Theclassisbegin!第一章射影平面本章地位學習平面射影幾何的基礎本章內容定義射影平面，引入齊次坐標，學習對偶原則附帶一個重要定理Desargues透視定理學習注意認真思考，牢固掌握基本概念，排除傳統(tǒng)習慣干擾§1.1拓廣平面一、中心射影1、平面上兩直線間的中心射影定義1.1因此，φ–1:l'→l是l'到l的中心射影OP投射線P'l上的點P在l'上的像Pl'

上的點P'在l上的像OV'//l,與l不相交，V'為l'上的影消點影消點的存在，導致兩直線間的中心射影不是一個雙射!X=l×l'

自對應點(不變點)OU//l',與l'不相交，U為l上的影消點三個特殊的點：§1.1拓廣平面一、中心射影1、平面上兩直線間的中心射影定義1.12、平面到平面的中心射影定義1.2}均不是雙射中心射影不是雙射的原因：存在影消點、影消線存在影消點、影消線的原因：平行的直線沒有交點如何使得中心射影成為一個雙射？給平行線添加交點！§1.1射影平面一、中心射影二、無窮遠元素目標：改造空間，使得中心射影成為雙射途徑：給平行直線添加交點要求：不破壞下列兩個基本關系兩條相異直線確定惟一一個點(交點)兩個相異點確定惟一一條直線(連線)}點與直線的關聯(lián)關系§1.1拓廣平面二、無窮遠元素

約定1.1(1)在每一條直線上添加惟一一個點，此點不是該直線上原有的點.稱為無窮遠點(理想點)，記作P∞

(2)相互平行的直線上添加的無窮遠點相同,不平行的直線上添加的無窮遠點不同.區(qū)別起見，稱平面上原有的點為有窮遠點(通常點)，記作P

約定1.1(3)按約定(1),(2)添加無窮遠點之后，平面上全體無窮遠點構成一條直線，稱為無窮遠直線(理想直線)，記作l∞區(qū)別起見，稱平面上原有的直線為有窮遠直線(通常直線)，l

總結：在平面上添加無窮遠元素之后，沒有破壞點與直線的關聯(lián)關系，同時使得中心射影成為雙射.§1.1拓廣平面理解約定1.1(3)1、無窮遠直線為無窮遠點的軌跡.無窮遠直線上的點均為無窮遠點；平面上任何無窮遠點均在無窮遠直線上.2、每一條通常直線與無窮遠直線有且僅有一個交點為該直線上的無窮遠點.3、每一平面上有且僅有一條無窮遠直線.4、每一組平行平面有且僅有一條交線為無窮遠直線；過同一條無窮遠直線的平面相互平行.因而，對于通常平面：兩平面平行不平行交于惟一無窮遠直線有窮遠直線空間中任二平面必相交于唯一直線§1.1拓廣平面三、拓廣平面

定義1.3通常點和無窮遠點統(tǒng)稱拓廣點；添加無窮遠點后的直線和無窮遠直線統(tǒng)稱為拓廣直線(射影仿射直線)；添加無窮遠直線后的平面稱為拓廣平面(射影仿射平面).

定理1.1在拓廣平面上,點與直線的關聯(lián)關系成立：(1)兩個相異的拓廣點確定惟一一條拓廣直線；(2)兩條相異的拓廣直線確定惟一一個拓廣點.(1)拓廣直線的封閉性拓廣直線：向兩方前進最終都到達同一個無窮遠點四、拓廣直線、拓廣平面的基本性質及模型歐氏直線：向兩個方向無限伸展1、拓廣直線(射影仿射直線)§1.1拓廣平面(2)拓廣直線的拓撲模型(i)歐氏平面上的圓(ii)疊合對徑點的圓(iii)歐氏平面上過原點的直線的集合(線束模型)(iv)歐氏平面去掉原點后，過原點每一直線的所有點作為拓廣直線的一個點§1.1拓廣平面(i)任一直線劃分歐氏平面為兩個不同的區(qū)域任一直線不能劃分拓廣平面為兩個不同的區(qū)域(ii)兩條相交直線劃分歐氏平面為四個不同的區(qū)域兩條相交直線劃分拓廣平面為兩個不同的區(qū)域在拓廣平面上，可以證明：I，II為同一區(qū)域III，IV為同一區(qū)域2、拓廣平面(射影仿射平面)四、拓廣直線、拓廣平面的基本性質及模型(1)拓廣平面的封閉性(從兩個方面理解)§1.1射影平面(2)拓廣平面的拓撲模型(i)疊合對徑點的球面(ii)歐氏空間過原點的直線的集合(線叢模型)(iii)疊合赤道上對徑點的半球面(iv)疊合周界上對徑點的圓盤2、拓廣平面(射影仿射平面)四、拓廣直線、拓廣平面的基本性質及模型(1)拓廣平面的封閉性(從兩個方面理解)§1.1拓廣平面M?bius帶§1.1拓廣平面五、射影基本形2、二維基本形(2)點場(同一平面上點的集合)(2)'線場(同一平面上直線的集合)π稱為點場的底，其上的點稱為元素.π稱為線場的底，其上的直線稱為元素.顯然，一維基本形和二維基本形都是射影不變的§1.1拓廣平面五、射影基本形3、一對重要的基本圖形

三點形(不共線三點及其兩兩連線構成的圖形)頂點：A,B,C邊：BC,CA,AB顯然，射影基本形、三點形和三線形都在中心射影下不變

三線形(不共點三直線及其兩兩交點構成的圖形)邊：a,b,c頂點：b×