第17講相似三角形1．(2023·蘭州)如圖，在△ABC中，DE∥BC，假設eq\f(AD,DB)＝eq\f(2,3)，那么eq\f(AE,EC)＝(C)A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,5)2．(2023·重慶A卷)假設△ABC與△DEF的相似比為1∶4，那么△ABC與△DEF的周長比為(C)A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶163．(2023·東營)假設eq\f(y,x)＝eq\f(3,4)，那么eq\f(x＋y,x)的值為(D)A．1B.eq\f(4,7)C.eq\f(5,4)D.eq\f(7,4)4．(2023·新疆建設兵團)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，以下說法中不正確的選項是(D)A．DE＝eq\f(1,2)BCB.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)C．△ADE∽△ABCD．S△ADE∶S△ABC＝1∶25．(2023·湘西)如圖，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面積為1，那么四邊形DBCE的面積為(D)A．3B．5C．6D．86．(2023·婁底)如圖，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個條件，你添加的條件是答案不唯一，如：AB∥DE．(只需寫一個條件，不添加輔助線和字母)7．(2023·畢節(jié))在△ABC中，D為AB邊上一點，且∠BCD＝∠A，BC＝2eq\r(2)，AB＝3，那么BD＝eq\f(8,3)．8．(2023·濱州)如圖，矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(6)，點E在對角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長交DC于點F，那么eq\f(CF,CD)＝eq\f(1,3)．提示：BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝3，DE＝1.2，eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(CF,CD)＝eq\f(1,3).9．(2023·泉州)如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點E，假設CE∶BE＝2∶3，那么AE∶DE＝2∶3．10．(2023·合肥十校聯(lián)考模擬)如圖，△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，點E在△ABC內(nèi)，連接AE，BE，CF，∠CAE＋∠CBE＝90°，連接BF.(1)求證：△CAE∽△CBF；(2)假設BE＝1，AE＝2，求CE的長．解：(1)證明：∵△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(CE,CF)＝eq\r(2)，∠ACB＝∠ECF＝45°.∴∠ACB－∠BCE＝∠ECF－∠BCE，即∠ACE＝∠BCF.∴△CAE∽△CBF.(2)∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，eq\f(AE,BF)＝eq\f(AC,BC)＝eq\r(2).又∵AE＝2，∴eq\f(2,BF)＝eq\r(2).∴BF＝eq\r(2).又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.∴EF＝eq\r(BE2＋BF2)＝eq\r(12＋〔\r(2)〕2)＝eq\r(3).∴CE＝eq\r(2)EF＝eq\r(6).11．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于點D，BE⊥CE于點E，AB與CE交于點F.(1)求證：△ACD≌△CBE；(2)AD＝4，DE＝1，求EF的長．解：(1)證明：∵AD⊥CE，∴∠DCA＋∠DAC＝90°.又∵∠BCE＋∠DCA＝90°，∴∠BCE＝∠DAC.又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.在△ACD和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠E，,∠DAC＝∠ECB，,AC＝CB，))∴△ACD≌△CBE.(2)∵△ACD≌△CBE，∴CE＝AD＝4，CD＝BE.∴CD＝CE－DE＝4－1＝3.∵∠E＝∠ADF，∠BFE＝∠AFD，∴△BEF∽△ADF.∴eq\f(BE,AD)＝eq\f(EF,DF).設EF＝x，那么DF＝1－x.∴eq\f(3,4)＝eq\f(x,1－x)，解得x＝eq\f(3,7).∴EF＝eq\f(3,7).12．(2023·永州)圓桌面(桌面中間有一個直徑為0.4m的圓洞)正上方的燈泡(看作一個點)發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如下圖的圓環(huán)形陰影．桌面直徑為1.2m，桌面離地面1m，假設燈泡離地面3m，那么地面圓環(huán)形陰影的面積是(D)A．0.324πm2B．0.288πm2C．1.08πm2D．0.72πm213．(2023·阜陽二模)如圖，△ABC中，AB＝AC＝12，D是AB上的一點，且AD＝eq\f(2,3)AB，DF∥BC，E為BD的中點，且EF⊥AC，那么EF的長為(D)A．3B．4C．5D．614．如圖，平面直角坐標系中，點A(4，0)和點B(0，3)，點C是AB的中點，點P在折線AOB上，直線CP截△AOB，所得的三角形與△AOB相似，那么點P的坐標是(0，eq\f(3,2))，(2，0)(eq\f(7,8)，0)．15．(2023·安徽模擬)如圖1，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，DE∥AB，交AC于點D，交BC于點E，點F為AB的中點，DE與CF交于點G.(1)求證：CD·CF＝CG·CA；(2)求證：DG＝EG；(3)如圖2，將△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得△CD1E1，CG旋轉(zhuǎn)到CG1，連接AD1、G1F、E1B.求eq\f(G1F,E1B)的值．圖1圖2解：(1)證明：∵DE∥AB，∴△AFC∽△DGC.∴eq\f(CD,CA)＝eq\f(CG,CF).∴CD·CF＝CG·CA.(2)證明：∵DE∥AB，∴△AFC∽△DGC，△CGE∽△CFB.∴eq\f(DG,AF)＝eq\f(CG,CF)，eq\f(EG,BF)＝eq\f(CG,CF).∴eq\f(DG,AF)＝eq\f(EG,BF).∵F為AB的中點，∴AF＝BF.∴DG＝EG.(3)∵DE∥AB，∴△CGE∽△CFB.∴eq\f(CG,CF)＝eq\f(CE,CB).∵△CD1E1是△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)而來，△CD1E1≌△CDE，∴CG＝CG1，CE＝CE1.∴eq\f(CG1,CF)＝eq\f(CE1,CB).又∵∠FCG1＝∠BCE1，∴△BCE1∽△FCG1.∴eq\f(G1F,E1B)＝eq\f(CF,CB).∵∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，點F為AB的中點，∴CF＝eq\f(1,2)AB，eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,\r(3)).∴eq\f(CF,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq