荷絕對值相等。正鏡像電荷只能位于球心。

試確定用鏡像法求解下列問題時，其鏡像電荷的個數(shù)，大小與位置?補充題：圖1.7.8點電荷對導(dǎo)體球面的鏡像圖1.7.7點電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖

不接地導(dǎo)體球面上的正負(fù)感應(yīng)電荷的絕對值等于鏡像電荷

嗎?為什么？3.不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點外的上半空間)圖1.7.9點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和

?

中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。

即圖1.7.10點電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場圖

?

中的電場是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。圖1.7.11點電荷與分別置于與區(qū)域中

為求解圖示與區(qū)域的電場，試確定鏡像電荷的個數(shù)、大小與位置。1.7.2電軸法邊值問題：

（導(dǎo)線以外的空間）

?根據(jù)唯一性定理，尋找等效線電荷——電軸。1.問題提出1.7.12長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線

?

用置于電軸上的等效線電荷,來代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷,從而求得電場的方法,稱為電軸法。2.兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電場以y

軸為參考點,C=0,則

當(dāng)K取不同數(shù)值時,就得到一族偏心圓。圖1.7.13兩根細(xì)導(dǎo)線的電場計算

R、d、b三者之間的關(guān)系滿足等位線方程為：圓心坐標(biāo)圓半徑讓R=a并計算出d、則b值為

根據(jù)及E線的微分方程，得E線方程為

圖1.7.14兩細(xì)導(dǎo)線的場圖圖1.7.15平行圓柱導(dǎo)體傳輸線電場的計算例1.7.4已知兩根不同半徑,相互平行,軸線距離為d的帶電長直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸位置。注意：1）參考電位的位置；2）適用區(qū)域。例1.7.5試確定圖示偏心電纜的電軸位置。解：確定圖1.7.16不同半徑傳輸線的電軸位置圖1.7.17偏心電纜電軸位置

例1.7.6已知一對半徑為a,相距為d的長直圓柱導(dǎo)體傳輸線之間電壓為，試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。

解得圖1.7.18電壓為U0的傳輸線電場的計算

a)確定電軸的位置4.鏡像法（電軸法）小結(jié)

?鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；?鏡像法（電軸法）的實質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計算場域為無限大均勻介質(zhì)；?鏡像法（電軸法)）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個數(shù)（根數(shù)），大小及位置；注意：應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時，鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時，要注意場的適用區(qū)域。5.鏡像法工程制圖1.8.2多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?

靜電獨立系統(tǒng)——D線從這個系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)?

線性、多導(dǎo)體(三個以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念圖1.8.2三導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)典型例子:多極管(等效電容);三相輸電線;考慮大地影響時的兩相輸電線等等.1.部分電容的預(yù)備知識

1)普通物理學(xué)中電容計算：單位:F(法)2)平行板電容器、圓柱形及球形電容器：

在(c)中,得到孤立導(dǎo)體球的電容3)n個電容器串聯(lián)：

4)n個電容器并聯(lián)：

注意：電容與電量和電壓無關(guān),但可用電壓來度量.

例.考慮三個導(dǎo)體組成的靜電獨立系統(tǒng):設(shè)三個導(dǎo)體電量分別是，則它們在A點產(chǎn)生的電位分別是:

把點A分別取在三個導(dǎo)體上得圖電位系數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)說明一般地電位系數(shù)具有下面性質(zhì)：(1)(2)(3)(4)僅與導(dǎo)體系統(tǒng)的物理特性有關(guān)；以此類推(n+1)個多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個電位線性獨立方程，即電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)——互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)——寫成矩陣形式為（非獨立方程）注：

的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷,計算各導(dǎo)體的電位而得。例如圖所示地面附近有兩個半徑為R1的帶電小球,電荷量分別為q1和q2.選擇地面為零號導(dǎo)體,求該系統(tǒng)的電位系數(shù).解:這是三導(dǎo)體組成一個靜電獨立系統(tǒng).將地面影響用鏡像電荷代替。設(shè)一般關(guān)系為地面:0號導(dǎo)體令令

可得解題示意圖2.一般地,已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；——自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；——互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)。

通常，的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位，測量各導(dǎo)體的電荷而得。

以三電位系統(tǒng)為例，解電位系數(shù)構(gòu)成的方程組得

稱為自有感應(yīng)系數(shù)；為互有感應(yīng)系數(shù);它們具有性質(zhì)(說明在后面圖示)：

(1);(2)(3)

圖4-2感應(yīng)系數(shù)的說明

例如已知導(dǎo)體間的電壓，對上述三導(dǎo)體系統(tǒng)改寫

:自有部分電容,:互有部分電容；3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）

式中：C—部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；（互有部分電容）（自有部分電容）部分電容性質(zhì):?

所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的值有關(guān)；?

互有部分電容

，即為對稱陣；?

(n+1)個導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)中，共應(yīng)有個部分電容；?

部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。

工程上，常引入等效電容的概念，它是指在多導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)中，把兩導(dǎo)體作為電容器的兩個極板，設(shè)在這兩個電極間加上已知電壓,極板上所帶電荷為,則把比值叫做這兩導(dǎo)體的等效電容或工作電容。便于測量,易于計算，綜上所述，多導(dǎo)體系統(tǒng)電荷與電位間關(guān)系，可以通過三套系數(shù)，即來表示。三者相比，C可通過計算，也可直接測定，其主要優(yōu)點是可以將場的概念和路的概念聯(lián)系起來，即靜電場問題靜電電容的網(wǎng)絡(luò)問題。圖1.8.3部分電容與電容網(wǎng)絡(luò)例1-19

計算考慮大地影響時兩線傳輸系統(tǒng)的各個部分電容，這里設(shè)兩個輸電線距離地面的高度分別為,線間的距離為,導(dǎo)線的半徑為，且.如圖所示.思考1.兩根無限長的長直平行導(dǎo)線之間的電位分布？

答:課本p44,公式(1-85):

思考2.如果不考慮大地的影響，答:

則相應(yīng)的兩導(dǎo)線系統(tǒng)的電容如何求？當(dāng)考慮大地影響時，設(shè)兩根電線各自帶電為1，2,設(shè)一般關(guān)系為利用鏡像法，并設(shè)電軸與導(dǎo)線的幾何軸線相重合.分別獨立地求解和,得重復(fù)電容和電感的公式的推導(dǎo)過程，可得

a求等效電容(兩導(dǎo)體的等效電容是指從這兩個導(dǎo)體看進(jìn)去的入端電容，看圖)，

按照等效電容的定義，得該式說明，是Ce的一部分,是計算等效電容的基礎(chǔ).思考：1)

1號導(dǎo)體與0號導(dǎo)體之間的等效電容，并畫出等效電路圖2)求圖中0,2號導(dǎo)體的等效電容

圖1-7等效電容計算例1-20已知兩芯對稱的屏蔽電纜如圖.測得導(dǎo)體1、2間的等效電容為0.018,導(dǎo)體1、2相連時和外殼間的等效電容為，求各部分電容.

聯(lián)立上兩式可求部分電容

4.靜電屏蔽

部分電容還可以說明靜電屏蔽問題。令號導(dǎo)體接地，得這說明了只與有關(guān)，只與有關(guān)，即1號導(dǎo)體與2號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，達(dá)到了靜電屏蔽的要求。靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。圖1.8.5靜電屏蔽1.9靜電能量與力1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量

靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。1)連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量假設(shè)：?電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；

1.9.1靜電能量?電場的建立與充電過程無關(guān),導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為、,在充電過程中，與的增長比例為

m，。?建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。

t

時刻，場中P點的電位為若將電荷增量從無窮遠(yuǎn)處移至該點，外力作功

這個功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。

體電荷系統(tǒng)的靜電能量t

時刻電荷增量為即電位為

?

式中是元電荷所在處的電位，積分對源進(jìn)行。?點電荷的自有能為無窮大。自有能互有能

自有能是將許多元電荷“壓緊”構(gòu)成q所需作的功。互有能是由于多個帶電體之間的相互作用引起的能量。

例如空間中有兩個帶點導(dǎo)體，單獨存在時，兩導(dǎo)體的電荷、電位分別為q1，和q2，，將導(dǎo)體2放入導(dǎo)體1電場中，兩導(dǎo)體電位會變化自有能與互有能的概念??

是所有導(dǎo)體（含K號導(dǎo)體）表面的電荷在K號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位.2.靜電能量的分布及能量密度V——擴(kuò)大到無限空間，S——所有帶電體表面。將式(2)代入式(1),得應(yīng)用散度定理得矢量恒等式（焦耳）靜電能量圖1.9.1推導(dǎo)能量密度用圖能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結(jié)論例1.9.1試求真空中體電荷密度為，半徑為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。有限，應(yīng)用高斯定理，得解法一由微分方程法得電位函數(shù)為解法二