1第四章導熱數(shù)值解法基礎引言§4-0引言求解導熱問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)數(shù)值計算法；(3)實驗法

三種方法的基本求解過程

(1)

所謂理論分析方法，就是在理論分析的基礎上，直接對微分方程在給定的定解條件下進行積分，這樣獲得的解稱之為分析解，或叫理論解；

(2)

數(shù)值計算法，把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解；2引言

(3)

實驗法就是在傳熱學基本理論的指導下，通過實驗獲得所求量的方法3三種方法的特點

(1)分析法

a能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；

b局限性很大，對復雜的問題無法求解；

c分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見

3(2)

數(shù)值法：在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性；與實驗法相比成本低(3)實驗法:

是傳熱學的基本研究方法，a適應性不好；

b費用昂貴數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、邊界元法（boundary-element）、分子動力學模擬（MD）

本章重點介紹有限差分法4§4-1導熱問題數(shù)值解法的基本思想

及內(nèi)節(jié)點離散方程的建立

對物理問題進行數(shù)值求解的基本思想可以概括為：把原來在時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量的場，如導熱問題的溫度場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關于這些點的代數(shù)方程，來獲得離散點上被求物理量的值。這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。

5導熱問題數(shù)值求解的一般步驟

建立所研究問題的控制方程及定解條件區(qū)域離散化建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設立迭代初場求解代數(shù)方程組對解進行分析這一基本思想可用求解過程的框圖來表示，其圖為6建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程建立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程解的分析是否收斂？是否改進初場7二維穩(wěn)態(tài)導熱問題研究實例物理模型控制方程定解條件xy08物體的離散xy9區(qū)域離散xy用一組平行于坐標軸的直線（網(wǎng)格線）將研究區(qū)域劃分為若干份；網(wǎng)格線的交點為節(jié)點；物體內(nèi)部的節(jié)點稱為內(nèi)節(jié)點，邊界上的節(jié)點稱為外節(jié)點；兩節(jié)點之間的距離稱為步長；10給節(jié)點編號用m表示x方向的位置，n表示y方向的位置，各節(jié)點的位置如圖；每個節(jié)點均代表一個元體，如（m，n）節(jié)點代表圖中虛線所示的元體；xym,nm+1,nm-1,nm,n-1m,n+111建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程

建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程有兩種方法

1.泰勒級數(shù)（Taylor）展開法

2.熱平衡法12建立節(jié)點方程的泰勒級數(shù)展開法函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式為對節(jié)點(m+1,n)及(m-1,n)分別寫出函數(shù)對(m,n)點的泰勒級數(shù)展開式13+14二階導數(shù)的差分表達式x方向的二階導數(shù)差分表達式y(tǒng)方向的二階導數(shù)差分表達式上述差分格式稱為中心差分格式15二維穩(wěn)態(tài)導熱內(nèi)部節(jié)點的節(jié)點方程建立控制方程節(jié)點方程16用熱平衡法建立內(nèi)部節(jié)點方程

采用這種方法時，對每個節(jié)點所代表的元體建立能量平衡關系式，即可得到該節(jié)點的節(jié)點方程式。此時把節(jié)點看成是元體的代表。通過元體的界面所傳導的熱流量可以對有關的兩個節(jié)點應用傅立葉定律寫出。而且根據(jù)能量守恒定律，對于沒有內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導熱，從各個方向進入元體的導熱量之和為零。17二維穩(wěn)態(tài)導熱內(nèi)部節(jié)點方程式的建立從左面進入微元體的熱量從右面進入微元體的熱量從下面進入微元體的熱量從上面進入微元體的熱量m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+118二維穩(wěn)態(tài)導熱內(nèi)節(jié)點方程當物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源時，根據(jù)能量守恒定律，從各個方向進入微元體的熱量之和為零

將各熱量計算表達式帶入，整理后得到上式即為二維穩(wěn)態(tài)沒有內(nèi)熱源導熱問題的內(nèi)節(jié)點方程19

二維穩(wěn)態(tài)導熱平直邊界上節(jié)點方程的建立從左面進入微元體的熱量從右面進入微元體的熱量從下面進入微元體的熱量從上面進入微元體的熱量m,n-1m,nm-1,nm,n+120二維穩(wěn)態(tài)導熱平直邊界上節(jié)點方程當物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源時，根據(jù)能量守恒定律，從各個方向進入微元體的熱量之和為零

將各熱量計算表達式帶入，整理后得到21外角點節(jié)點方程建立從左面進入微元體的熱量從右面進入微元體的熱量從下面進入微元體的熱量從上面進入微元體的熱量m,nm-1,nm,n-122外角點節(jié)點方程當物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源時，根據(jù)能量守恒定律，從各個方向進入微元體的熱量之和為零

將各熱量計算表達式帶入，整理后得到23內(nèi)角點節(jié)點方程建立從左面進入微元體的熱量從右面進入微元體的熱量從下面進入微元體的熱量從上面進入微元體的熱量m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+124內(nèi)角點節(jié)點方程當物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源時，根據(jù)能量守恒定律，從各個方向進入微元體的熱量之和為零即將各熱量計算表達式帶入，整理后得到252.節(jié)點方程組的求解寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的溫度差分方程n個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：26代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組的求解方法有兩種：

1.直接求解法

2.迭代求解法在傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用此法求解時需要對被求的溫度場預先假定一個解，稱為初場，并在求解過程中不斷改進。27直接解法：通過有限次運算獲得代數(shù)方程精確解;

矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結果與假定值的結果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭