第四章非線性回歸模型的形式

一、模型的類型與變換

二、非線性回歸實(shí)例在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見(jiàn)。

如著名的恩格爾曲線(Englecurves)表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的菲利普斯曲線（Pillipscuves）表現(xiàn)為雙曲線形式等。但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過(guò)一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運(yùn)用線性回歸的方法進(jìn)行計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的處理。一、模型的類型與變換

1、倒數(shù)模型、多項(xiàng)式模型與變量的直接置換法

例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線：拋物線s=a+br+cr2c<0s：稅收；r：稅率設(shè)X1=r，X2=r2，則原方程變換為s=a+bX1+cX2c<0

3、復(fù)雜函數(shù)模型與級(jí)數(shù)展開(kāi)法

方程兩邊取對(duì)數(shù)后，得到：

(1+2=1)Q:產(chǎn)出量，K：資本投入，L：勞動(dòng)投入：替代參數(shù)，1、2：分配參數(shù)例如，常替代彈性CES生產(chǎn)函數(shù)將式中l(wèi)n(1K-+2L-)在=0處展開(kāi)臺(tái)勞級(jí)數(shù),取關(guān)于的線性項(xiàng)，即得到一個(gè)線性近似式。如取0階、1階、2階項(xiàng)，可得

并非所有的函數(shù)形式都可以線性化

無(wú)法線性化模型的一般形式為:其中，f(x1,x2,…,Xk)為非線性函數(shù)。如：二、非線性回歸實(shí)例

例3.5.1

建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品消費(fèi)需求函數(shù)模型。根據(jù)需求理論，居民對(duì)食品的消費(fèi)需求函數(shù)大致為

Q:居民對(duì)食品的需求量，X：消費(fèi)者的消費(fèi)支出總額P1：食品價(jià)格指數(shù)，P0：居民消費(fèi)價(jià)格總指數(shù)。

零階齊次性，當(dāng)所有商品和消費(fèi)者貨幣支出總額按同一比例變動(dòng)時(shí)，需求量保持不變

(*)(**)為了進(jìn)行比較，將同時(shí)估計(jì)（*）式與（**）式。

X：人均消費(fèi)X1：人均食品消費(fèi)GP：居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)FP：居民食品消費(fèi)價(jià)格指數(shù)XC：人均消費(fèi)（90年價(jià)）Q：人均食品消費(fèi)（90年價(jià)）P0：居民消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100）P：居民食品消費(fèi)價(jià)格縮減指數(shù)（1990=100中國(guó)城鎮(zhèn)居民人均食品消費(fèi)

特征：消費(fèi)行為在1981~1995年間表現(xiàn)出較強(qiáng)的一致性1995年之后呈現(xiàn)出另外一種變動(dòng)特征。

建立1981~1994年中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的消費(fèi)需求模型:

(9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34)按零階齊次性表達(dá)式回歸:（75.86）(52.66)(-3.62)為了比較，改寫該式為：

發(fā)現(xiàn)與接近。意味著：所建立的食品需求函數(shù)滿足零階齊次性特征受約束回歸

一、模型參數(shù)的線性約束二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量三、參數(shù)的穩(wěn)定性*四、非線性約束

一、模型參數(shù)的線性約束對(duì)模型施加約束得或(*)(**)如果對(duì)（**）式回歸得出則由約束條件可得：

然而，對(duì)所考查的具體問(wèn)題能否施加約束？需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢驗(yàn)。常用的檢驗(yàn)有：

F檢驗(yàn)、x2檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)，

主要介紹F檢驗(yàn)在同一樣本下，記無(wú)約束樣本回歸模型為受約束樣本回歸模型為于是

但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無(wú)約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小?？捎肦SSR

-RSSU的大小來(lái)檢驗(yàn)約束的真實(shí)性根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)：于是：

討論：如果約束條件無(wú)效，RSSR

與RSSU的差異較大，計(jì)算的F值也較大。于是，可用計(jì)算的F統(tǒng)計(jì)量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對(duì)約束條件的真實(shí)性進(jìn)行檢驗(yàn)。注意，kU-kR恰為約束條件的個(gè)數(shù)。例3.6.1

中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求實(shí)例中，對(duì)零階齊次性檢驗(yàn)：取=5%，查得臨界值F0.05(1,10)=4.96

判斷：不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。無(wú)約束回歸:RSSU=0.00324，kU=3受約束回歸:RSSR=0.00332，KR=2樣本容量n=14，約束條件個(gè)數(shù)kU-kR=3-2=1

二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個(gè)回歸模型(*)(**)(*)式可看成是（**）式的受約束回歸：H0：相應(yīng)的Ｆ統(tǒng)計(jì)量為：如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1,…,Xk+q對(duì)Ｙ?zèng)]有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較小；否則，約束條件為假，意味著額外的變量對(duì)Ｙ有較強(qiáng)的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較大。因此，可通過(guò)F的計(jì)算值與臨界值的比較，來(lái)判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。討論：

Ｆ統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式

三、參數(shù)的穩(wěn)定性

1、鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)建立模型時(shí)往往希望模型的參數(shù)是穩(wěn)定的，即所謂的結(jié)構(gòu)不變，這將提高模型的預(yù)測(cè)與分析功能。如何檢驗(yàn)？假設(shè)需要建立的模型為在兩個(gè)連續(xù)的時(shí)間序列（1,2,…，n1）與（n1+1,…，n1+n2）中，相應(yīng)的模型分別為：因此，檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量為：記RSS1與RSS2為在兩時(shí)間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗(yàn)證，于是參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)步驟：（1）分別以兩連續(xù)時(shí)間序列作為兩個(gè)樣本進(jìn)行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方：RSS1與RSS2

（2）將兩序列并為一個(gè)大樣本后進(jìn)行回歸，得到大樣本下的殘差平方和RSSR（3）計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值，與臨界值比較：

若F值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定的。該檢驗(yàn)也被稱為鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)（Chowtestforparameterstability）。如果參數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，則=0，矩陣式簡(jiǎn)化為(***)（***）式與（**）式這里：KU-KR=n2RSSU=RSS1分別可看成受約束與無(wú)約束回歸模型，于是有如下F檢驗(yàn)：

第一步，在兩時(shí)間段的合成大樣本下做OLS回歸，得受約束模型的殘差平方和RSSR；

第二步，對(duì)前一時(shí)間段的n1個(gè)子樣做OLS回歸，得殘差平方和RSS1；

第三步，計(jì)算檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量，做出判斷：鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)步驟：給定顯著性水平，查F分布表，得臨界值F(n2,n1-k-1)如果F>F(n2,n1-k-1)，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為預(yù)測(cè)期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。

例3.6.2中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求的鄒氏檢驗(yàn)。

1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)1981~1994：RSS1=0.003240

1995~2001：

(9.96)(7.14)(-5.13)(1.81)1981~2001:

(14.83)(27.26)(-3.24)(-11.17)給定=5%，查表得臨界值F0.05(4,13)=3.18判斷：F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求在1994年前后發(fā)生了顯著變化。

2、鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)給定=5%，查表得臨界值F0.05(7,10)=3.18判斷：F值>臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)*四、非線性約束

也可對(duì)模型參數(shù)施加非線性約束,如對(duì)模型施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型:

該模型必需采用非線性最小二乘法（nonlinearleastsquares）進(jìn)行估計(jì)。

非線性約束檢驗(yàn)是建立在最大似然原理基礎(chǔ)上的,有最大似然比檢驗(yàn)、沃爾德檢驗(yàn)與拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn).1、最大似然比檢驗(yàn)(likelihoodratiotest,LR)

估計(jì):無(wú)約束回歸模型與受約束回歸模型，

方法:最大似然法，

檢驗(yàn):兩個(gè)似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。

記L(,2)為一似然函數(shù):無(wú)約束回歸:Max:受約束回歸:Max:或求極值：

g():以各約束條件為元素的列向量,’：以相應(yīng)拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量

約束：g()=0

受約束的函數(shù)值不會(huì)超過(guò)無(wú)約束的函數(shù)值，但如果約束條件為真，則兩個(gè)函數(shù)值就非常“接近”。由此，定義似然比（likelihoodratio）:

如果比值很小，說(shuō)明兩似然函數(shù)值差距較大，則應(yīng)拒絕約束條件為真的假設(shè)；

如果比值接近于１，說(shuō)明兩似然函數(shù)值很接近，應(yīng)接受約束條件為真的假設(shè)。

具體檢驗(yàn)時(shí)，由于大樣本下：

h是約束條件的個(gè)數(shù)。因此：

通過(guò)LR統(tǒng)計(jì)量的2分布特性來(lái)進(jìn)行判斷。

在中國(guó)城鎮(zhèn)居民人均食品消費(fèi)需求例中，對(duì)零階齊次性的檢驗(yàn)：LR=-2(38.57-38.73)=0.32給出=5%、查得臨界值20.05(1)＝3.84，

判斷：LR<20.05(1),不拒絕原約束的假設(shè)，

表明:中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)滿足零階齊次性條件。

２、沃爾德檢驗(yàn)（Waldtest,W）

沃爾德檢驗(yàn)中，只須估計(jì)無(wú)約束模型。如對(duì)在所有古典假設(shè)都成立的條件下，容易證明

因此，在1+2=1的約束條件下

記

可建立沃爾德統(tǒng)計(jì)量:如果有h個(gè)約束條件，可得到h個(gè)統(tǒng)計(jì)量z1,z2,…,zh約束條件為真時(shí)，可建立大樣本下的服從自由度為h的漸近2

分布統(tǒng)計(jì)量

其中，Z為以zi為元素的列向量，C是Z的方差-協(xié)方差矩陣。因此，W從總體上測(cè)量了無(wú)約束回歸不滿足約束條件的程度。對(duì)非線性約束，沃爾德統(tǒng)計(jì)量W的算法描述要復(fù)雜得多。

3、拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)

拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)則只需估計(jì)受約束模型.受約束回歸是求最大似然法的極值問(wèn)題:

’是拉格朗日乘數(shù)行向量，衡量各約束條件對(duì)最大似然函數(shù)值的影響程度。

如果某一約束為真，則該約束條件對(duì)最大似然函數(shù)值的影響很小，于是，相應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)的值應(yīng)接近于零。因此，拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)?zāi)承├窭嗜粘藬?shù)的值是否“足夠大”，如