第六章

相似原理與應用實際問題的分析方法：理論方程：e.g.流速與流量的關系Q=v×A數(shù)值仿真：計算機模擬試驗方法：未知復雜問題

量綱分析方法是一通過試驗去探索事物規(guī)律的重要方法，特別是對那些很難從理論上進行分析的復雜現(xiàn)象，更能顯示出該方法的優(yōu)越性。第一節(jié)量綱分析法一、單位與量綱單位（unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標準量，稱單位。如長度單位為m或cm等?！傲俊钡谋碚?。量綱（dimension）：是指撇開單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類別。如長度量綱為[L]。——“質(zhì)”的表征。T:時間:小時、分、秒L:長度：米、厘米、毫米M:質(zhì)量:噸、千克、克量綱誘導量綱：非獨立量綱基本量綱：獨立量綱L,M，T

一、單位與量綱誘導量綱P105-106量綱公式:

幾何學量綱：α≠0,β=0,γ=0，分類運動學量綱：α≠0，β≠0，γ=0動力學量綱：α≠0，β≠0，γ≠0

無量綱數(shù)（純數(shù)，如雷諾準數(shù)）：

α=0,β=0,γ=0.即[x]=[1]。

特點:（1）無量綱單位，它的大小與所選單位無關；

（2）具有客觀性；

（3）在超越函數(shù)（對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運算中，均應無量綱數(shù).

問題１：速度v，長度l，重力加速度g的無量綱集合是：A.B.ＣD.

答案：Ｄ問題２：

速度v,密度ρ,壓強p的無量綱集合是：

ＡＢＣＤ

答案：Ｄ問題３：

速度v,l,時間t的無量綱集合是：A.

B.ＣＤ

答案：Ｄ問題４：壓強△p,密度ρ,長度l,流量Q的無量綱集合ＡＢＣＤ

答案：Ａ

二、量綱和諧原理

量綱和諧原理（theoryofdimensionalhomogeneity）：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱為量綱和諧原理。

量綱和諧原理的重要性：a.一個方程在量綱上應是和諧的，所以可用來檢驗經(jīng)驗公式的正確性和完整性。

b.量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。

c.可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。

判斷：只有量綱相同的項才可以相加減。答案：對

三、量綱分析法

最常見的方法：雷利法

是量綱和諧原理的直接應用，其步驟為：①確定與所研究的物理現(xiàn)象有關的n個物理量；②寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：

③根據(jù)量綱和諧原理,即等式兩端的量綱應該相同,確定物理量的指數(shù)x,y,z,a,代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關系式。應用范圍:一般情況下要求,相關變量未知數(shù)n小于等于4~5個。例子：課本106頁第二節(jié)相似性與相似模擬原型：天然水流和實際建筑物稱為原型。模型：通常把原型（實物）按一定比例關系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦铮Q為模型。模型和原型保證流動相似,應滿足：幾何相似運動相似動力相似初始條件和邊界條件相似1.幾何相似

幾何相似：指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即原型和模型及其流動所有相應的線性變量的比值均相等。

長度比尺：

面積比尺：

體積比尺：2.

運動相似

運動相似：是指流體運動的速度場相似，也即兩流場各相應（包括邊界上各點）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：

加速度比尺：

3.動力相似

動力相似：是指兩流動各相應點上流體質(zhì)點所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：

4.初始條件和邊界條件的相似

初始條件：適用于非恒定流。邊界條件：有幾何、運動和動力三個方面的因素。如固體邊界上的法線流速為零,自由液面上的壓強為大氣壓強等

。第三節(jié)相似理論一、相似第一定律該定律規(guī)定了相似的必要條件，即相似現(xiàn)象必須具有的性質(zhì)。定律：在相似的諸現(xiàn)象中，各相似準則數(shù)相等，或者說，在相似現(xiàn)象中，相似指標等于1。舉例說明012012物體A，B的相似運動假設物體A、B各沿幾何相似的路徑作相似運動，如圖所示。既然A，B運動相似，故在相應的點0，1，2。。。其速度必成比例，即：

設，由0到1所需時間分別為和，由1到2所需時間為和，它們也都成比例AB由于運動的幾何路徑相似，故從0點到1點的位移，由1到2點的位移。。。。也都成比例，即：任何物體的運動，其瞬間的速度都可以用如下微分方程來描述：故，對于物體A，其運動方程為：對于物體B，其運動方程為：這說明，在相似的兩個現(xiàn)象A和B中，他們物理量之間的乘積在系統(tǒng)的相應點和相應時間上必然相等，即這就是兩個現(xiàn)象相似準則顯然，要保持相似，就必須在一個系統(tǒng)所有點上，以相同的倍數(shù)放大或縮小，因而，相似系數(shù)在相似系統(tǒng)的所有點上都保持恒定的數(shù)值，故有時候稱其為相似常數(shù)。然而，當一個相似現(xiàn)象被另外一個相似現(xiàn)象取代時，其相似常數(shù)改變?yōu)榱硗庖粋€值。如：三角形A和B相似，其三個邊必須以相同倍數(shù)放大或縮小。當與三角形C相似時，又放大或縮小另外的倍數(shù)。相似準則數(shù)是用系統(tǒng)A中某點上的物理量組成的無因次數(shù)表示。這個無因次數(shù)在不同點上具有不同的值，當系統(tǒng)A變換到系統(tǒng)B時，其相應點上的無因次數(shù)保持恒定相同。2.相似第二定律凡具有同一現(xiàn)象，當單值性條件彼此相似，且由單值性條件的物理量組成的相似準則（決定性準則）在數(shù)值上相等，則這些現(xiàn)象必定相似。單值性條件、決定性準則同一方程描述的現(xiàn)象稱之為同一特性的現(xiàn)象。方程確定了整個現(xiàn)象的進程，共同的規(guī)律，數(shù)學上叫“通解”，適合所有時間，地點與進程。通解具體化到個別現(xiàn)象上，就必須給方程加上原始的或限制性條件，對系統(tǒng)加以限制這些附加的，特點的限制條件與現(xiàn)象進程無關，稱為單值性條件單值條件幾何條件－流體管道流動中管道直徑、長度等幾何條件物理條件－物性參數(shù)，如流體粘性系數(shù)，熱導系數(shù)等；邊界條件－表征邊界性質(zhì)的物理量。第一類：給出已知函數(shù)；第二類：邊界法向?qū)?shù)第三類：質(zhì)量或能量的交換規(guī)律初始條件：用于不穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，表征初始條件對以后發(fā)展過程的約束條件。對于定常，初始條件失去意義。決定性單值條件單值性條件是唯一確定的，有時為了強調(diào)其對描述物理現(xiàn)象的決定性影響，也稱為決定性單值條件。決定性量－－決定性單值條件中的物理量找到所有相似準則中決定性準則；決定性準則是相似的前提，其它相似準則是其相似的必然結(jié)果。相似準則例題－流體流動非定常不可壓縮粘性流體的絕熱流動中，可以用N－S方程描述（X方向）相似變換描述不可壓縮粘性絕熱流體相似準則為：表示兩個不穩(wěn)定流動在流速對時間關系上是否相似，反應的是流體不穩(wěn)定程度表示流體的粘性力與慣性力比；反應的是粘性力對流動的影響表示流體的慣性力與重力比，反應重力對流動的影響；流體壓力對慣性力比；反應壓力對流動的影響相似準則例題－物體受力運動服從牛頓第二定律相似變換：則有：相似