二、函數(shù)極自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極x2 f(x)x limlimf(x)=x?問(wèn)題:問(wèn)題:yfx)xx0的過(guò)程中,對(duì)應(yīng)函數(shù)值fx)無(wú)限趨近于確定值A(chǔ).f(x)表示f(x)任意小;0x 表示xx0的過(guò)程x0

x0 點(diǎn)x0的去心鄰域 體現(xiàn)x接近x0程度（1）定義1如果對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正數(shù),使得對(duì)于適合不等式0xx0的一切xfx)都fxA,那末常數(shù)A就叫函數(shù)fx)當(dāng)xx0時(shí)的極限,記作limfx) 或fx)A(當(dāng)xx0x"""00,使當(dāng)0x時(shí)恒f(x)注意1.函數(shù)極限與f(x)在點(diǎn)x0是否有定義無(wú)關(guān)與任意給定的正數(shù) yyfyyf(x)AAAoxx0x000域時(shí),函數(shù)yf(x)線(xiàn)y為中心線(xiàn),寬為2的帶形區(qū)域內(nèi)顯然,找到一個(gè)后,越小越好例 證明limCC,(C為常數(shù) 任取

x

時(shí)f(x)

C

0成立,limC例 證明limx f(x)A

x

取

x

時(shí)f(x)A

x

成立

limx例

x2

x證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義x2f(x)A

x1

x

要使f(x

只要取當(dāng)0x1時(shí)

x2 x

x2 x例 x x0 f(x)A

x

xx

xx0

要使f(x

取 x0只要xx0 x0且不取負(fù)值

x

時(shí)

x

lim

x x0單側(cè)極限例如1 x

yy1f(x)

x2

x

yx2 limf(x) 分x0和x0x從左側(cè)無(wú)限趨近x0 記作xx0x從右側(cè)無(wú)限趨近x0 記作xx0注意:{x0

x

}

0xx0}

xx0{x左極0,0,使當(dāng)x0{x左極f(xA記作 f(x) xx00(xx0

f(x00)右極0,0,使當(dāng)x0xx0時(shí)右極f(xA記作 f(x) 或f(x00)xx00(xx0定理1:limf(x)Af(x0

0)f(x00)y1o 1xxy1o 1xx x證 limx

lim(1)xlimxlim1x x00 左右極限存在但不相等

limf(x不存在2、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的sinxx時(shí)的變化趨勢(shì)x問(wèn)題:問(wèn)題:yfx)在x的過(guò)程中,對(duì)應(yīng)函數(shù)值fx)無(wú)限趨近于確定值A(chǔ).問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近f(xAf(xA任意小xX表示x的過(guò)程（1）定義1如果對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在著正數(shù)X,使得對(duì)于適合不等xX的一切x,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)fx)都滿(mǎn)足不等式fx)A,那末常數(shù)A就叫函fx)當(dāng)x時(shí)的極限limfx) 或fxA(當(dāng)xx"X"limf("X"0,X0,xX時(shí)f(xA另兩種情形10x情形

limf(x)0X0使當(dāng)xX時(shí)

f(x)

20x情形

limf(x)0,X0,使當(dāng)xX時(shí)

f(x)

定理2:limf(x)A limf(x)A且limf(x)

幾何解釋AysinxX當(dāng)xX或xX時(shí),yfysinxXysinx例 證明limsinysinx sinx sinx0sinxx

0,取X1

Xsinx

limsinx 定義:如果limf(x)c,則直線(xiàn)yc是函數(shù)y f(x)的圖形的水平漸近線(xiàn)三、函數(shù)極限如果極限lim定理4(局部有界性定理那定理4(局部有界性定理若limfxA,則fx在x0的某去心鄰域內(nèi)xx0有界,即存在常數(shù)M0及0,使當(dāng)0xx0時(shí)有f(x)M在某點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，則在這點(diǎn)的極限定理定理5(局部保序性定理如果limf(x)Alimg(x)B,且A 則0,使當(dāng)0xx0時(shí),有f(x)g(x).推推論1（局部保號(hào)性定理如果limf(x)A,且A0或A0,則xx0使當(dāng)0xx0時(shí)有f(x)0或f(x)f(x)

若limf(xA,且0,當(dāng)x?(x0,)時(shí)推論推論0(或f(x