第四章平均數(shù)比較與T檢驗(yàn)第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的理論要點(diǎn)均值不相等的兩個(gè)樣本不一定來(lái)自均值不同的總體，能否用樣本均數(shù)估計(jì)總體均數(shù)，兩個(gè)變量均數(shù)接近的樣本是否來(lái)自均值相同的總體，換句話說(shuō)，兩個(gè)樣本某變量均值不同，其差異是否具有統(tǒng)計(jì)意義，能否說(shuō)明總體差異。這些都是各種研究工作中經(jīng)常提出的問(wèn)題，均值比較可以解決這些問(wèn)題。

對(duì)來(lái)自正態(tài)總體的兩個(gè)樣本進(jìn)行均值比較常使用T

檢驗(yàn)的方法，T檢驗(yàn)要求兩個(gè)被比較的樣體來(lái)自正態(tài)總體，兩個(gè)樣本方差相等與不等時(shí)使用的計(jì)算t值的公式不同。在獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)中還要用到進(jìn)行方差齊次性檢驗(yàn)的F

檢驗(yàn)，這就要用到假設(shè)檢驗(yàn)的基本理論了。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

前提：承認(rèn)原假設(shè)小概率事件發(fā)生大概率事件發(fā)生拒絕原假設(shè)接受原假設(shè)進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)一、零假設(shè)和備擇假設(shè)

在研究之前不知其結(jié)果，可根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)或理論對(duì)預(yù)期的結(jié)果做出假定性的說(shuō)明，即假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)一般要提出兩個(gè)相互對(duì)立的假設(shè)：一個(gè)叫零假設(shè)，另一個(gè)叫備擇假設(shè)。1、零假設(shè)所謂零假設(shè)，就是關(guān)于樣本所屬總體（指參數(shù)值）與假設(shè)總體（指參數(shù)值）之間無(wú)差異的假設(shè)也叫做原假設(shè)、虛無(wú)假設(shè)、解消假設(shè)。零假設(shè)是假設(shè)檢驗(yàn)中希望拒絕的假設(shè)。2、備擇假設(shè)所謂備擇假設(shè)就是和零假設(shè)相反的假設(shè)。指的是關(guān)于當(dāng)前樣本所屬的總體（指參數(shù)值）與假設(shè)總體（指參數(shù)值）有差異的假設(shè)，是研究者根據(jù)樣本信息期待證實(shí)的假設(shè)，是否定了零假設(shè)后應(yīng)當(dāng)采取的假設(shè)，也叫做研究假設(shè)、對(duì)立假設(shè)。記為：假設(shè)檢驗(yàn)總是從零假設(shè)開始的，然后，看有多大的把握拒絕零假設(shè)。如果拒絕零假設(shè)的把握非常大，則應(yīng)該拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)，認(rèn)為樣本所屬總體的參數(shù)與假設(shè)總體參數(shù)有顯著性差異，即本質(zhì)差異；如果拒絕零假設(shè)的把握不大，或者說(shuō)，若拒絕零假設(shè)犯錯(cuò)誤的概率太大，則只好保留零假設(shè)，認(rèn)為樣本所屬總體的參數(shù)與假設(shè)總體參數(shù)沒有顯著性差異，即本質(zhì)差異。假設(shè)檢驗(yàn)的兩大特點(diǎn)：（1）根據(jù)一定的概率來(lái)下結(jié)論；（2）采用反證法。二、小概率事件樣本統(tǒng)計(jì)量的值（隨機(jī)事件）在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率小于或等于事先規(guī)定的水平，這時(shí)，就認(rèn)為小概率事件發(fā)生了。把出現(xiàn)小概率的隨機(jī)事件稱為小概率事件。例如，假設(shè)某個(gè)樣本所來(lái)自的總體等于假設(shè)的總體。于是，可以分析如果零假設(shè)是真實(shí)的，那么樣本統(tǒng)計(jì)量的分布如何。并且，可以按照事先規(guī)定的水平把抽樣分布分成兩個(gè)區(qū)域，一個(gè)屬于零假設(shè)的保留區(qū)域（出現(xiàn)的概率比較大），另一個(gè)為零假設(shè)的拒絕區(qū)域，出現(xiàn)的概率比較?。湓谶@個(gè)區(qū)域的事件都屬于小概率事件）。然后，實(shí)際分析所獲得的這個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量值，看它落入哪個(gè)區(qū)域。如果出現(xiàn)的概率足夠小，屬于小概率事件，就根據(jù)小概率事件在一次抽樣中幾乎不可能發(fā)生原理，從實(shí)際可能性上，推翻零假設(shè)。由此可見，小概率事件發(fā)沒發(fā)生，是拒絕或保留零假設(shè)的依據(jù)。三、顯著性水平統(tǒng)計(jì)學(xué)中把這種拒絕零假設(shè)的概率稱為顯著性水平，表示為：也可以說(shuō)，顯著性水平是統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率。值和可靠度之間的關(guān)系是：兩者之和為1。值越大，可靠度就越低；值越小，可靠度就越高。P值與H0的關(guān)系P值H0成立概率大小差異顯著程度P小于或者等于0.01H0成立概率極小差異非常顯著P小于或者等于0.05H0成立概率較小差異顯著P大于0.05H0成立概率較大差異不顯著四、假設(shè)檢驗(yàn)的形式和步驟：1、形式：雙側(cè)檢驗(yàn)只強(qiáng)調(diào)差異不強(qiáng)調(diào)方向的檢驗(yàn)為雙側(cè)檢驗(yàn)。所提出的假設(shè)檢驗(yàn)的問(wèn)題是是否一樣、相同、有差異等等。單側(cè)檢驗(yàn)既檢驗(yàn)差異又考慮差異的方向的檢驗(yàn)為單側(cè)檢驗(yàn)。具體來(lái)說(shuō)，又分為左側(cè)檢驗(yàn)和右側(cè)檢驗(yàn)。左側(cè)檢驗(yàn)所提出的假設(shè)檢驗(yàn)的問(wèn)題是否低于、差于總體平均數(shù)等等。右側(cè)檢驗(yàn)所提出的假設(shè)檢驗(yàn)的問(wèn)題是否高于、優(yōu)于、超過(guò)總體平均數(shù)、有效等等。2、假設(shè)檢驗(yàn)的程序第一，提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第二，確定適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量根據(jù)樣本的大小、總體方差是否已知，選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。第三，規(guī)定顯著性水平是當(dāng)原假設(shè)為正確時(shí)人們卻把它拒絕了的概率或風(fēng)險(xiǎn)。是由人們確定的，當(dāng)a取0.05時(shí)，表明作出接受原假設(shè)的決定時(shí)，其正確的可能性（概率）為95%。第四，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值及相伴概率P值第五，作出統(tǒng)計(jì)決策將相伴概率P值與規(guī)定的顯著性水平a比較，作出接受原假設(shè)還是接受備擇假設(shè)的決策。第二節(jié)單一樣本和兩個(gè)樣本T檢驗(yàn)

對(duì)來(lái)自正態(tài)總體的兩個(gè)樣本進(jìn)行均值比較常使用T檢驗(yàn)的方法，T檢驗(yàn)要求兩個(gè)被比較的樣體來(lái)自正態(tài)總體，兩個(gè)樣本方差相等與不等時(shí)使用的計(jì)算t值的公式不同。方差齊性檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)分析中的一種常見過(guò)程，它是從樣本方差以至樣本各自所代表的總體方差是否相同而判斷兩個(gè)樣本同質(zhì)性（homogeneity)的方法。簡(jiǎn)單地說(shuō)，方差齊性檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)各個(gè)方差是否存在顯著性差異。一般采用Levene方法：先將各組觀測(cè)值均轉(zhuǎn)換為離差絕對(duì)值，然后對(duì)各組離差絕對(duì)值進(jìn)行方差分析，如果方差分析的結(jié)果中p>0.05，則認(rèn)為方差齊性（即方差具有相同性）；方差分析的結(jié)果中p<0.05，則認(rèn)為方差不齊性（即方差具有不同質(zhì)性）。

一、T檢驗(yàn)的適應(yīng)條件

t檢驗(yàn)是用t分布理論來(lái)推論差異發(fā)生的概率，從而比較兩個(gè)平均數(shù)的差異是否顯著。它與Z檢驗(yàn)、卡方檢驗(yàn)并列。t檢驗(yàn)的適用條件：1、已知一個(gè)總體均數(shù)；2、可得到一個(gè)樣本均數(shù)及該樣本標(biāo)準(zhǔn)差；3、樣本來(lái)自正態(tài)或近似正態(tài)總體。二、單一樣本T檢驗(yàn)t檢驗(yàn)分為單總體檢驗(yàn)和雙總體檢驗(yàn)。單總體t檢驗(yàn)時(shí)檢驗(yàn)一個(gè)樣本平均數(shù)與一個(gè)已知的總體平均數(shù)的差異是否顯著。當(dāng)總體分布是正態(tài)分布，如總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且樣本容量小于30，那么樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差統(tǒng)計(jì)量呈t分布。單總體t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

(df=n-1)

例：某種生產(chǎn)浴皂機(jī)器的設(shè)計(jì)規(guī)則為每批平均生產(chǎn)120塊肥皂，超過(guò)或低于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都是不合理的。如下有10批產(chǎn)品組成的樣本，且假定總體服從正態(tài)分布。見肥皂生產(chǎn).sav108118120122119113124122120123顯著性水平a為0.05，通過(guò)該樣本檢驗(yàn)，分析是否該生產(chǎn)過(guò)程運(yùn)作正常從檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，t統(tǒng)計(jì)量的值為-0.705，相伴概率值P（sig.——significance）為0.498>0.05，因此不能拒絕H0的原假設(shè)（120的檢驗(yàn)值），顯著性差異不大，結(jié)果表示該生產(chǎn)過(guò)程較正常。三、獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)雙總體t檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)樣本平均數(shù)與其各自所代表的總體的差異是否顯著。雙總體t檢驗(yàn)又分為兩種情況，一是獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，一是配對(duì)樣本t檢驗(yàn)。獨(dú)立樣本(IndependentSample)是指兩個(gè)樣本彼此獨(dú)立，沒有任何關(guān)聯(lián)。例如實(shí)驗(yàn)組與控制組、男生組與女生組、高收入組與低收入組、旅游學(xué)院與外國(guó)語(yǔ)學(xué)院等。但這里的獨(dú)立樣本是廣義的獨(dú)立，僅是指非關(guān)聯(lián)變量。兩獨(dú)立的樣本各接受相同的測(cè)量，研究者的興趣在比較兩批樣本群在測(cè)量結(jié)果總體上是否存在差異。獨(dú)立樣本中，所有觀測(cè)都是獨(dú)立的，即具體個(gè)別樣本的順序可以變化的，與變量無(wú)關(guān)。獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

其中：稱為聯(lián)合方差

例：某研究機(jī)構(gòu)分別對(duì)20款中型及小型汽車進(jìn)行安全性測(cè)試，較低的分?jǐn)?shù)意味著安全性更高。數(shù)據(jù)見文件要汽車安全性測(cè)試.sav，求使用兩獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)來(lái)比較中型和小型汽車的安全性有無(wú)差異。檢驗(yàn)結(jié)果分析：首先，如果F檢驗(yàn)的P>α，則不能拒絕F檢驗(yàn)的H0，認(rèn)為方差齊性；其次看第一行的t檢驗(yàn)概率。如果≤α，則拒絕t檢驗(yàn)的H0，認(rèn)為兩總體均值有顯著差異；如果>α，則不拒絕t檢驗(yàn)的H0，認(rèn)為兩總體均值不具有顯著差異。那么，如果F檢驗(yàn)的P≤α，則拒絕F檢驗(yàn)的H0，認(rèn)為方差不齊性；其次看第二行的t檢驗(yàn)概率。其余同上。針對(duì)本例，由于F檢驗(yàn)中sig.值大于0.05，因此根據(jù)第一行t檢驗(yàn)顯著性概率為0.000，即認(rèn)為中型汽車和小型汽車的安全性得分有顯著性差異。四、配對(duì)樣本Ｔ檢驗(yàn)配對(duì)樣本（PairedSample）或相關(guān)樣本（CorrelatedSample），指兩個(gè)樣本的觀測(cè)值之間彼此有關(guān)聯(lián)，如同一批被試者接受兩種實(shí)驗(yàn)條件，即同一批觀測(cè)對(duì)象接受兩種不同的測(cè)量。對(duì)于此類樣本，研究者所感興趣的是二次測(cè)量之間是否存在差異。如實(shí)驗(yàn)前和實(shí)驗(yàn)后的測(cè)量，即具體個(gè)別樣本的順序不可以變化的。配對(duì)樣本t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

(df=n-1)其中r為相關(guān)系數(shù)案例見減肥食品效果.sav配對(duì)樣本的t檢驗(yàn)一般不需要事先進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)。因?yàn)榕鋵?duì)樣本是成對(duì)數(shù)據(jù)，即兩組數(shù)據(jù)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，沒有必要考慮由兩個(gè)樣本方差共同估計(jì)總體方差(聯(lián)合方差)。本例中，t檢驗(yàn)顯著性相伴概率p值為0.001，差異非常顯著，即減肥效果明顯。五、T檢驗(yàn)注意事項(xiàng)1、選用的檢驗(yàn)方法必須符合其適用條件(t檢驗(yàn)的前提是資料服從正態(tài)分布)。理論上，即使樣本量很小時(shí)，也可以進(jìn)行t檢驗(yàn)。（如樣本量為10，一些學(xué)者聲稱甚至更小的樣本也行），只要每組中變量呈正態(tài)分布，兩組方差不會(huì)明顯不同。如上所述，可以通過(guò)觀察數(shù)據(jù)的分布或進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)估計(jì)數(shù)據(jù)的正態(tài)假設(shè)。方差齊性的假設(shè)可進(jìn)行F檢驗(yàn)。如果不滿足這些條件，只好使用非參數(shù)檢驗(yàn)代替t檢驗(yàn)進(jìn)行兩組間均值的比較。2、區(qū)分單側(cè)檢驗(yàn)和雙側(cè)檢驗(yàn)。單側(cè)檢驗(yàn)的界值小于雙側(cè)檢驗(yàn)的界值，因此更容易拒絕，犯第1錯(cuò)誤的可能性大，即t檢驗(yàn)中的p值是接受兩均值存在差異這個(gè)假設(shè)可能犯錯(cuò)的概率。3、假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論不能絕對(duì)化。當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值落在臨界域內(nèi)，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)上顯著的，這時(shí)拒絕虛擬假設(shè)。當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值落在接受域中，這個(gè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)上不顯著的，這是不拒絕虛擬假設(shè)H0。因?yàn)椋洳伙@著結(jié)果的原因有可能是樣本數(shù)量不夠拒絕H0，有可能犯第1類錯(cuò)誤。4、正確理解P值與差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。P越小，不是說(shuō)明實(shí)際差別越大，而是說(shuō)越有理由拒絕H0，越有理由說(shuō)明兩者有差異，差別有無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義和有無(wú)專業(yè)上的實(shí)際意義并不完全相同。5、假設(shè)檢驗(yàn)和可信區(qū)間的關(guān)系結(jié)論具有一致性差異：提供的信息不同區(qū)間估計(jì)給出總體均值可能取值范圍，但不給出確切的概率值，假設(shè)檢驗(yàn)可以給出H0成立與否的概率。

第三節(jié)單因素方差分析問(wèn)題的提出通過(guò)參數(shù)檢驗(yàn)可以解決兩兩總體均值的比較，那么多個(gè)總體均值的檢驗(yàn)如何作？(如：北京、上海、廣州周歲兒童平均身高的比較）。這可以利用方差分析的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)一、方差分析的基本問(wèn)題

（一）方差分析的內(nèi)容定義：方差分析就是對(duì)多個(gè)總體均值是否相等這一假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。方差分析作為一種統(tǒng)計(jì)方法，是把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總變異分解為若干個(gè)不同來(lái)源的分量。因而它所依據(jù)的基本原理是變異的可加性。不同來(lái)源的變異只有當(dāng)它們可加時(shí)，才能保證總變異分解的可能。具體地講，它是將總平方和分解為幾個(gè)不同來(lái)源的平方和(這里的平方和指實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與平均數(shù)離差的平方和)。方差分析包括：1、單因素方差分析2、多因素方差分析3、協(xié)方差分析單因素方差分析：對(duì)單因素試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的方法叫單因素方差分析。單因素方差分析是兩個(gè)樣本平均數(shù)比較的延伸，它是用來(lái)檢驗(yàn)多個(gè)平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響的一種統(tǒng)計(jì)方法。二、方差分析的原理（一）數(shù)據(jù)差異的來(lái)源1、因素的水平不同（系統(tǒng)性差異）；2、隨機(jī)因素（隨機(jī)性差異）。（二）數(shù)據(jù)差異的度量1、水平之間的方差（組間方差）——系統(tǒng)性因素和隨機(jī)因素的共同作用。2、水平內(nèi)部的方差（組內(nèi)方差）——隨機(jī)性因素的作用。（三）方差分析的基本思想：如果因素對(duì)結(jié)果沒有影響，那么水平間的方差就只含隨機(jī)性差異而沒有系統(tǒng)性差異，其值與水平內(nèi)部方差就應(yīng)該很接近，兩個(gè)方差的比值就會(huì)接近于1；反之，水平間方差就同時(shí)包含系統(tǒng)性差異和隨機(jī)性差異，兩個(gè)方差的比值就會(huì)明顯大于1，當(dāng)這個(gè)比值大到某個(gè)程度（比如說(shuō)大于某個(gè)臨界值）就可以作結(jié)論：不同水平間存在顯著差異。三、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1、方差分析的統(tǒng)計(jì)假設(shè)：；2、檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：組間均方差與組內(nèi)均方差之比

是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，服從分布（

Distribution）。至少兩個(gè)總體的均值不等四、單因素方差分析目的與相關(guān)術(shù)語(yǔ)(一)目的檢驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)控制因素的改變是否會(huì)給觀察變量帶來(lái)顯著影響。例如：考察不同肥料對(duì)某農(nóng)作物畝產(chǎn)量是否有顯著差異?？疾鞁D女生育率在不同地區(qū)是否有顯著差異?？疾觳煌瑢W(xué)歷是否對(duì)工資收入產(chǎn)生顯著