在吹氣球的過程中,可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.從數(shù)學(xué)的角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?問題導(dǎo)入第1頁/共54頁第一頁，共55頁。第2頁/共54頁第二頁，共55頁。播放暫停停止第3頁/共54頁第三頁，共55頁。思考：第4頁/共54頁第四頁，共55頁。新授：一、函數(shù)的平均變化率第5頁/共54頁第五頁，共55頁。注：那么，函數(shù)的平均變化率還可以表示為：第6頁/共54頁第六頁，共55頁。直線AB的斜率AB二、函數(shù)的平均變化率的幾何意義第7頁/共54頁第七頁，共55頁。例(1)計(jì)算函數(shù)

f(x)=2x+1在區(qū)間[–3,–1]上的平均變化率；(2)求函數(shù)f(x)=x2

+1的平均變化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2

第8頁/共54頁第八頁，共55頁。練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=(

)

A.

3B.

3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

D3.求y=x2在x=x0附近的平均變化率.

A第9頁/共54頁第九頁，共55頁。小結(jié)1.函數(shù)的平均變化率2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)計(jì)算平均變化率：第10頁/共54頁第十頁，共55頁。1.1變化率與導(dǎo)數(shù)1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念第11頁/共54頁第十一頁，共55頁。探究一：在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時(shí)間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?hto第12頁/共54頁第十二頁，共55頁。第13頁/共54頁第十三頁，共55頁。探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，，所以，雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．thO第14頁/共54頁第十四頁，共55頁。瞬時(shí)速度.在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。又如何求瞬時(shí)速度呢?我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

第15頁/共54頁第十五頁，共55頁。探究二：第16頁/共54頁第十六頁，共55頁?！鱰<0時(shí),在[2+△t,2]這段時(shí)間內(nèi)△t>0時(shí),在[2,2+△t]這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)△t=–0.01時(shí),當(dāng)△t=

0.01時(shí),當(dāng)△t=–0.001時(shí),當(dāng)△t=0.001時(shí),當(dāng)△t=–0.0001時(shí),當(dāng)△t=0.0001時(shí),△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢呢?當(dāng)Δt趨近于0時(shí),平均速度有什么變化趨勢?第17頁/共54頁第十七頁，共55頁。第18頁/共54頁第十八頁，共55頁。那么,運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度?第19頁/共54頁第十九頁，共55頁。定義:函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時(shí)變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù),記作或,即注：第20頁/共54頁第二十頁，共55頁。設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則＝(

)A．f′(x0)

B．f′(－x0)C．－f′(x0)D．－f(－x0)C例第21頁/共54頁第二十一頁，共55頁。跟蹤訓(xùn)練1.第22頁/共54頁第二十二頁，共55頁。2．設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f′(x0)相等的是(

)B第23頁/共54頁第二十三頁，共55頁。由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:求函數(shù)的改變量2.求平均變化率3.求值一差、二比、三極限第24頁/共54頁第二十四頁，共55頁。例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度.典例分析第25頁/共54頁第二十五頁，共55頁。第26頁/共54頁第二十六頁，共55頁。第27頁/共54頁第二十七頁，共55頁。小結(jié)由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1）求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2)求平均變化率（3）求極限第28頁/共54頁第二十八頁，共55頁。想一想1.(1)x0＋Δx一定比x0大嗎？(2)導(dǎo)數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率一定存在嗎？(3)導(dǎo)數(shù)y＝f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率一定存在嗎？提示：(1)不一定．Δx是一個(gè)相對于x的變化量，可正可負(fù),但不能為0.(2)一定存在．因?yàn)閤1，x2屬于導(dǎo)數(shù)的定義域且x1≠x2.(3)不一定．當(dāng)且僅當(dāng)y＝f(x)在x0到x0＋Δx的平均變化率的極限存在時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率存在．第29頁/共54頁第二十九頁，共55頁。1.1變化率與導(dǎo)數(shù)1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義第30頁/共54頁第三十頁，共55頁。第31頁/共54頁第三十一頁，共55頁。探究：βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點(diǎn),Q(x0+Δx,y0+Δy)為P鄰近一點(diǎn),PQ為C的割線,PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的傾斜角.斜率!第32頁/共54頁第三十二頁，共55頁。PQoxyy=f(x)割線切線T請看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí),割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況.第33頁/共54頁第三十三頁，共55頁。我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PQ有一個(gè)確定位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:

這個(gè)概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).切線定義：第34頁/共54頁第三十四頁，共55頁。要注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);

要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),

可以有多個(gè),甚至可以無窮多個(gè).PQoxyy=f(x)割線切線T切線定義解析：第35頁/共54頁第三十五頁，共55頁。導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率.即:故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程是:第36頁/共54頁第三十六頁，共55頁。第37頁/共54頁第三十七頁，共55頁。第38頁/共54頁第三十八頁，共55頁。在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)．函數(shù)導(dǎo)函數(shù)由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),f’(x0)是一個(gè)確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).即:第39頁/共54頁第三十九頁，共55頁。例1第40頁/共54頁第四十頁，共55頁。第41頁/共54頁第四十一頁，共55頁。第42頁/共54頁第四十二頁，共55頁。跟蹤訓(xùn)練求曲線f(x)＝x2＋2x－1在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線方程.第43頁/共54頁第四十三頁，共55頁。例2第44頁/共54頁第四十四頁，共55頁。第45頁/共54頁第四十五頁，共55頁?！久麕燑c(diǎn)評(píng)】求切點(diǎn)坐標(biāo)可以按以下步驟進(jìn)行：(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)．第46頁/共54頁第四十六頁，共55頁。第47頁/共54頁第四十七頁，共55頁。精彩推薦典例展示易錯(cuò)警示求曲線的切線方程中“過”“在”不分致誤過點(diǎn)P(1,1)作曲線y＝x3的切線，求此切線方程．【常見錯(cuò)誤】

由于P(1,1)在曲線y＝x3上，認(rèn)為切點(diǎn)是(1,1)從而得切線方程為3x－y－2＝0.而忽略過P(1,1)的切線與曲線還有其他切點(diǎn)．例3題型三求曲線過某點(diǎn)的切線方程第48頁/共54頁第四十八頁，共55頁。第49頁/共54頁第四十九頁，共55頁。【防范措施】關(guān)于求切線問題有兩類：一是求在某點(diǎn)處的切線，此點(diǎn)就是切點(diǎn)；二是求過某點(diǎn)的切線，此類問題不論這個(gè)點(diǎn)是否在曲線上，這個(gè)點(diǎn)都不一定是切點(diǎn)，一般要設(shè)出切點(diǎn)求解．第50頁/共54頁第五十頁，共55頁。名師點(diǎn)評(píng)：第51頁/共54頁第五十一頁，共55頁。第52頁/共54頁第五十二頁，共55頁。第53頁/共5