模糊邏輯與模糊推理SchoolofInformationScience&TechnologyDalianMaritimeUniversity2011-10-29目錄第7章模糊邏輯與模糊推理7.1.1模糊邏輯的歷史7.1.2模糊集7.1.3隸屬函數(shù)7.1.4模糊運算與模糊推理7.1.5模糊系統(tǒng)1.模糊運算與經(jīng)典集合的并、交、補的運算相對應，模糊集合也有相似的運算。模糊并、模糊交、模糊補1）模糊子集 當且僅當對所有的ξ，均有，則稱模糊集合A被包含在模糊集合B中，或稱A是B的子集，或稱模糊集合A小于或等于模糊集B。記為模糊子集例子模糊控制器的語言變量是指其輸入和輸出變量，在輸入變量或輸出變量的論域上，往往需要為語言變量選取多個語言變量值?！罢蟆薄ⅰ罢小?、“正小”、“幾為零”、“負大”、“負中”、“負小”等，它們就分別是一個模糊子集。以人們通常概念上（而不是法定意義的“大于18周歲”）的“成年人”作為一個模糊集合，那么就可用“青年人”、“壯年人”、“中年人”和“老年人”作為“成年人”的語言值。而這幾個語言值都分別是“成年人”模糊集合的模糊子集。模糊子集的范疇比語言值更廣，但使用更多的是模糊集合的語言值。2）模糊并（一）兩個模糊集合A和B的“并”為模糊集合C。寫成C＝AUB，或C＝AorB。C與A和B的隸屬函數(shù)的關系為由模糊子集的關系，可以很容易地理解模糊并的算子為max，即兩者取其大。圖7.19兩個模糊集A與B圖7.20AUB3）模糊交（一）兩個模糊集合A和B的“交”為模糊集合C。寫成C=A∩B，或C＝AandB。C與A和B的隸屬函數(shù)的關系為

由模糊子集的關系，可以很容易地理解模糊交的算子為min，即兩者取其小。

圖7.19兩個模糊集A與B圖7.21A∩B4）模糊補模糊集合A的補表示為－A或（非A）。模糊補的隸屬函數(shù)定義為圖7.19兩個模糊集A與B圖7.22－B設求A∪B，A∩B則例子：模糊交集和并集試證普通集合中的互補律在模糊集合中不成立：證：設，則例子：模糊補集的互補律1．冪等律A∪A=A，A∩A=A2．交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．結合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)模糊集的運算法則（1）4．吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．復原律模糊集的運算法則（2）7．對偶律8．兩極律A∪E=E，A∩E=AA∪Ф=A，A∩Ф=Ф模糊集的運算法則（3）模糊交集與T范式模糊集合A和B的交集可由一個二元映射T指定，它將兩個隸屬函數(shù)按如下方式結合起來二元運算T可代表和的乘積。這些模糊交集算子通常被歸為T范式（三角范式）算子。

二元映射的性質如果一個T范式算子是一個二元映射（·，·），則應當滿足如下要求：有界性T(0，0)=0，T(a，1)=T(1，a)=a單調(diào)性T(a，b)≤T(c，d)，ifa≤candb≤d交換律T(a，b)=T(b，a)結合律T(a，T(b，c))=T(T(a，b)，c)

推論：一個明確的集合具有適當?shù)囊话阈约螦或B中隸屬值的減少不會導致A，B交集中隸屬度的增加運算符對模糊集合的順序是無關緊要的表示可以按任意的順序對任意多個集合進行模糊交運算模糊并與T協(xié)范式

模糊并的運算由一個指定的二元映射S產(chǎn)生，即二元運算S可以表示

和

的加法。這些模糊并算子通常被歸為T協(xié)范式(或S范式)運算符。T協(xié)范式（或S范式）算子是一個二元映射S(·，·)，則它必須滿足：有界性S(1，1)=1，S(a，0)=S(0，a)=a單調(diào)性

S(a，b)≤S(c，d)，ifa≤candb≤d交換律

S(a，b)=S(b，a)結合律

S(a，S(b，c))=S(S(a，b)，c)T范式和T協(xié)范式人們已經(jīng)提出了多參數(shù)的T范式和雙T協(xié)范式。每一種都提供了一種在函數(shù)中改變增益的方法，因此它可以具有很強的限制性，也可以具有很強的容許性。5）模糊交（二）----模糊乘規(guī)則模糊乘規(guī)則的前提是由n個單變量語句的模糊交（AND）構成它產(chǎn)生一個新多變量隸屬函數(shù)，記為，它定義在初始的n維輸入空間上，其輸出如下：式中，是一類稱為三角范式(TriangularNorm)的函數(shù)5）模糊交（二）三角范式提供了大量函數(shù)以實現(xiàn)模糊交min算子乘法(Product)算子一個二維的模糊隸屬函數(shù)由兩個三角(2階B樣條)單變量隸屬函數(shù)的乘積構成，形狀如圖7.23所示。5）模糊交（二）圖7.23兩個三角單變量隸屬函數(shù)乘積構成的二維模糊隸屬函數(shù)5）模糊交（二）多變量隸屬函數(shù)的形狀決定于單變量隸屬函數(shù)的形狀以及三角范式的算子。用乘法算子構成的多變量隸屬函數(shù)所保留的信息，比用min算子實現(xiàn)模糊“AND”時所保留的信息要多。因為后者僅保留了一段信息，而乘法算子結合了n段信息。當完整地定義了一階導數(shù)時，采用乘法算子還允許將誤差信息反向傳播回網(wǎng)絡中。一般情況下，其輸出結果是一個更平滑的曲面。5）模糊交（二）當每一個語句表達式都用單變量B樣條和高斯模糊隸屬函數(shù)表示時，多變量隸屬函數(shù)是一個簡單的n維B樣條或高斯基函數(shù)。當所有可能的模糊交集都由n個模糊隸屬函數(shù)集合得到時，它隱含地在初始輸入空間上（多變量模糊隸屬函數(shù)也在這個初始輸入空間上定義）產(chǎn)生一個n維網(wǎng)格，如圖7.24所示。5）模糊交（二）圖7.24由兩個三角模糊集構成的二維模糊集5）模糊交（二）在圖7.24中，一個完整的二維模糊隸屬函數(shù)集合由兩個三角單變量模糊集合產(chǎn)生。圖中的實心圓表示其中心，虛線區(qū)表示兩個單變量集合如何用交集算子結合起來。當模糊交集由每一個可能的單變量模糊輸入集的結合得到時，多變量隸屬函數(shù)的數(shù)目是輸入變量數(shù)目的指數(shù)函數(shù)（ExponentialFunction）。此時稱這種模糊系統(tǒng)是完備的。對每一個輸入，至少存在一個具有非0隸屬度的多變量模糊集。只要從上圖中移去一個多變量模糊集，則意味著模糊規(guī)則庫不再是完備的（因為在移去集合的中心，每個基函數(shù)的隸屬度為0）。5）模糊交（二）假設一個系統(tǒng)有4個輸入變量，一個輸出變量，每個變量各有7個語言值，則一個完備的模糊網(wǎng)絡將會有

＝16807個中心點。除非用特定的方法構造模糊網(wǎng)絡的輸入，否則這些系統(tǒng)將會遇到所謂的“維數(shù)災難（CurseofDimensionality）”，這限制了它們用于小維數(shù)的建模與控制問題。6）模糊并（二）如果h個多變量模糊輸入集合映射到q個單變量模糊輸出集合上，則對hq個邏輯關系，存在hq個相對應的疊加的n+1維隸屬函數(shù)。這hq個邏輯關系被各個隸屬函數(shù)并(OR)相結合，構成一個模糊規(guī)則庫R。該運算定義如下：式中，為一類稱為三角協(xié)范式的函數(shù)。三角協(xié)范式同樣提供了大量的適用函數(shù)max算子加法算子6）模糊并（二）用max算子可以保證在輸入輸出空間每一特定的點上，只有一個規(guī)則對輸出有作用。各個作用之和可以保證若干規(guī)則影響相關曲面(RelationalSurface）

。但是，在理論上用加法不能保證合理性，因為它產(chǎn)生的輸出可能大于1。當輸入輸出單變量隸屬函數(shù)構成單位分解、乘法算子用于交集和蘊涵，并且規(guī)則信度向量歸一時，這就不是什么問題了，因為系統(tǒng)是自標準的。6）模糊并（二）當用不同的反模糊化過程執(zhí)行蘊涵標準化時，在蘊涵中同樣可以使用加法算子，即使它產(chǎn)生的值大于1。所有各相關隸屬函數(shù)的模糊并，在輸入輸出空間中構成一條嶺線，它表示各輸入輸出對是如何相聯(lián)系的，并且當給定一個特定的輸入測量時，它可用于推斷模糊輸出隸屬函數(shù)。這個過程稱為模糊推理。一個典型的模糊相關關系如圖7.25所示。6）模糊并（二）圖7.25模糊輸入輸出相關關系6）模糊并（二）在圖7.25中，在每一個變量上定義了4個三角模糊集（2階B樣條），代數(shù)函數(shù)用于實現(xiàn)邏輯運算。它們產(chǎn)生一個模糊相關關系曲面，在規(guī)則中心點之間是分段線性的，而且從等高線圖可以清晰地看出輸入和輸出關系的總趨勢。2.模糊規(guī)則與模糊推理在模糊推理中，經(jīng)常碰到模糊if-then規(guī)則，簡稱模糊規(guī)則。1)模糊規(guī)則模糊if-then規(guī)則又稱模糊隱含或模糊條件語句。if-then規(guī)則語句用以闡明包含模糊邏輯的條件語句。一個單獨的模糊if-then規(guī)則形式如下：

ifxisAthenyisB其中，A和B是由模糊集合分別定義在x，y范圍（論域）上的語言值。模糊規(guī)則中if部分“xisA”被稱為規(guī)則的前提或假設then部分“yisB”被稱為結果或結論1）模糊規(guī)則實質上，該表達式描述了變量x與y之間的關系。因此，可以把if-then規(guī)則定義為乘積空間中的二元模糊關系。1）模糊規(guī)則例如，要購買一個軟件，其價格由其用戶界面和軟件功能決定。若單獨考慮其價格，則ifinterfaceisgoodthenchargeishigh注意：“good”用一個0和1之間的數(shù)字表示，因此所謂的前提是一個解析，它返回一個0和1之間的單值。

“high”由一個模糊集合表示，因此所謂的結果是一個分配，它分配整個模糊集合B到輸出變量y。在if-then規(guī)則中，當“is”分別出現(xiàn)在前提和結果中時，其意義完全不同。就如在MATLAB術語中，使用關系運算符“＝＝”和使用變量賦值符號“＝”時，其意義也完全不同。1）模糊規(guī)則書寫這個規(guī)則時，避免混淆的寫法是

ifinterface＝＝goodthencharge＝high一般地，if-then規(guī)則輸入是輸入變量的當前值(在此是“interface”)，輸出是一個模糊集合的整體(在此是“high”)。1）模糊規(guī)則在模糊推理中，一個規(guī)則的前提可以有多個部分。ifinterfaceisgoodandperformanceisgoodthenchargeishigh在這種情況下，前提的所有部分都同時使用前面描述的邏輯算子進行計算，并分配為一個單值。規(guī)則的結果同樣也有多重部分：ifinterfaceisbadthenchargeislowandcashinorderislow在這種情況下，所有的結果都同等地被前提影響。1）模糊規(guī)則而前提是怎樣影響結果的呢?在模糊邏輯中，模糊推理的結果將一個模糊集合分配到輸出中，然后模糊規(guī)則按前提中指定的程度修改模糊集合。最常用的修改輸出模糊集的方法，是用min函數(shù)進行截斷或用prod函數(shù)進行縮放。對于更多個變量的輸入輸出關系，令一個規(guī)則將第i個多變量模糊輸入集合

映射到第j個單變量輸出集合

上，并以

表示其信度，這種關系稱為模糊蘊涵或簡稱蘊涵。1）模糊規(guī)則

例如，則元素x和元素y的相關程度用一個定義在乘法空間

上的n+1維隸屬函數(shù)表示：式中

為二元三角范式，通常用min算子或乘法算子。當?shù)趇j個模糊規(guī)則的輸入為ξ時，模糊集

表示輸出為y的信度。

在這些應用中，模糊蘊涵可以認為是輸入集合和輸出集合的一個交集。2）模糊規(guī)則的信度模糊推理系統(tǒng)的知識庫中包括了模糊隸屬函數(shù)的定義、模糊邏輯算子和(hXq)模糊規(guī)則信度矩陣(RuleConfidencesMatrix)C。在模糊規(guī)則可信度矩陣C中h為多變量模糊輸入集的個數(shù)q為單變量模糊輸出集的個數(shù)規(guī)則信度矩陣中的每一個元素表示第i個多變量模糊輸入集合與第j個單變量模糊輸出集合相關的強度或稱信度。當某個規(guī)則信度為0，則表示輸出集合對特定的模糊輸入集合的輸出沒有作用。當一個規(guī)則的信度大于0，則無論何時，只要輸入部分地滿足規(guī)則的前提，輸出集合就將影響系統(tǒng)輸出。2）模糊規(guī)則的信度模糊規(guī)則的信度與模糊規(guī)則的權之間有著密切的關系，后面將對此作出解釋。一旦定義了一個模糊集合，則規(guī)則信度就已封裝一個特定過程的專家知識，它們形成一個簡便的用于訓練的參數(shù)集合。2）模糊規(guī)則的信度規(guī)則信度與模糊集合的形狀或類型和模糊邏輯算子無關。模糊集合和邏輯算子分別獨立地存儲于知識庫中。在自組織控制器中廣泛使用的離散模糊系統(tǒng)構造了一個相關矩陣，它完整地表征了系統(tǒng)的知識庫，并隱含地包括了模糊集的形狀、邏輯算子和規(guī)則信度的信息。人們希望將模糊知識按前面描述過的分布形式存儲起來，這將使得人們易于理解不同的實現(xiàn)方法是如何影響系統(tǒng)輸出的。2）模糊規(guī)則的信度規(guī)則信度向量c，與每個多變量模糊輸入集合相關互聯(lián)，它表征對特定輸入集合的系統(tǒng)輸出的估計。一般地，規(guī)則信度向量是標準的（歸一的），它表示，對于一個特定的輸入集合，存在關于系統(tǒng)輸出的全部知識。當規(guī)則庫中的知識發(fā)生變化時，參數(shù)易于更新。在許多自適應模糊系統(tǒng)中，更改模糊輸出隸屬函數(shù)的方法是轉移其中心，它等于重新定義設計者對語句表述的主觀解釋。2）模糊規(guī)則的信度在完成訓練之后，由于模糊集的形式與其初始定義不一致，不能認為這些自適應模糊系統(tǒng)是有效的。當獨立地使用和存儲規(guī)則信度時，適應一個規(guī)則作用的強度并重新獲得其初始的模糊語義解釋是可能的。設有一組同學X，X={張三，李四，王五}，他們的功課為Y，Y={英語，數(shù)學，物理，化學}。他們的考試成績?nèi)缦卤恚貉a充：模糊關系取隸屬函數(shù)，其中u為成績。如果將他們的成績轉化為隸屬度，則構成一個x×y上的一個模糊關系R，見下表。表：考試成績表的模糊化

將上表寫成矩陣形式，得：補充：模糊關系該矩陣稱作模糊矩陣，其中各個元素必須在[0，1]閉環(huán)區(qū)間上取值。矩陣R也可以用關系圖來表示，如圖所示。圖R的關系圖補充：模糊關系設有n階模糊矩陣A和B，，，且。則定義如下幾種模糊矩陣運算方式：補充：模糊矩陣運算補充：模糊矩陣運算例

設補充：模糊矩陣運算例子模糊矩陣的合成類似于普通矩陣的乘積。將乘積運算換成“取小”，將加運算換成“取大”即可。設矩陣A是x×y上的模糊關系，矩陣B是y×z上的模糊關系，則C=AοB稱為A與B矩陣的合成，合成算法為：補充：模糊矩陣的合成例設，，則A和B的合成為：其中補充：模糊矩陣的合成例子補充：模糊矩陣的合成例子3）模糊推理推理是對于一個特定表述的解釋過程，它利用所有的有用知識以產(chǎn)生最佳的輸出估計。在模糊系統(tǒng)中，利用推理機制完成當前模糊輸入集

與所有模糊規(guī)則前提的模式匹配，并結合其響應，產(chǎn)生一個單獨的模糊輸出集3）模糊推理這個過程定義如下：式中，對于所有可能的ξ值，都應用三角協(xié)范式。應用三角范式的目的，是計算對一個特定的ξ值，兩個隸屬函數(shù)之間的匹配。當和被分別用作積分（和）算子與乘法算子時，上式要求對任意模糊輸入集合，在輸入域D上n維可積。3）模糊推理對模糊輸出集的計算依賴于模糊輸入集相關曲面實際的推理算子只要在模糊輸入集和規(guī)則庫前提之間存在重疊，則在某種意義上，模糊系統(tǒng)具有歸納(Generalise)能力。對相鄰表述信息進行歸納是模糊邏輯的功能之一。在本節(jié)中研究的模糊系統(tǒng)是相當重要的，因為對它的逼近能力能同時進行理論上的分析與決策。這對于實際系統(tǒng)具有重要的意義。3）模糊推理一般地，模糊推理可以分為4步：(1)計算隸屬度，將已知事實與模糊規(guī)則的前提進行比較，求出相對每一前提隸屬函數(shù)的隸屬度；(2)求激勵強度，或稱求總前提的滿足程度，用模糊并或模糊交算子，把相對于前提隸屬函數(shù)的隸屬度結合起來，求出對總前提的滿足程度；(3)應用模糊規(guī)則，將激勵強度施加于模糊規(guī)則結果的隸屬函數(shù)，以產(chǎn)生一個定性的隸屬函數(shù)；(4)進行模糊聚類，獲得最終輸出的隸屬度。模糊推理的輸出結果是一個模糊集，而模糊控制器的輸出必須是一個確定的數(shù)值。這就是涉及到推理結果的反模糊化問題。3）模糊推理通常對模糊推理結果有下面幾種反模糊化方法。(1)簡單平均法

(2)最大隸屬函數(shù)法選擇y使用上式確定的y有時不唯一。對此問題的解決方法是，取使上式成立的多個結果的平均值作為。3）模糊推理(3)重力中心法在此要求分子與分母的積分都存在。重力中心法考慮到了的形狀，采用了較多的信息，是比較常用的方法。(4)水平重力中心法通過模糊推理得到的結果是一個模糊集合。但在實際模糊控制中，必須要有一個確定值才能控制或驅動執(zhí)行機構。將模糊推理結果轉化為精確值的過程稱為反模糊化。常用的反模糊化有三種：補充資料：反模糊化

補充資料：(1)最大隸屬度法

選取推理結果模糊集合中隸屬度最大的元素作為輸出值，即，。

如果在輸出論域V中，其最大隸屬度對應的輸出值多于一個，則取所有具有最大隸屬度輸出的平均值，即：N為具有相同最大隸屬度輸出的總數(shù)。最大隸屬度法不考慮輸出隸屬度函數(shù)的形狀，只考慮最大隸屬度處的輸出值，因此，難免會丟失許多信息。它的突出優(yōu)點是計算簡單。在一些控制要求不高的場合，可采用最大隸屬度法。為了獲得準確的控制量，就要求模糊方法能夠很好的表達輸出隸屬度函數(shù)的計算結果。重心法是取隸屬度函數(shù)曲線與橫坐標圍成面積的重心為模糊推理的最終輸出值，即補充資料：(2)重心法對于具有m個輸出量化級數(shù)的離散域情況

與最大隸屬度法相比較，重心法具有更平滑的輸出推理控制。即使對應于輸入信號的微小變化，輸出也會發(fā)生變化。補充資料：(3)加權平均法

工業(yè)控制中廣泛使用的反模糊方法為加權平均法，輸出值由下式?jīng)Q定其中系數(shù)的選擇根據(jù)實際情況而定。不同的系數(shù)決定系統(tǒng)具有不同的響應特性。當系數(shù)取隸屬度時，就轉化為重心法。

反模糊化方法的選擇與隸屬度函數(shù)形狀的選擇、推理方法的選擇相關，Matlab提供五種解模糊化方法：（1）centroid：面積重心法；（2）bisector：面積等分法；（3）mom：最大隸屬度平均法；（4）som：最大隸屬度取小法；（5）lom：大隸屬度取大法；在Matlab中，可通過setfis()設置解模糊化方法，通過defuzz()執(zhí)行反模糊化運算。Matlab提供五種解模糊化方法

例如，重心法通過下例程序來實現(xiàn)：x=-10:1:10;mf=trapmf(x,[-10,-8,-4,7]);xx=defuzz(x,mf,’centroid’);

在模糊控制中，重心法可通過下例語句來設定：a1=setfis(a,'DefuzzMethod','centroid')其中a為模糊規(guī)則庫。將含有模糊概念的語法規(guī)則所構成的語句稱為模糊語句。根據(jù)其語義和構成的語法規(guī)則不同，可分為以下幾種類型：（1）模糊陳述句：語句本身具有模糊性，又稱為模糊命題。如：“今天天氣很熱”。（2）模糊判斷句：是模糊邏輯中最基本的語句。語句形式：“是a”，記作（a），且a所表示的概念是模糊的。如“張三是好學生”。（3）模糊推理句：語句形式：若是，則是。則為模糊推理語句。如“今天是晴天，則今天暖和”。補充：模糊語句常用的有兩種模糊條件推理語句：IfAthenBelseC；IfAANDBthenC下面以第二種推理語句為例進行探討，該語句可構成一個簡單的模糊控制器，如圖所示。補充：模糊推理圖：二輸入單輸出模糊控制器其中A，B，C分別為論域x，y，z上的模糊集合，A為誤差信號上的模糊子集，B為誤差變化率上的模糊子集，C為控制器輸出上的模糊子集。常用的模糊推理方法有兩種：Zadeh法和Mamdani法。Mamdani推理法是模糊控制中普遍使用的方法，其本質是一種合成推理方法。定義：若有兩個模糊集A和B，其論域分別為X和Y，則定義在積空間上的模糊集合為的直積，隸屬函數(shù)表達為：或補充：模糊推理模糊推理語句“IfAANDBthenC”確定了三元模糊關系R，即：R=(A×B)T1

。C其中(A×B)T1為模糊關系矩陣(A×B)(m×n)構成的m×n列向量，n和m分別為A和B論域元素的個數(shù)?；谀：评硪?guī)則，根據(jù)模糊關系R，可求得給定輸入A1和B1對應的輸出C1：C1=（A1×B1）T2。

R補充：模糊推理例3-9

設論域x={a1，a2，a3}，y={b1，b2，b3}，z={c1，c2，c3}，已知，。試確定“IfAANDBthenC”所決定的模糊關系R，以及輸入為,時的輸出C1。補充：模糊推理例子解：將A×B矩陣擴展成如下列向量：

補充：模糊推理例子當輸入為A1和B1時，有：將A1×B1矩陣擴展成如下行向量：最后得:即：補充：模糊推理例子補充：又一個模糊推理例子

合成推理規(guī)則舉例若人工調(diào)節(jié)爐溫，有如下的經(jīng)驗規(guī)則：“如果爐溫低，則應施加高電壓”。試問當爐溫為“非常低”時，應施加怎樣的電壓。已知：x和y分別表示模糊語言變量“爐溫”和“電壓”，x和y的論域為

計算模糊蘊含關系

計算輸出量的模糊集模糊向量的轉置3.Mamdani型推理與Sugeno型推理到目前為止，所討論的模糊推理過程都是Mamdani模糊推理方法。本書內(nèi)容都是在采用Mamdani推理的基礎上進行的。Mamdani推理方法是使用最多，同時也比較簡便的模糊推理方法。但在文獻中時常見到使用Sugeno型模糊推理的例子，在此對其做一簡單介紹。Sugeno型推理方法又稱為Takagi-Sugeno-Kang方法，它于1985年首次提出。它在許多方面與Mamdani方法是相似的。在模糊推理進程的前兩個部分，即輸入模糊化和應用模糊算子，兩者是完全相同的。3.Mamdani型推理與Sugeno型推理在Sugeno型模糊推理和Mamdani型模糊推理之間主要的不同是，對Sugeno型模糊推理，輸出隸屬函數(shù)只能是線性的或者是常量。3.Mamdani型推理與Sugeno型推理如前所述，Mamdani型推理要求輸出的隸屬函數(shù)為一個模糊集。在完成聚類過程之后，對每個需要被反模糊化的輸出變量，存在一個模糊集合。而在許多情況下，使用一個模糊單點而不是一個分布模糊集作為輸出隸屬函數(shù)更為有效。模糊單點的數(shù)學表示如下：3.Mamdani型推理與Sugeno型推理圖7.26中表征了身高為“1.6米”的模糊單點。這個模糊單點被稱為單元輸出隸屬函數(shù)，它可以被視為一個預反模糊化集合。它極大地降低了更一般的、