第四章特征值與特征向量4.1特征值與特征向量4.2特征多項(xiàng)式與Hamilton-Caley定理4.3最小多項(xiàng)式4.44特征值的圓盤(pán)定理4.1特征值與特征向量哪些矩陣相似的矩陣.相似是矩陣的使得可以對(duì)角化，即存在可逆矩陣則由的第是對(duì)角矩陣？表示個(gè)列向量，等價(jià)關(guān)系.稱(chēng)為與用按分塊矩陣的乘法可得是數(shù)域于是上的特征向量.如果存在非零向量是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的使得陣，【定義4.1.1】設(shè)階矩則稱(chēng)為矩陣的特征根或特征值(eigenvalue),非零向量稱(chēng)為的屬于特征值相應(yīng)的多項(xiàng)式可對(duì)角化的充稱(chēng)為的特征多項(xiàng)式(characteristicpolynomial),一般記為有要條件是【定理4.1.1】階矩陣個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.【命題4.1.1】的屬于不同特征根的特征向量線性無(wú)關(guān).的特征向量.而代數(shù)方程能.然而，任何方陣都可以三角化.★注意矩陣的對(duì)角化問(wèn)題和所限定的數(shù)域陣可以對(duì)角化，但在實(shí)數(shù)域內(nèi)則不可以對(duì)角化.有有密切聯(lián)系.這是因?yàn)?，在較小的數(shù)域內(nèi)，矩陣【推論4.1.1】如果

階矩陣個(gè)不同的特征值，則可能沒(méi)有足夠的特征值.例如，在復(fù)數(shù)域上，矩階矩陣都相似于上三角矩證明：當(dāng)時(shí)，定理自然成立.現(xiàn)假設(shè)復(fù)階方陣.則都相似于一個(gè)上三角矩陣.是數(shù)域上任何【定理4.1.2】在復(fù)數(shù)域

階方陣上，任何陣.設(shè)以及相應(yīng)的特征向量有特征值將擴(kuò)充成的一組基，設(shè)為令則因若令這里由歸納法假設(shè)，存在一個(gè)使得是上三角矩陣.令方陣則是上三角矩陣.使得【例4.1.2】設(shè)間，記為則稱(chēng)如果存在非零向量是滿(mǎn)足條件【定義4.1.2】設(shè)

上的線性空間，是數(shù)域是屬于的特征向量.的特征值，此時(shí)集合的一個(gè)子空構(gòu)成則當(dāng)時(shí)，是屬于特征值1的特征子空間.而當(dāng)與個(gè)1.的各一組基因此這里有是屬于0的特征子空間.選取則是與的一組基，且有下的矩陣為對(duì)角矩陣集合時(shí)，在這組基4.2特征多項(xiàng)式與Hamilton-Caley定理階矩陣的所有互異的特征根.是的特征多項(xiàng)式稱(chēng)為特征值的代數(shù)重?cái)?shù)，而每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù).的解空間的維數(shù)線性方程組為特征值稱(chēng)這里，所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于齊次察3階矩陣的情形.為了進(jìn)一步了解特征多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)，先考其中解：【例4.2.1】求其中一般地，用例4.2.1的辦法可得出下面的普遍結(jié)果.階矩陣有【命題4.2.1】對(duì)表示A的全部k階主子式之和.重?cái)?shù)不超過(guò)代數(shù)重?cái)?shù).★特別地，階矩陣的特征值的幾何【命題4.2.2】證：設(shè)是的幾何重?cái)?shù)為的特征值，設(shè)是屬于特征值征向量.將向量組的線性無(wú)關(guān)的特?cái)U(kuò)充成的一的一組基并令因此，則可逆，且有其中故從而矩陣與有相同的特征多項(xiàng)式.由于因此，重特征值.的相似于對(duì)角矩陣階矩陣至少是其每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)【定理4.2.1】所有特征值的幾何重?cái)?shù)之和等于【命題4.2.3】設(shè)的個(gè)特征值為是一多項(xiàng)式，則的個(gè)特征值為均滿(mǎn)足的任一特征值【例4.2.2】計(jì)算行列式則對(duì)【推論4.2.1】設(shè)是一多項(xiàng)式，若其中因此，解：設(shè)值為從而則個(gè)特征值為故因此多項(xiàng)式恰好有有個(gè)特征值為0,另有一個(gè)特征值為的特征另有一個(gè)特線性無(wú)關(guān)，所以【例4.2.3】設(shè)為三維列向量，為三階矩陣，由于試計(jì)算行列式解：由線性無(wú)關(guān)，可得到于是的三個(gè)特征值為0，-1，4.故所以據(jù)此立得：的三個(gè)特征值為5，7，-123.故【例4.2.4】設(shè)階矩陣列都是齊次線性方程組的每一證明：（1）解：由滿(mǎn)足可逆.（2）的解向量，另一方面,因此,故得（1）.或【定理4.2.2】(Hamilton-Caley)設(shè)矩陣則有而故的特征值只能是由證：在復(fù)數(shù)域上有得（2）得證.的特征值不能是零.從的特征多項(xiàng)式為又相似于上三角矩陣即有可逆矩陣使得從而為設(shè)因此因此的特征值因此向量，因此上面的乘積等于0，即有自左向右逐個(gè)相乘，每乘一個(gè)因子至少增加一列零【例4.2.5】求則有解：其中的特征多項(xiàng)式為【命題4.2.4】(Sylvester)設(shè)矩陣，分別是與與則證明：由于相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，所以據(jù)此得★上述命題又稱(chēng)為特征多項(xiàng)式的降階計(jì)算公式.【例4.2.6】設(shè)(Householder初等矩由此知，維單位列向量，求是階實(shí)鏡像矩陣陣）的特征值及它的跡和行列式.是解：重根，而中的向量保持不動(dòng).換言之，將子空間而將其正交補(bǔ)空間上的線性變換：是則中的向量映到它的負(fù)向量，是以超平面★注考慮實(shí)線性空間重根，因此，的所有階數(shù)大于階矩陣，試求其解：由于的特征多項(xiàng)式為為對(duì)稱(chēng)面的反射，故其矩陣稱(chēng)為實(shí)鏡像矩陣.特征多項(xiàng)式.的【例4.2.7】設(shè)是秩的子式都等于零，利用命題4.2.1，可得4.3最小多項(xiàng)式【定義4.3.1】設(shè)多項(xiàng)式.如果是由Hamilton-Caley定理，任何矩陣的特征多項(xiàng)稱(chēng)其中唯一的首一多項(xiàng)式為則稱(chēng)的零存在的.并且存在無(wú)窮多個(gè)次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式，式是該矩陣的零化多項(xiàng)式，因此零化多項(xiàng)式總是是是非零階方陣，化多項(xiàng)式.的最小多項(xiàng)式.【命題4.3.1】設(shè)是的零化多項(xiàng)式，則是整除的最小多項(xiàng)式，階矩陣的最小多項(xiàng)式.【例4.3.1】求下列解：直接計(jì)算可知但的最小多項(xiàng)式為因此的特征多項(xiàng)式.恰好是【例4.3.2】試求下列分塊矩陣的最小多項(xiàng)式：★最小多項(xiàng)式為解：【例4.3.3】試求下列分塊矩陣的最小多項(xiàng)式：的最小多項(xiàng)式為與的最小公倍式的最小多項(xiàng)式為的最小多項(xiàng)式.就是★分塊對(duì)角矩陣的最小多項(xiàng)式等于各個(gè)子塊的最最小多項(xiàng)式的最小公倍式.是上任意方陣，的最小多是域的特征值則【命題4.3.2】設(shè)式是的零點(diǎn).證明：充分性是顯然的，因?yàn)榈奶卣魇嵌囗?xiàng)式的因式.必要性：設(shè)是的特征值，是相應(yīng)的特征向量，由于故只有的最小多項(xiàng)式也是的特征多項(xiàng)式為【命題4.3.5】求下列矩陣的最小多項(xiàng)式：解：故的最小多項(xiàng)式是的最小多項(xiàng)式是整除的零化多項(xiàng)同理，證明：設(shè)矩陣【命題4.3.3】相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式.式，于是與相似，即存在可逆矩陣使得設(shè)與是的最小多項(xiàng)與則也整除式分別為即故由于它們都是首一多項(xiàng)式，所以的所有的不同的特征值.證明：【定理4.3.1】故階矩陣與的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根.是與對(duì)角矩陣相似具有相同的最小多項(xiàng)式.而多項(xiàng)式其中設(shè)顯然零化沒(méi)有重根.的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根.這只要證明因?yàn)榈膸缀沃財(cái)?shù)為只需證明則需要證明設(shè)事實(shí)上，令記就有都為與階方陣，則反復(fù)利用不等式：設(shè)即這就證得則【推論4.3.1】設(shè)階矩陣，根，所以可對(duì)角化.對(duì)合矩陣因式的多項(xiàng)式.若證：冪等矩陣可對(duì)角化.的零化多項(xiàng)式為也沒(méi)有重根，因此也可對(duì)角化.沒(méi)有重是沒(méi)有【例4.3.6】?jī)绲染仃嚺c對(duì)合矩陣均可以對(duì)角化.的零化多項(xiàng)式4.4特征值的圓盤(pán)定理設(shè)在復(fù)平面上，稱(chēng)集合是一般地，稱(chēng)的所有圓盤(pán)的并形成的區(qū)域個(gè)圓盤(pán).為矩陣為階復(fù)方陣，記的第的關(guān)于行的蓋爾圓盤(pán).盤(pán)之內(nèi).的每個(gè)特征值都落在是證明：設(shè)【命題4.4.1】（Gerschgorin圓盤(pán)定理）的某個(gè)圓設(shè)是階復(fù)方陣，則它的特征值至少是它的特征向量.則即滿(mǎn)足下列不等式之一：換句話(huà)說(shuō)，的特征值，令將第則兩邊取模得個(gè)方程改寫(xiě)成所以即特征值落在第個(gè)圓盤(pán).【例4.4.3】設(shè)階矩陣證明：使得的特征值，則存在那么證明：設(shè)滿(mǎn)足對(duì)角占優(yōu)矩陣是【例4.4.2】求表明【命題4.4.4】在圓盤(pán)組成的連通部分任取一個(gè)，如個(gè)特征值.且只含有個(gè)圓盤(pán)組成，則該連通部分必含有果它是由的所有特征值都不是零，故的圓盤(pán)，其中它們構(gòu)成3個(gè)連通部分（如下圖所示）：解：由第2個(gè)圓盤(pán)組成，含且僅含一個(gè)特征值.第二部分：由第1第一部分：由第4個(gè)圓盤(pán)組成,含且僅含一個(gè)特征值；圓盤(pán)的并集組成，含且僅含兩個(gè)特征值；第三部分的圓盤(pán)有四個(gè):（1）個(gè)圓盤(pán)與第3個(gè)（3）（2）（4）【例4.4.5】求解：由圓盤(pán)定理可知【推論4.4.1】若的每個(gè)特征值均為實(shí)數(shù).其余圓盤(pán)相離，則的每個(gè)圓盤(pán)都與階實(shí)矩陣的所有特征值都落在下列的圓盤(pán)，其中圓盤(pán)中：;則第一個(gè)連通部分為第二個(gè)連通部分為其中這樣有兩個(gè)特征值不能分離.但若作相似變換，;的圓盤(pán)為：由于與的每個(gè)圓盤(pán)中都有一個(gè)特征值，它們都是實(shí)數(shù).相似，從而有相同的特征值，故;;分別落在上述三個(gè)圓盤(pán)中，且它們都是特征值.的特征值全部位于以從幾何上看，矩陣【定義4.4.1】設(shè)體稱(chēng)為矩陣稱(chēng)是階矩陣，它的特征值全的譜半徑.記為的譜，記為為原點(diǎn)為圓心，譜半徑為半徑的圓盤(pán)內(nèi).【命題4.4.2】設(shè)是階復(fù)矩陣.令則習(xí)題4選解2.設(shè)是為簡(jiǎn)單.的線性變換，設(shè)它的特征多項(xiàng)式試求的一組基，使得解：令在該基下的矩陣較下的矩陣具有簡(jiǎn)單形式：

屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為：則屬于特征值為在基的特征向量為試求的一組基，使得線性空間為在該基下的矩陣3.已知的線性變換較為簡(jiǎn)單.解：是的一組基.令則所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為的特征值為：所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量為在基下的矩陣具有簡(jiǎn)單形式：解：?jiǎn)柕奶卣髦禐榈嫩E，行列式以及是否為對(duì)稱(chēng)矩陣？求4.設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為并且有是對(duì)稱(chēng)陣.化的矩陣：6.求下列矩陣的零化多項(xiàng)式并指出其中可以對(duì)角無(wú)重根，該矩陣可以對(duì)角化.該矩陣的特征多項(xiàng)式解：該矩陣的特征多項(xiàng)式無(wú)重根，故可對(duì)角化.該矩陣特征值的特征多項(xiàng)式為故小于其代數(shù)重?cái)?shù)該矩陣不能對(duì)角化.的幾何重?cái)?shù)是2，因此該矩陣可以對(duì)角化.該矩陣的特征多項(xiàng)式所以特征根的幾何重?cái)?shù)為特征值