階段方法技巧訓(xùn)練（二）專訓(xùn)1矩形性質(zhì)與判定的靈活應(yīng)用習(xí)題課

矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)．它的性質(zhì)可歸結(jié)為三個(gè)方面：(1)從邊看：矩形的對(duì)邊平行且相等；(2)從角看：矩形的四個(gè)角都是直角；(3)從對(duì)角線看：矩形的對(duì)角線互相平分且相等．

判定一個(gè)四邊形是矩形可從兩個(gè)角度考慮：一是判定它有三個(gè)角為直角；二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個(gè)角為直角或兩條對(duì)角線相等．1題型利用矩形的判定和性質(zhì)解和差問題1．如圖①，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P是BC上任意一

點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，D.(1)求證：BD＝PE＋PF.(2)當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，其他條件不變．如圖②，BD，PE，PF之間的上述關(guān)系還成立嗎？若

不成立，請(qǐng)說明理由．證明：(1)如答圖，作BH⊥FP交FP的延長線于點(diǎn)H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四邊形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.

又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.

又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.∴PE＝PH.∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE，

即BD＝PE＋PF.解：(2)不成立，PE＝BD＋PF.

理由：作BH⊥PF交PF的延長線于點(diǎn)H.

與(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.2利用矩形的判定和性質(zhì)解面積問題題型2．如圖，已知點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并

延長交DC的延長線于點(diǎn)F.(1)連接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；(2)在(1)的條件下，若△AFD是等邊三角形，且邊長為4，求四邊形ABFC的面積．(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE.又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.又∵AB∥CF，∴四邊形ABFC為平行四邊形．∴AE＝EF.∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.

又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.∴四邊形ABFC為矩形．證明：(2)∵四邊形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.

又∵△AFD是等邊三角形，且邊長為4，∴CF＝CD＝

＝2.∴AC＝.∴S矩形ABFC＝2×2＝4.解：3利用矩形的定義判定于菱形有關(guān)的矩形題型3．【2016·吉林】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD

相交于點(diǎn)O，且DE∥AC，AE∥BD.

求證：四邊形AODE是矩形．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴四邊形AODE是矩形．證明：4利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)判斷直線位置關(guān)系題型4．如圖，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分別

是AB，CD的中點(diǎn)，判斷MN與CD的位置關(guān)系，

并說明理由．MN⊥CD.理由如下：如圖，連接ND，NC.在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是A