第九章應(yīng)力狀態(tài)與材料力學(xué)第九章應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論§9–1引言§9–2二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§9–3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法§9–4三向應(yīng)力狀態(tài)簡介§9–5

廣義虎克定律§9–6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度§9–8莫爾強(qiáng)度理論§9–7四種常用的強(qiáng)度理論§9–１引言應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

三、單元體：單元體——構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究 點(diǎn)的無限小的幾何體，常用的是正六面體。單元體的性質(zhì)——a、各側(cè)面上，應(yīng)力均布；b、平行面上，應(yīng)力相等, 方向相反。二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：

過一點(diǎn)有無數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

ytxy應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論xyzs

xsz

s

ytxy五、切應(yīng)力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

過一點(diǎn)的兩個(gè)正交面上,如果有與相交邊垂直的切應(yīng)力分量,則兩個(gè)面上的這兩個(gè)切應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離。應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論tzx五、原始單元體（已知單元體）：例1畫出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。

PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論六、主單元體、主面、主應(yīng)力：主單元體(Principalbody)：各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。主平面(PrincipalPlane)：切應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(PrincipalStress）：主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，s1s2s3xyzsxsysz應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論單向應(yīng)力狀態(tài)（UnidirectionalStateofStress）：一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)（PlaneStateofStress）：一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)（Three—DimensionalStateof

Stress）：三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論§9–2二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論規(guī)定：截面外法線同向?yàn)檎?/p>

ta繞研究對象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；

a逆時(shí)針為正。圖1一、任意斜截面上的應(yīng)力xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2已知：x,sy拉正壓負(fù)；

t

xy繞研究對象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；圖2aSScosaSsina設(shè)：斜截面面積為S，應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論圖1由分離體平衡得：sytxysxsataaxyOtn圖2aSScosaSsina考慮切應(yīng)力互等和三角變換：aa應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論圖1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn圖2得：同理,由分離體平衡：得：∴任意斜截面應(yīng)力sa,ta可求,隨a而變.應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論二、極值應(yīng)力xysxtxysyOsa隨a而變.主平面法線與X軸夾角:可求出相差90o的兩個(gè)a0,定兩個(gè)互相垂直平面,分別對應(yīng)最大、最小主應(yīng)力:應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論xysxtxysyO(max)在切應(yīng)力相對的象限內(nèi)，且偏向于x及y大的一側(cè)。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

）（極值切應(yīng)力所在面(法線與X軸夾角):應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論例2分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫其原始單元體求極值應(yīng)力txyCtyxMCxyOtxytyx

應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論破壞分析低碳鋼鑄鐵應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論§9–3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（

StressCircle）xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓)應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫法在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)應(yīng)力圓上一點(diǎn)(，)面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。點(diǎn)面對應(yīng),轉(zhuǎn)向相同,轉(zhuǎn)角二倍應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論s3例3求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

12解：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓0s1s2BAC2a0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖

102AB應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°xyO應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q>0，試確定截面上各點(diǎn)主應(yīng)力大小及主平面位置。單元體：五、梁的主應(yīng)力及主應(yīng)力跡線應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論拉力壓力主應(yīng)力跡線（StressTrajectories)：實(shí)線表示拉主應(yīng)力跡線；1313虛線表示壓主應(yīng)力跡線。主應(yīng)力方向線的包絡(luò)線——曲線上每一點(diǎn)的切線都指示著該點(diǎn)的拉主應(yīng)力方位（或壓主應(yīng)力方位）。兩組曲線正交.應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論qxy主應(yīng)力跡線的畫法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd1331應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論§9–4三向應(yīng)力狀態(tài)簡介s2s1xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論2、三向應(yīng)力分析彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。圖a圖b整個(gè)單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力為：tmaxs2s1xyzs3應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論例4求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）解：由單元體圖知：yz面為主面建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫應(yīng)力圓和點(diǎn)1′,得:5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論§7–6平面應(yīng)變分析一、疊加法求應(yīng)變分析公式剪應(yīng)變：直角的增大為正！xyOX’Y’已知構(gòu)件任一點(diǎn)處應(yīng)變ex、ey、gxy。正應(yīng)變：拉正壓負(fù)。將坐標(biāo)系轉(zhuǎn)a角，得到新的X’OY’坐標(biāo).求X’坐標(biāo)方向的線應(yīng)變ea和X’OY’角的剪應(yīng)變ga

.因?yàn)樾∽冃巍⒕€彈性，可分別算出ex,

ey，

gxy單獨(dú)存在時(shí)的線應(yīng)變和剪應(yīng)變，再用疊加原理求它們同時(shí)存在時(shí)的ea，ga

.應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論abcdaAOB應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)DD1EE1xyOX’Y’應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyOabcdaAOBDD2EE2DD3EE3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyOabcdaAOB應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)2、已知一點(diǎn)A的應(yīng)變（），畫應(yīng)變圓二、應(yīng)變分析圖解法——應(yīng)變圓（StrainCircle）1、應(yīng)變圓與應(yīng)力圓的類比關(guān)系建立應(yīng)變坐標(biāo)系如圖在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)

A(x，xy/2)

B(y，-yx/2)AB與a

軸的交點(diǎn)C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)變圓。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)eaga/2ABCeaga/2三、方向上的應(yīng)變與應(yīng)變圓的對應(yīng)關(guān)系maxmin20D(，/2)2n應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)方向上的應(yīng)變(，/2)應(yīng)變圓上一點(diǎn)(，/2)方向線應(yīng)變圓的半徑兩方向間夾角兩半徑夾角2；且轉(zhuǎn)向一致。ABC四、主應(yīng)變數(shù)值及其方位應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)例5已知一點(diǎn)在某一平面內(nèi)的1、2、3、方向上的應(yīng)變1、2、3，三個(gè)線應(yīng)變，求該面內(nèi)的主應(yīng)變。解：由i=1,2,3這三個(gè)方程求出x，y，xy；然后在求主應(yīng)變。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)(剪應(yīng)變不易測)。例6用45°應(yīng)變花測得一點(diǎn)的三個(gè)線應(yīng)變后，求該點(diǎn)的主應(yīng)變。xyu45o0max應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§9–5

廣義虎克定律一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzsxxyz

x

y應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:方向一致s1s3s2應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致?應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系體積應(yīng)變：體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:s1s3s2a1a2a3應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論例7已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論me3342.-=應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)例8圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測得環(huán)向應(yīng)變t

=350×l06，若已知容器平均直徑D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，試求:1.導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式；2.計(jì)算容器所受的內(nèi)壓力。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)pppxs1smlpODxABy圖a1、軸向應(yīng)力:(longitudinalstress)解：容器的環(huán)向和縱向應(yīng)力表達(dá)式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)psmsmxD圖b用縱截面將容器截開，受力如圖c所示2、環(huán)向應(yīng)力：(hoopstress)3、求內(nèi)壓（以應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系求之）應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)t

m外表面ypststDqdqz圖cO§9－6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度23

1圖a圖c3-m

1-m2-m應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)m圖bmm稱為形狀改變比能或歪形能。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)圖c3-m

1-m2-mm圖bmm稱為體積改變比能。例9

用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txyA13一、概述：§9–7四種常用的強(qiáng)度理論強(qiáng)度理論1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP確定破壞（極限）應(yīng)力，得許用應(yīng)力，建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件，（一）、簡單變形時(shí)強(qiáng)度條件的建立：（二）、強(qiáng)度理論：是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效起因”的假說。1、伽利略播下了第一強(qiáng)度理論的種子；（三）、材料的破壞形式：⑴屈服（多為塑性材料）；⑵斷裂（多為脆性材料）。2、馬里奧特關(guān)于變形過大引起破壞的論述，是第二強(qiáng)度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大切應(yīng)力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximumdistortionenergytheory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。強(qiáng)度理論找到原因后，利用簡單應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度條件。二、最大拉應(yīng)力（第一強(qiáng)度）理論：1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、適用范圍：適用于破壞形式為脆斷的承受拉應(yīng)力的構(gòu)件。強(qiáng)度理論認(rèn)為構(gòu)件的斷裂破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就斷了。（一般是金屬材料，如鑄鐵的單向拉、扭。 不適用單向、兩向壓。）三、最大伸長線應(yīng)變（第二強(qiáng)度）理論：1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、適用范圍：適用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。強(qiáng)度理論同時(shí)考慮了s1、s2、s3，適用于脆性材料（一般非金屬）。不適用于兩向拉、壓。認(rèn)為構(gòu)件的斷裂破壞是由最大伸長線應(yīng)變引起的。當(dāng)最大伸長線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件就斷了。四、最大切應(yīng)力（第三強(qiáng)度）理論：1、破壞判據(jù)：3、適用范圍：適用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：強(qiáng)度理論適用于塑性材料，應(yīng)用廣泛，形式簡單，概念明確。缺點(diǎn)：忽略了s2的影響，偏于安全。認(rèn)為構(gòu)件的屈服破壞是由最大切應(yīng)力引起的。當(dāng)最大切應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限切應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件就破壞了。五、形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）（畸變能密度理論）：1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則3、適用范圍：適用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。強(qiáng)度理論對塑性材料,第四強(qiáng)度理論與試驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)接近,優(yōu)于第三強(qiáng)度理論.認(rèn)為構(gòu)件的屈服破壞是由形狀改變比能引起的。當(dāng)形狀改變比能達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)屈服時(shí)的形狀改變比能時(shí)，構(gòu)件就破壞了。六、強(qiáng)度理論的選用原則：依破壞形式而定。1、脆性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一理論；3、簡單變形時(shí)：一律用與其對應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則。如扭轉(zhuǎn)，都用：2、塑性材料：當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一理論；4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！當(dāng)最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時(shí)，使用莫爾理論。當(dāng)最大主應(yīng)力小于等于零時(shí)，使用第三或第四理論。其它應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，使用第三或第四理論。強(qiáng)度理論七、相當(dāng)應(yīng)力：（強(qiáng)度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式）。其中，r—相當(dāng)應(yīng)力。強(qiáng)度理論解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例1直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,為鑄鐵構(gòu)件，[