2022福建省莆田市秋蘆中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則角為A．B．C．D．參考答案：A略2.若集合A={－1,0,1,2}，B={1,2,3}，則A∩B＝A.{－1,0,1,2,3} B.{－1,3} C.{1,2} D.{3}參考答案：C3.如圖葉莖圖記錄了甲、乙兩組各6名學(xué)生在一次數(shù)字測(cè)試中的成績(jī)（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為84，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則x，y的值分別為（）A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5參考答案：A【考點(diǎn)】莖葉圖．【分析】由莖葉圖中甲組的數(shù)據(jù)，根據(jù)它們的眾數(shù)，求出x的值，得出甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，再求乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即得y的值．【解答】解：根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)知，甲組數(shù)據(jù)是72，79，84，（80+x），94，97，它們的眾數(shù)是84，∴x=4；∴甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是84，∴乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為84即×（76+76+85+80+y+88+94）=84，解得y=5；∴x、y的值分別為4、5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，求出它們的平均數(shù)與中位數(shù)，從而求出x、y的值．4.如圖所示，在正方體中，已知分別是和的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.在等差數(shù)列{an}中，a1=4，且a1，a5，a13成等比數(shù)列，則{an}的通項(xiàng)公式為（）A．a(chǎn)n=3n+1B．a(chǎn)n=n+3C．a(chǎn)n=3n+1或an=4D．a(chǎn)n=n+3或an=4參考答案：D略6.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.在等差數(shù)列中，且，則使前項(xiàng)和取最小值的等于（

）(A)

5

(B)

6

(C)

7

(D)

8參考答案：B略8.已知數(shù)列滿足：，，（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A．

B．

C．

D． 參考答案：C略9.設(shè)x，y滿足約束條件，且的最小值為7，則a=（

）A．－5

B．3

C.－5或3

D．5或－3參考答案：B根據(jù)題中約束條件可畫出可行域如下圖所示，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為：，又由題中可知，當(dāng)時(shí)，z有最小值：，則，解得：;當(dāng)時(shí)，z無最小值．故選B

10.與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“”的否定是

參考答案：，

略12.

參考答案：13.

若函數(shù)最小正周期為的奇函數(shù)

最小正周期為的偶函數(shù)最小正周期為的偶函數(shù)

最小正周期為的奇函數(shù)參考答案：B14.給出4個(gè)命題：（1）設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為,橢圓上的一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離是,P到一條準(zhǔn)線的距離是則此橢圓的離心率為（2）若橢圓（,且為正的常數(shù)）的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為,則為定值.（3）如果平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到定直線的距離與M到定點(diǎn)F的距離之比大于1，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.（4）過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1、B1，則FA1⊥FB1.其中正確命題的序號(hào)依次是

.（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）參考答案：（2）（4）略15.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M，N分別是棱BC,C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面A1B1C1D1內(nèi)，點(diǎn)Q在線段A1N上，若，則的最小值為▲．參考答案：16.已知向量，若，則______；若則______．參考答案：2

17.拋物線的準(zhǔn)線方程是_______________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（I）求與的關(guān)系式（用表示）；（II）求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅲ)設(shè)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）∵

∴

………2分

由題意得：，即，

…3分

∴且

…4分

令得，∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).

∴，即

故與的關(guān)系式

…5分（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，，由得單調(diào)遞增區(qū)間為：；

由得單調(diào)遞減區(qū)間為：，；②當(dāng)時(shí)，，由得單調(diào)遞增區(qū)間為：；

由得單調(diào)遞減區(qū)間為：，；

……8分(Ⅲ)由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，在上的值域?yàn)?/p>

……………10分易知在上是增函數(shù)在上的值域?yàn)?/p>

…………………11分由于，又因?yàn)橐嬖?，使得成立，所以必須且只須，…?3分解得：所以：的取值范圍為

………14分

略19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF1的周長(zhǎng)為8，且△AF1F2的面積的最大時(shí)，△AF1F2為正三角形．（1）求橢圓C的方程；（2）若是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)的弦，MN∥AB，求證：為定值．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）運(yùn)用橢圓的定義，可得4a=8，解得a=2，再由橢圓的對(duì)稱性可得a=2c，求得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）討論直線l的斜率不存在，求得方程和AB，MN的長(zhǎng)，即可得到所求值；討論直線l的斜率存在，設(shè)為y=k（x﹣1），聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，設(shè)MN的方程為y=kx，代入橢圓方程，求得MN的長(zhǎng)，即可得到所求定值．【解答】解：（1）由已知A，B在橢圓上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，又△ABF1的周長(zhǎng)為8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，由橢圓的對(duì)稱性可得，△AF1F2為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)A為橢圓短軸頂點(diǎn)，則a=2c，即c=1，b2=a2﹣c2=3，則橢圓C的方程為+=1；（2）證明：若直線l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2，可得=4；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=k（x﹣1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），代入橢圓方程+=1，可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，有x1+x2=，x1x2=，|AB|=?=，由y=kx代入橢圓方程，可得x=±，|MN|=2?=4，即有=4．綜上可得為定值4．20.已知函數(shù)f（x）=x2－4，設(shè)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1,0）（n∈N+），其中xn為正實(shí)數(shù).（1）用xn表示xn+1；（2）若x1=4，記an=lg，證明數(shù)列｛an｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式；（3）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明Tn<3.參考答案：（1）由題可得．------1’所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：．即．----2’令，得．----3’即．顯然，-------4’∴．----5’（2）由，知，’同理．----6’故．-----7’從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列．---8’故．即．----9’從而,所以.----10’（3）由（Ⅱ）知，∴∴

---11’當(dāng)時(shí)，顯然．-------12’當(dāng)時(shí)，-----13’∴．綜上，．--------14’21.已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且滿足a3?a5=16，a2+a6=10．（Ⅰ）若{an}是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（Ⅱ）若{an}是等比數(shù)列，若bn=，求數(shù)列{bn}的前7項(xiàng)的積T7．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）由題設(shè)知：a2+a6=10=a3+a5，a3?a5=16，由a3，a5是方程x2﹣10x+16=0的兩根，且a3＜a5，解得a3，a5，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．（II）利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由題設(shè)知：a2+a6=10=a3+a5，a3?a5=16，∴a3，a5是方程x2﹣10x+16=0的兩根，且a3＜a5，解得a3=2，a5=8，∴公差為，∴an=3n﹣7；．（Ⅱ）由題設(shè)知：a3?a5=16=a2?a6，0＜a2＜a4＜a6，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．22.已知函數(shù)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，求t的值參考答案：（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極大值是，無極小值.（Ⅱ）1【分析】（Ⅰ）把代入，令，求出極值點(diǎn)，再求出的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)