概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論的產(chǎn)生和發(fā)展

------“賭博起家”的理論

17世紀(jì)中葉，保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展提出了一系列隨機(jī)性問(wèn)題

賭徒問(wèn)題：1654年，一賭徒問(wèn)帕斯卡：若約定先贏C局者勝，當(dāng)甲、乙兩人各贏a、b局時(shí)（a、b<C），如何分賭本？

帕斯卡與費(fèi)爾瑪經(jīng)通信研究回答了該問(wèn)題，并進(jìn)一步提出了數(shù)學(xué)期望這一重要概念

三年后，惠更斯寫(xiě)出了《論機(jī)會(huì)游戲的計(jì)算》

－－－－－－最早的概率論著作

概率論的產(chǎn)生和發(fā)展

在古典向近代的轉(zhuǎn)變過(guò)程中，Laplace的《分析概率論》(1812)給出了概率的明確定義；證明了DeMoivre—Laplace定理；建立了誤差觀察理論與最小二乘法；系統(tǒng)闡述了概率論的一些基本理論。

近幾十年發(fā)展迅猛，出現(xiàn)了很多以概率論為基礎(chǔ)的學(xué)科，如信息論、控制論、博弈論

……

其后，貝努利、雅可比、棣莫弗……貢獻(xiàn)突出第一章隨機(jī)事件與概率第一節(jié)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)

（1）擲一枚硬幣1萬(wàn)

次,正面向上的可能性如

何描述呢?是不是有一定的規(guī)律呢？

（2）什么是隨機(jī)試驗(yàn)?它和我們平常說(shuō)的實(shí)驗(yàn)有什么不同？要求的條件是什么?一、問(wèn)題提出（一）兩類(lèi)現(xiàn)象——確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象

先從實(shí)例來(lái)分析自然界和社會(huì)活動(dòng)中存在著兩類(lèi)不同的現(xiàn)象. 例1

在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓

力下,水加熱到100℃就沸騰.例2

向上拋擲10次五分硬幣,硬幣往下掉.例3

同性電荷相斥,異性電荷相吸.例1、例2、例3是在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象

二、問(wèn)題分析

我們把這種在保持條件不變的情況下,進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)或觀察,其結(jié)果總是確定的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象.例4是在一定條件下必然不可能發(fā)生的現(xiàn)象

例4

在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓力下,20℃的水結(jié)冰.

另外,在我們所生活的世界上還充滿(mǎn)了不確定性.

例5

用大炮轟擊某一確定目標(biāo),其結(jié)果可能是擊中目標(biāo),也可能擊不中目標(biāo).

例6

在相同條件下,拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,其結(jié)果可能正面向上,也可能反面向上.

例7

在合格品率為98%的產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品,取到的可能是合格品,也可能是不合格品.

對(duì)于例5～例7所表述的現(xiàn)象進(jìn)行歸納分析,可以看出：發(fā)生的結(jié)果預(yù)先可知但事先又不能完全確定.我們把這種在保持條件不變的情況下,重復(fù)試驗(yàn)或觀察,可能出現(xiàn)這種結(jié)果,也可能出現(xiàn)那種結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象.

對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象,人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期地觀察或進(jìn)行大量的試驗(yàn),分析表明：這些發(fā)生結(jié)果并非是雜亂無(wú)章的,而是有規(guī)律可尋的.

在大量地重復(fù)試驗(yàn)或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性,就是我們所說(shuō)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科.

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的關(guān)系

概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ).由于隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性,使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有極其廣泛的應(yīng)用.例如,使用概率統(tǒng)計(jì)的方法可以進(jìn)行天氣預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)以及產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)等.另一方面,廣泛的應(yīng)用也促進(jìn)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的極大發(fā)展.

(二)隨機(jī)試驗(yàn)

在一定條件下,對(duì)自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)或觀察常常稱(chēng)為試驗(yàn),常用E表示.

例8

E1:將質(zhì)地均勻的一枚硬幣投擲一次,觀察正面或反面朝上的情況.

例9

E2:擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

例10

E3:在一批燈泡中任意抽取一只,測(cè)試其壽命.上述試驗(yàn)均具有以下三個(gè)特點(diǎn)：(1)

試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是事先明確可知的,并且不止一個(gè);（3）每次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

我們把具有上述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn),稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn),也簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn).

隨機(jī)試驗(yàn)是一個(gè)含義較廣的術(shù)語(yǔ),它包括對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察、測(cè)量、記錄或進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)等.我們以后提到的試驗(yàn)都是指隨機(jī)試驗(yàn).

(一)隨機(jī)試驗(yàn)什么是隨機(jī)試驗(yàn)?

要求的條件是什么?三、內(nèi)容小結(jié)（1）試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;

（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是事先明確可知的,并且不止一個(gè);（3）每次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).四、習(xí)題布置

P21、2.第一章隨機(jī)事件與概率第二節(jié)樣本空間及隨機(jī)事件內(nèi)容簡(jiǎn)介:分析了隨機(jī)試驗(yàn)發(fā)生后產(chǎn)生的結(jié)果,借助于集合論的有關(guān)概念和方法,通過(guò)將日常語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系,建立了樣本空間、隨機(jī)事件、和事件、積事件、差事件、對(duì)立事件、互斥事件及其運(yùn)算性質(zhì)的理論體系.第一章隨機(jī)事件與概率第二節(jié)樣本空間及隨機(jī)事件一、提出問(wèn)題

1.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可知但不確定，怎樣來(lái)研究它？我們所關(guān)心某個(gè)或某些結(jié)果是否會(huì)出現(xiàn)？出現(xiàn)的可能性的大小？二、預(yù)備知識(shí)1.集合與元素，全集，空集.2.集合運(yùn)算及其運(yùn)算性質(zhì).

2.試驗(yàn)結(jié)果復(fù)雜多樣，如何研究他們之間的關(guān)系？三、分析問(wèn)題

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn),人們感興趣的是試驗(yàn)結(jié)果,即每次隨機(jī)試驗(yàn)后所發(fā)生的結(jié)果.

將隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn),通常記作ω.

將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有樣本點(diǎn)組成的集合叫做試驗(yàn)E的樣本空間,通常用字母S表示.由一個(gè)樣本點(diǎn)ω組成的單點(diǎn)集{ω}叫做基本事件.

(一)樣本空間與隨機(jī)事件

例1

E1:將質(zhì)地均勻的一枚硬幣投擲一次,觀察正面或反面朝上的情況.“正面朝上”和“反面朝上”是E1的樣本點(diǎn),所以樣本空間可簡(jiǎn)記為S={正,反}.例2

E2:

擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).“出現(xiàn)i點(diǎn)”

(i=1,2,…,6)是E2的樣本點(diǎn),所以樣本空間可簡(jiǎn)記為S={1,2,…,6}.例3

E3:在一批燈泡中任意抽取一只,測(cè)試其壽命.

“測(cè)得燈泡壽命為t小時(shí)(0≤t＜+∞)”是E3的樣本點(diǎn),所以樣本空間可表示為S={t|0≤t＜+∞}.例4

E4:一袋中裝有紅白兩種顏色的10只乒乓球,從袋中任意抽取1只球,觀察其顏色.令ω1=“取得紅球”,ω2=“取得白球”,則樣本空間S={ω1,ω2}.

例5

E5:將質(zhì)地均勻的一枚硬幣投擲兩次,觀察正面或反面朝上的情況.

試驗(yàn)E5的全部樣本點(diǎn)是：(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).其中(正,正)表示“擲第一次硬幣正面朝上,擲第二次硬幣正面朝上”,依此類(lèi)推.則樣本空間S={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.

從上面例1～例5可以看到,樣本空間可以是有限集或無(wú)限集,可以是一維點(diǎn)集或多維點(diǎn)集,可以是離散點(diǎn)集亦可以是歐氏空間的某個(gè)區(qū)域.有時(shí)候,為了數(shù)學(xué)處理方便,還可以把樣本空間作相應(yīng)擴(kuò)大.例如,在例3中可以取S=[0,+∞),若有必要,甚至可以取成(-∞,+∞).

人們常用數(shù)字或者符號(hào)來(lái)表示具有實(shí)際意義的試驗(yàn)結(jié)果.例6(Ex.)寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù);(2)將一只一尺長(zhǎng)的尺子折成3段,觀察各段長(zhǎng)度；(3)對(duì)某工廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查,如連續(xù)查出2個(gè)次品或檢查4個(gè)產(chǎn)品后就停止檢查,記錄檢查結(jié)果.

在實(shí)際問(wèn)題中,人們常常需要研究由樣本空間中滿(mǎn)足某些條件的樣本點(diǎn)組成的集合,即關(guān)心于滿(mǎn)足某些條件的樣本點(diǎn)在試驗(yàn)后是否會(huì)出現(xiàn).例如,在汛期,水文站關(guān)心的是江河水位是否達(dá)到或超過(guò)警戒水位H0;抽查產(chǎn)品時(shí)檢驗(yàn)人員關(guān)心的是產(chǎn)品某些方面指標(biāo)是否達(dá)到合格標(biāo)準(zhǔn),等等.

我們稱(chēng)樣本空間S中滿(mǎn)足某些條件的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)事件.通常用A,B,C,…表示.若試驗(yàn)后的結(jié)果ω∈A,則稱(chēng)事件A發(fā)生,否則稱(chēng)A不發(fā)生.

樣本空間S也是它自己的子集,因而也是事件,它叫必然事件;

空集中不含S的任何元素,它叫不可能事件.

講評(píng):必然事件和不可能事件所反映的現(xiàn)象是確定性現(xiàn)象,并不具有“隨機(jī)性”,為了研究問(wèn)題的方便,我們把它們分別看作一種特殊的“隨機(jī)事件”.

例如,在例2中,設(shè)A表示{擲一枚骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)≤6},則A=S是必然事件；設(shè)B表示{出現(xiàn)8點(diǎn)},則B是空子集,因而是不可能事件;設(shè)C表示{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)},則C={2,4,6},若實(shí)際擲出“2點(diǎn)”,我們便說(shuō)事件C發(fā)生了;設(shè)D表示{出現(xiàn)2點(diǎn)},則D={2}是基本事件.(二)隨機(jī)事件與集合的對(duì)應(yīng)

例7

E6:一盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1到10的10只球.從盒中任意抽取1只球,觀察其點(diǎn)數(shù).

全部基本事件是：{抽到1號(hào)球},{抽到2號(hào)球},{抽到3號(hào)球},…,{抽到10號(hào)球}.

樣本空間S={1號(hào)球,2號(hào)球,…,10號(hào)球},通常簡(jiǎn)記為S={1,2,…,10}.

隨機(jī)事件A={抽到偶數(shù)號(hào)球}由5個(gè)基本事件——{抽到2號(hào)球},{抽到4號(hào)球},{抽到6號(hào)球},{抽到8號(hào)球},{抽到10號(hào)球}組成,記為A={2,4,6,8,10}.

隨機(jī)事件B={抽到不大于6的偶數(shù)號(hào)球}由3個(gè)基本事件—{抽到2號(hào)球},{抽到4號(hào)球},{抽到6號(hào)球}組成.通常也簡(jiǎn)明地表示成B={2,4,6}.

隨機(jī)事件C={抽到奇數(shù)號(hào)球}={1,3,5,7,9}.

隨機(jī)事件D={抽到球號(hào)數(shù)不大于4}={1,2,3,4}.

如果我們現(xiàn)在抽到6號(hào)球,則說(shuō)事件A發(fā)生,事件B發(fā)生.但是,事件C和D不發(fā)生.

將不能再細(xì)分的試驗(yàn)基本結(jié)果看作樣本點(diǎn);而樣本點(diǎn)看作集合的元素；

全部基本結(jié)果構(gòu)成樣本空間;而樣本空間看作全集；

將隨機(jī)事件表示成由樣本點(diǎn)組成的集合;或者說(shuō)，看作全集的子集；

基本事件是由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單元集;

必然事件看作全集,不可能事件看作空集；

將樣本點(diǎn)(元素)屬于集合表示事件發(fā)生,

這樣的處理方法,不僅對(duì)研究事件的關(guān)系和運(yùn)算是方便的,而且對(duì)研究隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)——

概率的運(yùn)算也是非?？茖W(xué)合理的.就可以將事件間的關(guān)系和運(yùn)算歸結(jié)為集合之間的關(guān)系和運(yùn)算.

(一)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算

在一個(gè)樣本空間S中,可以包含許多的隨機(jī)事件.研究隨機(jī)事件的規(guī)律,往往是通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單事件規(guī)律的研究去發(fā)現(xiàn)更為復(fù)雜事件的規(guī)律.

為此,我們引進(jìn)事件之間的一些重要關(guān)系和運(yùn)算.由于任一隨機(jī)事件是樣本空間的子集,所以事件之間的關(guān)系及運(yùn)算與集合之間的關(guān)系及運(yùn)算是完全類(lèi)似的.四、建立理論平面矩形區(qū)域表示樣本空間S,平面區(qū)域A表示事件A.文氏圖

(Venndiagram)

AS

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A1,A2,…,Ak

(k=1,2,…)是S的一些事件,它們都是S的子集.

與集合論類(lèi)似,我們習(xí)慣地用文氏圖形像地描述事件間的關(guān)系.

若“事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生”,亦即A的樣本點(diǎn)都是B的樣本點(diǎn),則稱(chēng)A包含于B或B包含A,也稱(chēng)A是B的子事件

.BS

(1)事件的包含與相等則稱(chēng)事件A與事件B相等,記做A=B等價(jià)于它們是由相同的樣本點(diǎn)構(gòu)成的.

如果有且

注意

對(duì)任一事件A,

都有子事件關(guān)系

記做

“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”的事件叫做A與B的和事件.的和事件

的和事件

(2)事件的和(并)

可見(jiàn),A∪B是由所有包含在A中的或包含在B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成.

或BA記做B.A+

“事件A與事件B

同時(shí)發(fā)生”，這樣的事件稱(chēng)為A與B的積事件.的積事件

——

(3)事件的交(積)

AB由既包含在A中又包含在B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成.

的積事件

——

或記作

“事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生”，這樣的事件稱(chēng)為A與B的差事件.

（4）事件的差記為A–B.

A-B是由所有包含在A中而不包含在B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成.

例如,若A={2,4,6,8,10},B={1,2,3,4},則A-B={6,8,10},B-A={1,3}.——A與B互斥A、B不可能同時(shí)發(fā)生.兩兩互斥兩兩互斥

(5)事件的互不相容(互斥)

——A與B互相對(duì)立稱(chēng)B為A的對(duì)立事件(or逆事件)，記為

注意

“A與B

互相對(duì)立”與“A與B

互斥”是不同的概念.(6)對(duì)立事件(逆事件)每次試驗(yàn)，A，B中有且只有一個(gè)發(fā)生.

(7)完備事件組或稱(chēng)

為S的一個(gè)劃分(或剖分).若

兩兩互斥,且則稱(chēng)

為完備事件組.

講評(píng)

完備事件組A1,A2,…,An概念說(shuō)明:在每次試驗(yàn)中,事件A1,A2,…,An中有一個(gè)發(fā)生,并且只有一個(gè)發(fā)生.建立這個(gè)概念的目的是,把錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系分解成彼此沒(méi)有影響的各種基本因素之和.概念的關(guān)鍵是:事件交為不可能事件，同時(shí)，事件和為必然事件.有限樣本空間的所有基本事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組,即是樣本空間的一個(gè)劃分.(二)事件運(yùn)算法則對(duì)應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算

(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律B

CAA

CBA

分配律

圖示A＝

講評(píng)對(duì)偶律通常叫做德·摩根律.在一起處理關(guān)于和事件、積事件和對(duì)立事件三種關(guān)系時(shí)經(jīng)常會(huì)使用到.五、理論應(yīng)用

(4)互反律(5)對(duì)偶律例8

擲一顆骰子的試驗(yàn),觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).事件A表示{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)},B表示{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于5},C表示{出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)}.用集合的列舉法表示下列事件：S,A,B,C,A∪B,A-B,AB,AC,,解

S={1,2,3,4,5,6},

B={1,2,3,4},

A={1,3,5},C={2,4},

A∪B={1,2,3,4,5},

A-B={5},AB={1,3},={1,2,3,4,6}.

AC=,

講評(píng)在概念上,此題考查各事件的關(guān)系運(yùn)算.在方法上,將文字表述轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)符號(hào)，將有關(guān)問(wèn)題數(shù)字化或數(shù)學(xué)化.例9

設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：(1)B,C都發(fā)生,而A不發(fā)生；(2)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生；(3)A,B,C中恰有一個(gè)發(fā)生；(4)A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生；(5)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生；(6)A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生.A∪B∪C

或

講評(píng)

本例旨在在基本概念方面考查事件的文字表述與數(shù)學(xué)符號(hào)描寫(xiě)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

例10

事件Ai表示某射手第i次(i=1,2,3)擊中目標(biāo),試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?/p>

(1)A1∪A2;(2)A1∩A2∩A3;(3)

(4)A2-A3;(5);(6)

(1)A1∪A2表示前二次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)；解

(2)A1∩A2∩A3表示三次射擊中全部擊中目標(biāo)；

(3)表示第三次射擊未擊中目標(biāo)；

(6),表示前兩次射擊中至少有一次未擊中目標(biāo).講評(píng)在基本概念方面應(yīng)考慮數(shù)學(xué)符號(hào)的文字表述含義.

(5)

,表示后兩次射擊均未擊中目標(biāo)；

,表示第二次射擊擊中目標(biāo)而第三次射擊未擊中目標(biāo)；

(4)

A2-A3=A2例11(Ex.)設(shè)A、B、C為三個(gè)事件，用A、B、C表示下列事件：(1)A出現(xiàn),B、C不出現(xiàn)；(2)三個(gè)事件都出現(xiàn)；(3)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn)；