《第1章勾股定理》（山東省濟(jì)南市燕山中學(xué)）一、選擇題1.如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，132．如果把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的（）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍3．下列各組數(shù)分別為一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，64．在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長(zhǎng)是13，一條直角邊的長(zhǎng)為12，那么這個(gè)直角三角形的面積是（）A．30 B．40 C．50 D．605．下列四組數(shù)：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以構(gòu)成直角三角形的邊長(zhǎng)有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組6．三個(gè)正方形的面積如圖，當(dāng)B=144、C=169時(shí)，則A的值為（）A．313 B．144 C．169 D．257．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜邊上的高為（）A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm8．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm二、填空題：9．如圖，直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度x=．10．三角形的三邊長(zhǎng)分別是15，36，39，這個(gè)三角形是三角形．11．如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是米．12．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是cm．三、解答題：13．有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．14．如圖，臺(tái)風(fēng)過(guò)后，一希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8米處，已知旗桿原長(zhǎng)16米，你能求出旗桿在離底部多少米的位置斷裂嗎？15．如圖，一架長(zhǎng)2.5米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻0.7米，為了安裝壁燈，梯子頂端離地面2米，請(qǐng)你計(jì)算一下，此時(shí)梯子底端應(yīng)再向遠(yuǎn)離墻的方向拉多遠(yuǎn)？

《第1章勾股定理》（山東省濟(jì)南市燕山中學(xué)）參考答案與試題解析一、選擇題1.如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒(méi)有這種關(guān)系，就不是直角三角形，分析得出即可．【解答】解：A、∵22+32≠42，∴此三角形不是直角三角形，符合題意；B、∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，不合題意；C、62+82=102，∴此三角形是直角三角形，不合題意；D、52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．2．如果把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的（）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，運(yùn)用勾股定理就可以解決．【解答】解：設(shè)直角三角形的直角邊為a、b，斜邊為c，直角邊擴(kuò)大2倍后為2a，2b，那么據(jù)勾股定理得原來(lái)c2=a2+b2，現(xiàn)在的斜邊．即斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．3．下列各組數(shù)分別為一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得到答案．【解答】解：因?yàn)?2+42=2552=25，所以32+42=52，所以能構(gòu)成直角三角形的是C．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定的運(yùn)用．4．在一個(gè)直角三角形中，若斜邊的長(zhǎng)是13，一條直角邊的長(zhǎng)為12，那么這個(gè)直角三角形的面積是（）A．30 B．40 C．50 D．60【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】首先根據(jù)勾股定理，得另一條直角邊的長(zhǎng)，進(jìn)而就可以求出直角三角形的面積．【解答】解：另一直角邊長(zhǎng)是：=5．則直角三角形的面積是×12×5=30．故選A．【點(diǎn)評(píng)】熟練運(yùn)用勾股定理由直角三角形的兩條邊求出第三邊；直角三角形的面積等于兩條直角邊的乘積的一半．5．下列四組數(shù)：①5，12，13；②7，24，25；③3a，4a，5a（a＞0）；④32，42，52．其中可以構(gòu)成直角三角形的邊長(zhǎng)有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解答】解：①52+122=132，能構(gòu)成直角三角形；②72+242=252，能構(gòu)成直角三角形，能構(gòu)成直角三角形；③（3a）2+（4a）2=（5a）2，能構(gòu)成直角三角形；④（32）2+（42）2≠（52）2，不能構(gòu)成直角三角形．故可以構(gòu)成直角三角形的邊長(zhǎng)有3組．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．6．三個(gè)正方形的面積如圖，當(dāng)B=144、C=169時(shí)，則A的值為（）A．313 B．144 C．169 D．25【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】根據(jù)a2+b2=c2，結(jié)合B=144、C=169，可求出a2的值，繼而可得出A的值．【解答】解：由題意可得：a2+b2=c2，解得：a2=25，即A的值為25．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的正方形的關(guān)鍵，關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出a2+b2=c2，題目出的很好，注意掌握勾股定理的表達(dá)式．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，其中斜邊上的高為（）A．6cm B．8.5cm C．cm D．cm【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形面積的兩種不同求法列出關(guān)于CD的方程即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∴AB===13cm；∴S△ABC=×5×12=30cm2；∴×13CD=30，解得CD=cm．故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和三角形的面積公式，巧妙利用直角三角形兩種面積求法是解題的關(guān)鍵．8．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則CD等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知：AC=AE=6，CD=DE，設(shè)CD=DE=x，在RT△DEB中利用勾股定理解決．【解答】解：在RT△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB===10，△ADE是由△ACD翻折，∴AC=AE=6，EB=AB﹣AE=10﹣6=4，設(shè)CD=DE=x，在RT△DEB中，∵DEDE2+EB2=DB2，∴x2+42=（8﹣x）2∴x=3，∴CD=3．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折的性質(zhì)、勾股定理，利用翻折不變性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想去思考問(wèn)題．二、填空題：9．如圖，直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度x=．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】根據(jù)勾股定理直接解答即可．【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：52+32=x2，解得：x=或﹣（舍去）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．即如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．本題難度不大，注意細(xì)心運(yùn)算即可．10．三角形的三邊長(zhǎng)分別是15，36，39，這個(gè)三角形是直角三角形．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)勾股定理逆定理，三角形兩短邊的平方和等于長(zhǎng)邊的平方，即可得出其為直角三角形．【解答】解：∵152+362=392，∴可得三角形為直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握勾股定理逆定理的應(yīng)用．11．如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是12米．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】梯子和建筑物之間可構(gòu)成直角三角形，梯子長(zhǎng)為斜邊，梯子的底端離建筑物的距離為一直角邊，運(yùn)用勾股定理可將另一直角邊求出，即梯子可以到達(dá)建筑物的高度．【解答】解：∵直角三角形的斜邊長(zhǎng)為15m，一直角邊長(zhǎng)為9m，∴另一直角邊長(zhǎng)==12m，故梯子可到達(dá)建筑物的高度是12m．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，使實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行求解．12．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是10c【考點(diǎn)】平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題．【分析】此題最直接的解法，就是將圓柱展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【解答】解：底面圓周長(zhǎng)為2πr，底面半圓弧長(zhǎng)為πr，即半圓弧長(zhǎng)為：×2π×=6（cm），展開(kāi)得：∵BC=8cm，AC=6cm，根據(jù)勾股定理得：AB==10（cm）．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了立體圖形的展開(kāi)和兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出展開(kāi)圖，表示出各線段的長(zhǎng)度．三、解答題：13．有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對(duì)角線長(zhǎng)，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高．【解答】解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=，故：門高尺，竹竿高=+1=尺．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用勾股定理，將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題中是解答本題的關(guān)鍵，難度一般．14．如圖，臺(tái)風(fēng)過(guò)后，一希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8米處，已知旗桿原長(zhǎng)16米，你能求出旗桿在離底部多少米的位置斷裂嗎？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】設(shè)旗桿在離底部x米的位置斷裂，在直角三角形中利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x的值，此題得解．【解答】解：設(shè)旗桿在離底部x米的位置斷裂，在給定圖形上標(biāo)上字母如圖所示．∵AB=x，AB+AC=16，∴AC=16﹣x．在Rt△ABC中，AB=x，AC=16﹣x，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即（16﹣x）2=x2+82，解得：x=6．故旗桿在離底部8米的位置斷裂．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理得出關(guān)于x的一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理表示出三邊關(guān)系是關(guān)鍵．15．如圖，一架長(zhǎng)2.5米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻0.7米，為了安裝壁燈，梯子頂端離地面2米，