第62練直線與圓綜合練訓練目標(1)直線與圓的位置關系的判斷與應用；(2)訓練解題步驟的標準性．訓練題型(1)求圓的方程；(2)切線問題、弦長問題；(3)直線與圓的位置關系的應用．解題策略利用直線與圓的位置關系的幾何意義、弦長公式及弦心距、半徑、弦長的一半之間的關系，列方程或不等式.一、選擇題1．過點P(2,3)向圓x2＋y2＝1作兩條切線PA，PB，那么弦AB所在直線的方程為()A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝02．圓x2＋y2－2x＋my－4＝0上兩點M，N關于直線2x＋y＝0對稱，那么圓的半徑為()A．9 B．3C．2eq\r(3) D．23．圓x2＋y2＝4，過點P(0，eq\r(3))的直線l交該圓于A，B兩點，O為坐標原點，那么△OAB的面積的最大值是()A.eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．44．直線l：x－eq\r(3)y＋2＝0與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點，那么eq\o(AB,\s\up6(→))在x軸正方向上投影的絕對值為()A．1 B．2C．3 D．45．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，那么四邊形ABCD的面積為()A．5eq\r(2) B．10eq\r(2)C．15eq\r(2) D．20eq\r(2)6．點M(－2,0)，N(2,0)，假設圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r>0)上存在點P(不同于M，N)，使得PM⊥PN，那么實數(shù)r的取值范圍是()A．(1,5) B．[1,5]C．(1,3] D．[1,3]7．(2023·西安西北工業(yè)大學附中訓練)直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)與圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置關系是A．相切 B．相交C．相離 D．不確定8．假設圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同的點到直線l：ax＋by＝0的距離為2eq\r(2)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))二、填空題9．圓C的方程為x2＋y2－2y－3＝0，過點P(－1,2)的直線l與圓C交于A，B兩點，假設使|AB|最小，那么直線l的方程是________________．10．直線ax＋y－1＝0與圓C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B兩點，且△ABC為等腰直角三角形，那么實數(shù)a的值為________．三、解答題11．如下圖，在平面直角坐標系xOy中，平行于x軸且過點A(3eq\r(3)，2)的入射光線l1被直線l：y＝eq\f(\r(3),3)x反射，反射光線l2交y軸于B點，圓C過點A且與l1，l2都相切．(1)求l2所在直線的方程和圓C的方程；(2)設P，Q分別是直線l和圓C上的動點，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時點P的坐標．答案精析1．B[以PO為直徑的圓(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(13,4)與圓x2＋y2＝1的公共弦即為所求，直線方程為2x＋3y－1＝0.]2．B[由題意知，圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(m,2)))在直線2x＋y＝0上，∴2－eq\f(1,2)m＝0，解得m＝4，∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓的半徑為3.]3．B[當直線l的斜率不存在時，不符合題意，當直線l的斜率存在時，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－d2)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\r(4－d2)·d＝eq\r(?4－d2?d2)≤eq\f(4－d2＋d2,2)＝2，當且僅當4－d2＝d2，即d＝eq\r(2)時等號成立，所以△OAB面積的最大值是2.]4．C[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up6(→))在x軸正方向上投影的絕對值為|x2－x1|.聯(lián)立直線和圓的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋2＝0，,x2＋y2＝4，))消去y得x2＋x－2＝0，解得兩根為－2，1，故|x2－x1|＝3.]5．B[圓的方程化為標準形式為(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圓的性質(zhì)可知最長弦AC＝2eq\r(10)，最短弦BD恰以E(0,1)為中點，設點F為其圓心，坐標為(1,3)，故EF＝eq\r(5).∴BD＝2eq\r(10－(\r(5))2)＝2eq\r(5)，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝10eq\r(2).]6．A[依題意得以AB為直徑的圓和圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r>0)有交點，圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0化為標準方程得(x－3)2＋y2＝r2.兩圓相切時不滿足條件，故兩圓相交，而以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝4，兩圓的圓心距為3，故|r－2|<3<r＋2，解得1<r<5，應選A.]7．B[圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9，表示以C(1，－1)為圓心、3為半徑的圓．圓心到直線的距離d＝eq\f(|(a＋1)－(a－1)＋2a|,\r((a＋1)2＋(a－1)2))＝eq\f(|2a＋2|,\r(2a2＋2)).9－d2＝9－eq\f(4a2＋8a＋4,2a2＋2)＝eq\f(7a2－4a＋7,a2＋1)，而方程7a2－4a＋7＝Δ＝16－196＝－180<0，故有9>d2，即d<3，故直線和圓相交．]8．B[由x2＋y2－4x－4y－10＝0，得(x－2)2＋(y－2)2＝18，所以r＝3eq\r(2).如圖，假設圓O′上至少有三個不同的點到直線l的距離為2eq\r(2)，那么需要直線l在如圖中的l1和l2之間(包括l1和l2)，l1和l2為臨界位置，此時圓心O′(2,2)到直線l：ax＋by＝0的距離為d＝eq\r(2)，從而易求l1的傾斜角為eq\f(π,12)，l2的傾斜角為eq\f(5π,12)，所以直線l的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5π,12))).]9．x－y＋3＝0解析易知點P在圓的內(nèi)部，根據(jù)圓的性質(zhì)，假設使|AB|最小，那么AB⊥CP，因為圓心C(0,1)，所以kCP＝eq\f(2－1,－1－0)＝－1，kl＝1，因此直線l的方程為y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.10．±1解析因為△ABC是等腰直角三角形，所以圓心C(1，－a)到直線ax＋y－1＝0的距離d＝rsin45°＝eq\f(\r(2),2)，即d＝eq\f(1,\r(a2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝±1.11．解(1)易知直線l1：y＝2，設l1交l于點D，那么D(2eq\r(3)，2)，因為直線l的斜率為eq\f(\r(3),3)，所以l的傾斜角為30°，所以l2的傾斜角為60°，所以k2＝eq\r(3)，所以反射光線l2所在的直線方程為y－2＝eq\r(3)(x－2eq\r(3))，即eq\r(3)x－y－4＝0.由題意，知圓C與l1切于點A，設圓心C的坐標為(a，b)，因為圓心C在過點D且與l垂直的直線上，所以b＝－eq\r(3)a＋8，①又圓心C在過點A且與l1垂直的直線上，所以a＝3eq\r(3)，②由①②得a＝3eq\r(3)，b＝－1，故圓C的半徑r＝3，故所求圓C的方程為(x－3eq\r(3))2＋(y＋1)2＝9.綜上，l2所在直線的方程為eq\r(3)x－y－4＝0，圓C的方程為(x－3eq\r(3))2＋(y＋1)2＝9.(2)設點B(0，－4)關于l對稱的點為B′(x0，y0)，即eq\f(y0－4,2)＝eq\f(\r(3),3)·eq\f(x0,2)，且eq\f(y0＋4,x0)＝－eq\r(3)，解得x0＝－2eq\r(3)，y0＝2，故B′(－2eq\r(3)，2)．由題意易知，當B′，P，Q三點共線時，|PB|＋|PQ|最小，故|PB|＋|PQ|的最小值為|B′C|－3＝eq\r((－2\r(3)－3\r(3))2＋(2＋1)2)－3＝2eq