第2課時(shí)

菱形的判定19.2菱形第19章

矩形、菱形與正方形1課堂講解由邊的數(shù)量關(guān)系判定菱形由對角線的位置關(guān)系判定菱形2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升我們已經(jīng)知道，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，這是菱形的定義.我們可以根據(jù)定義來判定一個(gè)四邊形是否是菱形.除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？1知識點(diǎn)由邊的數(shù)量關(guān)系判定菱形知1－導(dǎo)試一試如圖，作一個(gè)四條邊都相等的四邊形.步驟:1.畫兩條相等的線段AB、AD;2.分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心、AB長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C;3.連結(jié)BC、CD，即得一個(gè)四條邊都相等的四邊形ABCD.觀察你所畫的圖形，它是菱形嗎？知1－講判定方法：(1)(定義法)：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)(邊)：四條邊相等的四邊形是菱形；知1－講例1如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，試問四邊形EFGH是什么圖形？并說明理由.分析：四邊形EFGH的四條邊分別屬于矩形四個(gè)角上的三角形，如果能夠證明這四個(gè)三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理1，得出四邊形EFGH是菱形.知1－講例2如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點(diǎn)．試說明：四邊形EFGH是菱形．分析：由于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點(diǎn)，可知EH，HG，GF，F(xiàn)E分別是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD的中位線，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形EFGH是菱形．知1－講∵點(diǎn)E，H分別為AD，AC的中點(diǎn)，∴EH為△ACD的中位線，∴EH＝CD.同理可證：EF＝AB，F(xiàn)G＝CD，HG＝AB.又∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四邊形EFGH是菱形．解：有較多線段相等的條件時(shí)，我們可考慮通過證明四條邊相等來證明四邊形是菱形．注意：本例也可以通過先證四邊形EFGH是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，只不過步驟復(fù)雜一點(diǎn)，讀者不妨試一試．總結(jié)知1－講知1－講例3如圖，在ABCD中，對角線AC、BD互相垂直，只需證明有一組鄰邊相等，即可得到

ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD所在直線是線段AC的垂直平分線，∴AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).1如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連結(jié)DE.求證:四邊形ABED是菱形.知1－練2

(中考·十堰)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD及其延長線上，且DE＝DF.給出下列條件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.從中選擇一個(gè)條件使四邊形BECF是菱形，你認(rèn)為這個(gè)條件是________．(只填寫序號)知1－練3

(中考·欽州)如圖，要使ABCD為菱形，則需添加的一個(gè)條件是(

)A．AC＝AD

B．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD知1－練4

如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連結(jié)AD，下列條件能夠判定四邊形ABCD為菱形的是(

)A．AB＝BC

B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°知1－練2知識點(diǎn)由對角線的位置關(guān)系判定菱形知2－導(dǎo)用一長一短兩根木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個(gè)四邊形．轉(zhuǎn)動木條，這個(gè)四邊形什么時(shí)候變成菱形？知2－講判定方法：(3)(對角線)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．要點(diǎn)精析：(1)判定菱形時(shí)，一定要明確前提條件是從“四邊形”出發(fā)的，還是從“平行四邊形”出發(fā)的：①若從“四邊形”出發(fā)，則還需四條邊相等；②若從“平行四邊形”出發(fā)，則還需一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直．(2)判定菱形的方法：①若用對角線進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；②若用邊進(jìn)行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等．知2－講例4如圖，已知矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F.求證：四邊形AFCE是菱形.分析：要證四邊形AFCE是菱形，由已知條件可知EF⊥AC，所以只需證明四邊形AFCE是平行四邊形，又知EF垂直平分AC，所以只需證明OE＝OF.知2－講∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1＝∠2.∵EF平分AC，∴OA＝OC.又∵∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF,∴OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形(對角線互相垂直的平行四

邊形是菱形).證明：知2－講例5如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線EF⊥BD，分別交AD，BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連結(jié)BE，DF.求證：四邊形BEDF是菱形．導(dǎo)引：若要證明四邊形BEDF是菱形，由EF⊥BD只需要證明四邊形BEDF是平行四邊形，而DE∥BF，只需要證明DE＝BF，即可判定四邊形BEDF是平行四邊形，證明DE＝BF可通過證明△OED≌△OFB來證明．知2－講∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形．證明：證明一個(gè)四邊形是菱形的方法：

若已知要證的四邊形的對角線互相垂直，則要考慮證明這個(gè)四邊形是平行四邊形．總結(jié)知2－講1

作一個(gè)菱形，使它的兩條對角線的長分別為6cm和8cm，并說明其理由.2

(中考·齊齊哈爾)如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件__________使其成為菱形．(只填一個(gè)即可)知2－練知2－練3

(中考·遵義)如圖，在ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，若增加一個(gè)條件，使ABCD成為菱形，下列給出的條件不正確的是(

)A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠BAC＝∠DAC知2－練4

下列條件：①四邊相等的四邊形；②對角線互相垂直且平分的四邊形；③一組鄰邊相等的四邊形；④一條對角線平分一組對角的平行四邊形．其中能判定四邊形是菱形的有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)1.判定菱形的常見思路：2.判定一個(gè)四邊形是菱形的方法：若已知一組鄰邊相等要證明一個(gè)四