§7.3統(tǒng)計(jì)量的分布

確定統(tǒng)計(jì)量的分布——抽樣分布,是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問題之一.采用求隨機(jī)向量的函數(shù)的分布的方法可得到抽樣分布.由于樣本容量一般不止2或3(甚至還可能是隨機(jī)的),

故計(jì)算往往很復(fù)雜,有時(shí)還需要特殊技巧或特殊工具.

由于正態(tài)總體是最常見的總體,故本節(jié)介紹的幾個(gè)抽樣分布均對正態(tài)總體而言.1設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,為一實(shí)值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù),則稱隨機(jī)變量為統(tǒng)計(jì)量.若是一個(gè)樣本值,稱的一個(gè)樣本值為統(tǒng)計(jì)量定義統(tǒng)計(jì)量2常用的統(tǒng)計(jì)量為樣本均值為樣本方差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)是來自總體

X

的容量為

n

的樣本,稱統(tǒng)計(jì)量3(2)分布

(n為自由度)定義設(shè)相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),則n=2

時(shí),其密度函數(shù)為為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.5一般地,其中，在x>0時(shí)收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì)的密度函數(shù)為自由度為

n的6n=2n=3n=5n=10n=15

7(3)t

分布(Student分布)定義則T所服從的分布稱為自由度為n

的T分布其密度函數(shù)為X,Y

相互獨(dú)立,設(shè)9t分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n=1n=2010t分布的性質(zhì)1°fn(t)是偶函數(shù),2°T分布的分位數(shù)t與雙側(cè)分位數(shù)t/2

有表可查(p366)11m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=1013F分布的性質(zhì)例如事實(shí)上,故但F(n,m)?1234560.10.20.30.40.50.61415例1證明證:(II)

兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本它們相互獨(dú)立.令17則若則(3)18設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本

,它們相互獨(dú)立.則19(4)21的概率不小于90%,則樣本容量至少應(yīng)為多少?例2設(shè)總體,為使樣本均值大于70解

設(shè)樣本容量為

n

,則故令得即所以取22例3從正態(tài)總體中，抽取了

n=20的樣本(1)求(2)求23(2)故25例4

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X~N(0,16),

Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

與Y1,Y2,…,Y16

分別是取自X與Y的簡單隨機(jī)樣本,求統(tǒng)計(jì)量所服從的分布解26例6設(shè)是來自正態(tài)總體N(,2)的簡單隨機(jī)樣本,

是樣本均值,則服從自由度為n-1

的t分布的隨機(jī)變量為:29故應(yīng)選(B