第一章張量的概念

§1.1引言

什么是張量？這是讀者在開始學(xué)習(xí)本課程時(shí)會(huì)提出的問(wèn)題，現(xiàn)從讀者已有的

力學(xué)知識(shí)出發(fā)，舉例對(duì)這個(gè)問(wèn)題作一些初步的闡述，使讀者對(duì)張量這個(gè)新的概念,

有個(gè)初步的理解。

有三維空間，一個(gè)矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某些參考坐標(biāo)系中，

有三個(gè)分量，這三個(gè)分量的集合，規(guī)定了這個(gè)矢量。當(dāng)坐標(biāo)變化換時(shí)，這些分

量按一定的變換法則變換。

在力學(xué)中還有一些更復(fù)雜的量。例如受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，有9個(gè)應(yīng)

力分量，如以直角坐標(biāo)表示，用矩陣形式列出，則有

(\

0xx(5xy0xz

(\au/)=cyxayyayz

\ozxozyoaJ

這9個(gè)分量的集合，規(guī)定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力張量。當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí),

應(yīng)力張量的分量按…定的變換法則變換，再如，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，具有和應(yīng)力張

量相似的性質(zhì)，稱為應(yīng)變張量。

把上述的力矢量、速度矢量、應(yīng)力張量、應(yīng)變張量等量的性質(zhì)抽象化，撇

開它們所表示的量的物理性質(zhì)，抽出其數(shù)學(xué)上的共性，便得出抽象的張量概念。

所謂張量是一個(gè)物理量或幾何量，它由在某參考坐標(biāo)系中一定數(shù)目的分量的集合

所規(guī)定，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，這些分量按一定的變換法則變換。張量有不同的“階”

和“結(jié)構(gòu)”，這由它們所遵循的不同的變換法則來(lái)區(qū)分。矢量是一階張量；應(yīng)力

張量、應(yīng)變張量是二階張量；還有三階、四階.......等高階張量?？梢钥闯觯?/p>

張量是矢量概念的推廣。關(guān)于張量的嚴(yán)密的解析定義，將在§1.8中討論。

由張量的特性可以看出，它是一種不依賴于特定坐標(biāo)系的表達(dá)物理定律的方

式。采用張量記法表示的方程，在某一坐標(biāo)系中成立，則在容許變換的其它坐標(biāo)

系中也成立，即張量方程具有不變性。這使它特別適合于表達(dá)物理定律，因?yàn)槲?/p>

理定律與人們?yōu)榱嗣枋鏊捎玫淖鴺?biāo)系無(wú)關(guān)。因此，張量分析為人們提供了推

導(dǎo)基本方程的有力工具。止匕外，張量記法簡(jiǎn)潔，是一種非常精煉的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

張量這個(gè)名詞是沃伊特（Voigt）首先提出的，用來(lái)表示晶體的應(yīng)力（張力）

狀態(tài)，可見張量分析與彈性力學(xué)關(guān)系的密切。張量分析在力學(xué)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)

用，是力學(xué)工作者的重要數(shù)學(xué)工具。

§1.2符號(hào)與求和約定

一、指標(biāo)

在張量分析中廣泛運(yùn)用指標(biāo)。幾個(gè)變量的集合X-Xz，...,X.可表示為

x.,i=l,2,3,-,no幾個(gè)變量的集合y',y2,y,,...,y"可表示為丫7=1,2,3,...,11。必須

指出，y',y1..,y”是n個(gè)獨(dú)立變量，而不是變量y的1到n次基。寫在字符右下

角的指標(biāo)，例如x,中的i稱為下標(biāo)。寫在字符右上角的指標(biāo)，例如y，中的j稱

為上標(biāo)。在以后的討論中將說(shuō)明使用上標(biāo)或下標(biāo)的涵義是不同的。

用作上標(biāo)和下標(biāo)的拉丁字母或希臘字母，除非作特別的說(shuō)明，一般取從1

到n的所有整數(shù)，其中n稱為指標(biāo)的范圍。本書采用下述關(guān)于范圍的規(guī)定來(lái)表明

三維空間和二維空間的量的區(qū)別：所有拉丁字母指標(biāo)i、j、k、1、m、…的范圍

是1、2、3；所有希臘字母指標(biāo)a、0、丫、3…的范圍是1、2o例如坐標(biāo)X',指

標(biāo)i=l,2,3的三維空間的坐標(biāo)，坐標(biāo)X"是a=l,2的二維空間的坐標(biāo)。

為了區(qū)別上標(biāo)與系數(shù)乘累，如（X）表示X，的二次方。

二、求和約定

若在一項(xiàng)中，同一指標(biāo)字母在上標(biāo)和下標(biāo)中重復(fù)出現(xiàn)，則表示要對(duì)這個(gè)指標(biāo)遍歷

其范圍1,2,3,…,n求和。這是一約定，稱為求和約定。例如三維空間的平面方程

為

a,z+a,z'+a,z'=p(1.2-1)

式中a,p是常數(shù)。這方程可寫成

3

Za,z'=p(1.2-2)

i=I

應(yīng)用求和約定，則這個(gè)方程可寫成如下形式

a,z=p(1.2-3)

遍歷指標(biāo)范圍求和的重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)或跑標(biāo)。由于啞指標(biāo)只是表示求和，因

此無(wú)論用哪個(gè)字母作啞指標(biāo)都是一樣的。例如a,z，可以寫成a,z，等。相對(duì)于啞指

標(biāo)（求和指標(biāo)）而言，不求和的指標(biāo)稱自由指標(biāo)。

為了避免混淆，在一項(xiàng)中，同一個(gè)指標(biāo)字母的使用不能超過(guò)兩次。例如不能

把(2)

寫成a,x'aX,而應(yīng)寫成a,ajX'x」。

三、克羅內(nèi)克（Kronecker）符號(hào)3；

克羅內(nèi)克符號(hào)3：的定義是

1?k

J=

z12,

k-^

8,?kc17

o1W

這樣

831

-82:-=

3

-

82o

-=-=3-2--5

8—

3

5:3-:8'、

-3;一.

克羅內(nèi)克符號(hào)也可寫成久或3L

下面舉例說(shuō)明克羅內(nèi)克符號(hào)的應(yīng)用。例如空間直角坐標(biāo)系中，分量為

dz'Sz'dz'的線元長(zhǎng)度的平方為

ds2=(dz')2+(dz2)2+(dz5)2(1.2-6)

應(yīng)用克羅內(nèi)克符號(hào)，上式可寫成

ds2=S^dz,dz1(1.2-7)

應(yīng)當(dāng)注意，上式中有二重求和，一個(gè)是遍歷指標(biāo)i的范圍，另一個(gè)是遍歷指標(biāo)j

的范圍。

克羅內(nèi)克符號(hào)有一些明顯的性質(zhì)，如=A=窘=3；等。

四、置換符號(hào)

置換符號(hào)e,"=M定義為

,1當(dāng)i,j,k是1,2,3的偶置換偶123,231,312)

i,k

euk=e=<-1當(dāng)i,j,k是1,2,3的奇置換奇213,132,321)(1.2-8)

0當(dāng)i,j,k的的任意二個(gè)指標(biāo)的

i,j,k的這些排列分別叫做循環(huán)排、逆循環(huán)排列和非循環(huán)排列。

置換符號(hào)也稱為里奇(Ricci)符號(hào)，它只是一個(gè)指標(biāo)符號(hào)，可用來(lái)展開三

階行列式。令

a,a,a3

a=a；a；a"=a；a；a；+a：a：a；+a：a；a；-a'a^a,-a：a；a；-a：a：a；

a：a；a；

若以a；表示行列式中的普遍項(xiàng)，以同|表示行列式，則上述行列式可寫成

a=|a；|=e"；a；(1.2-9a)

若將上式中各項(xiàng)的下標(biāo)作一置換，例如置換為a；a；a；外這就相當(dāng)于把行列式的兩

列互相交換，因而行列式改變符號(hào)，等于-a,再置換一次，又改變一次符號(hào),

回到+a。這種性質(zhì)可表示成如下的形式：

ae,=ea：a'a1(1.2-9b)

Imnnu1mn

將(1.2-9a)與(1.2-9)式結(jié)合，則

la1Ie,=ea'asa'(1.2-9c)

jlinnrst1mn

同理可以得到

1c.iIcInin_rst?I~m?n

aje=earasa,(1.2-9d)

五、克羅內(nèi)克符號(hào)與置換符號(hào)的關(guān)系

克羅內(nèi)克符號(hào)與置換符號(hào)之間存在一定的關(guān)系。今討論如下:

9個(gè)量3；作為單位矩陣的元素，它們的行列式等于lo

818I

23

5'—

8282

2-

|8|23

33

可88

23

若用更普遍的形式表示上面的行列式，則仃

8r

r

m

8—

A-8s8s

mn

a8t8t

mn

上式中若r,s,t=l,m,n=l,2,3』UA=1。由于這些排列中的任-置換都改變行列式

的符號(hào)，所以行列式A為

5nr

8:—

A8s8s

==erste

18—:mn

8t

5'—l

m5c

展開上述行列式，得

ers'e,-5；5S8'+5r5；5'-5r5s8'+5r5S5'-8r(1.2-10)

Imn1mmInmn1tnninImnImln

使上式中的一下標(biāo)和一個(gè)上標(biāo)相等，并利用關(guān)系式3；3；=或，可從上式導(dǎo)出下面

的關(guān)系式，稱為e-3等，

eMe=8r(8s5,-S'S1)+8r(5s5,-5s8')+8r(8s5'-5S5')

nnnrVmnnmnxrmmt/m\nrrn/

(1.2-11)

=8S5'-5s5'

mnnm

e's,e=38'-8S6'=28'(1.2-12)

rsnnnsn

e&=23：=6(1.2-13)

利用這些結(jié)果，可以將行列式的展開公式(1.2-9b)化成另一個(gè)很有用的形式。

以e?"乘(L2-9b)式兩邊，得

lmn,'n

ae,Imne=6a=aI；a'ma'nerste"(\1.2-14)，

六、求和約定可以推廣到微分公式

設(shè)f(xlxl..,x")為n個(gè)獨(dú)立變量x1x2,...,x。的函數(shù)，則它的微分可寫成

or,

df=—-dx'(1.2-15)

dx'

在偏微商震中，i被認(rèn)為是下標(biāo)。

dx,

§1.3曲線坐標(biāo)

設(shè)z'(k=l,2,3)是點(diǎn)p⑵的直角坐標(biāo)。若三個(gè)函數(shù)

xk=xk(z',z2,z')(k=l,2,3)(1.3-1)

在區(qū)域R中有唯一的逆函數(shù)

z-=zk(x',x\x。(k=l,2,3)(1.3-2)

則點(diǎn)p有曲線坐標(biāo)x"

一般來(lái)說(shuō)，從兒何關(guān)系能寫出(L3-2)式。若〃單值、連續(xù)，有連續(xù)的一階偏

分7k

導(dǎo)數(shù)。且雅可比(jacobi)行列式j(luò)=4在區(qū)域R內(nèi)不等于0,

dx

即

dz'8z'dz'

dx'dx2Sx5

.5zkdz2dz2dz2

w0(在區(qū)域R)(1.3-3)

廠改=dx]5x25x3

az5dz,田

5x*dx25xJ

則(1.3-2)式有惟一的逆函數(shù)(1.3-1)式。對(duì)應(yīng)于x，(z,,z'z')=常數(shù)；

xYz\z2,z3)=常數(shù)；x”,z2,z、)=常數(shù)，方程式(1.3-1)分別給出三個(gè)曲面,

它們相交于P點(diǎn)。這三個(gè)曲面稱為坐標(biāo)曲面。任意兩個(gè)坐標(biāo)曲面的交線定義一坐

標(biāo)曲線。通過(guò)P點(diǎn)有3條不重合的坐標(biāo)曲線。它們給出了點(diǎn)P的曲線坐標(biāo)

(x',x2,x，),如圖1-1所示

圖1-1

在曲線坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置矢量r是曲線坐標(biāo)(x\x'x)的函數(shù)。因?yàn)橛?/p>

圖1-1及(1.3-2)式可知

r(z',z2,z5)=心》，)(1.3-4)

處理彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，由于物體的兒何形狀，對(duì)有些問(wèn)題采用直角坐標(biāo)系并

不適合，而必須采用曲線坐標(biāo)系。最常用的曲線坐標(biāo)系是正交曲線坐標(biāo)系，如圓

柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系等。

例一圓柱坐標(biāo)系(圖1-2)

圖1-2

圓柱坐標(biāo)X，由它們同直角坐標(biāo)7的關(guān)系來(lái)定義。

從幾何關(guān)系可以寫出

Z1=X1COSX2

z2=x1sinx2(1.3-5)

z5=X5

雅可比行列式

cosx2-x'sinx20

j=sinx2x'cosx20=x'

001

除在z’軸上(x1=0)def有j=0外，(1.3-5)式在各處都有惟一的逆變換

x1=J—+(z?)2

7

x2=arctan-(1.3-6)

z.

x3=z3

對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，通常采用下面的坐標(biāo)符號(hào)，

XX?=0X=Z(1.3-7)

這樣，圓柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)面是「=常數(shù)的圓柱面族，0=常數(shù)的半平面族，和z=

常數(shù)的平面族(圖l-2)o

張量分析的中心問(wèn)題是研究坐標(biāo)變換時(shí)張量分量的變換法則。因此張量分析

必然涉及坐標(biāo)變換,尤其是在討論普遍張量時(shí)，必然涉及曲線坐標(biāo)系之間的變換。

獨(dú)立變量x',x\x，的集合可以看作是在某坐標(biāo)系中規(guī)定一點(diǎn)P的坐標(biāo)。將

x'x'x'通過(guò)以下的方程變換成一個(gè)新變量x',x：x’的集合。

x=x(x',x2,x3)(k=l,2,3)(1.3-8)

則上式規(guī)定了一個(gè)坐變換。逆變換

xk=x'(x,x,x)(k=l,2,3)(1.3-9)

按相反的方向進(jìn)行。為了保證這樣一個(gè)變換是可逆的，并且在變量(x',x'x、)的

某個(gè)區(qū)域R內(nèi)是一一對(duì)應(yīng)的，亦即在區(qū)域R中的每個(gè)有序數(shù)集(x、x\xD定義

一個(gè)惟一的有序數(shù)集(x',x：x'),并且反其亦然，其充分條件是：函數(shù)

x7x\x\x、)在區(qū)域R中是單值、連續(xù)，有連續(xù)的?階偏導(dǎo)數(shù)，雅可比行列式

_k

j=吐在區(qū)域R內(nèi)的任意點(diǎn)均不等于0.

dx1

具有上述性質(zhì)的坐標(biāo)變換稱為容許變換。本書以后論及的坐標(biāo)變換都是容許

_k

變換。若雅可比行列式j(luò)=4aY處處為正，則一個(gè)右手坐標(biāo)系變換為另一個(gè)右手

ex'

坐標(biāo)系。

§1.4基矢量

在曲線坐標(biāo)系中，空間一點(diǎn)P的位置矢量r是曲線坐標(biāo)大的函數(shù)［(1.3-4)式］。

若曲線坐標(biāo)尤有微小增量dx1則位置矢量r有增量dr。由(1.3-4)式，位置矢

量r的微分dr為

dr=—dxk(1.4-1)

dx

空間一點(diǎn)P的位置矢量可用直角坐標(biāo)表示為

r=zji.(1.4-2)

式中i,為沿坐標(biāo)軸內(nèi)方向的單位矢量（圖1-1）,也稱為直角坐標(biāo)系的基矢量。應(yīng)

用（1.3-2）式及（1.4-2）式,可得

(1.4-3)

5xk5zj5xk5xk1

上式表明，②是單位矢量i,的線性組合，因此之也是矢量，由（141）式可

知W?表征當(dāng)大變化時(shí)位置矢量r的變化，因此真的方向是沿坐標(biāo)曲線Xk的切

6xk5xk

線方向。矢量真可以取作曲線坐標(biāo)系的矢量，以&表示（圖1-1）.這樣，基

dx

矢量區(qū)的定義是

即哈等&=1，2,3）

d-4-4)

由（1.4-1）式可得位置矢量的微分dr為

l

dr=gkdx(1.4-5)

必須注意：在曲線坐標(biāo)系中，對(duì)于空間的每一點(diǎn)，都有三個(gè)基矢量反。基

矢量&一般不是單位矢量，彼此也不正交；基矢量可以有量綱，但一點(diǎn)的三個(gè)

基矢量的量綱可以不同；基矢量不是常矢量，它們的大小和方向依賴于它們所在

點(diǎn)的坐標(biāo)?；噶繀^(qū)線性無(wú)關(guān)，它們不共面，三個(gè)基矢量&構(gòu)成了一個(gè)局部的

參照標(biāo)架（局部的斜角直線坐標(biāo)）。作用在一點(diǎn)的任意矢量，可以沿&的方向按

平行四邊形法則分解：

k

V=ugk（1.4-6）

若坐標(biāo)系/變換成另一新坐標(biāo)系

x'=x'(x',x\x")(k=l,2,3)(1.4-7)

其逆變換為

xk=xk(x,x,x)(k=l,2,3)

則在新坐標(biāo)系?中，基矢量區(qū)為

drdrdx'dx'

(1.4-8)

gk=~=r~-g,-=r

dx改dxdx

由此可知，若坐標(biāo)系由大變化為f［（1.4-7）式］,則基矢量區(qū)按變換法則（1.4-8）

式變換?；噶繀^(qū)也稱為協(xié)變基矢量，這一點(diǎn)將在§1.6中說(shuō)明。

§1.5基本量度張量

對(duì)于任何坐標(biāo)系，必須首先在該坐標(biāo)中如何度量長(zhǎng)度。設(shè)在曲線坐標(biāo)系中有

線元dr,由(1.4-5)式，dr與其自身的點(diǎn)積就是線元長(zhǎng)度的平方。即

:km

ds=dr?dr=g^dx*?g^dx"=gk-gmdxdx

今定義

gkm=gtg?,(L5-D

2km

則ds=gkl?dxdx(1.5-2)

函數(shù)gm(L5-l)稱為坐標(biāo)系x'的基本度量張度。由此式可知，在三維空間，基本

度量張度gw有9個(gè)分量。

將(1.4-4)式代入(1.5-1)式，可得

根據(jù)基本度量張度的定義［(1.5-1)式］,由標(biāo)積的可交換性可知

=gmk(L5-4)

即基本量度張量孔的指標(biāo)k各m可以交換。

在§1.4中已指出，在曲線坐標(biāo)系中，基矢量a不是單位矢量。由(1.5-1)

可知，基矢量的大小可由基本度量張量表示為

|gj=(g「gj”=7i7(L5-5)

上式中，拉表示對(duì)k不求和。書中以后出現(xiàn)這種符號(hào)，均與此同。

若坐標(biāo)系大變換為另一個(gè)新坐標(biāo)系f,變換方程為

xk=xk(x',x2,x3)(k=l,2,3)(1.5-6)

其逆變換為

xk=xk(x',x；x')(k=l,2,3)

則

,dxk

dxk=^^dx(1.5-7)

Sx

由(1.5-2)式,得

,,axkaxm-

ds=g,dxdx(1.5-8)

dxdx

若定義

-_3xk5xm

gin—&km?-I-n(1.5-9)

dxdx

貝U(1.5-8)式可寫成

——I—n

_

ds=glndxdx(1.5-10)

因(1.5-10)式與(1.5-2)式取同樣形式，或稱為坐標(biāo)系F的度量張量。

二次微分形式(1.5-2)式和(1.5-10)式極為重要，它定義了在一般曲線坐

標(biāo)系中線元長(zhǎng)度的平方。

坐標(biāo)變換時(shí)，一個(gè)量的分量的變換法則是該量的重要性質(zhì)。由(1.5-9)式可

知，若曲線坐標(biāo)系x”變換為另一個(gè)曲線坐標(biāo)系F[(L5-6)式],則度量張量

按(1.5-9)式所表示的特定的變換法則變換。

gm之所以稱為度量張量，一方面是因?yàn)樗攘靠臻g線元長(zhǎng)度的平方(所以

稱為“度量”)；另一方面是因?yàn)楫?dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，它按照(1.5-9)式這一特定的變

換法則變換，這是張量的基本特性(所以它是張量)，因此&，“稱為度量張量。這

是一個(gè)非常重要的基本張量，所以又稱為基本度量張量。關(guān)于張量的基本特性，

將在§1.8討論。

由(1.5-1)式可以看出，在直角坐標(biāo)系中&.=3如,即在直角坐標(biāo)系中，基本

度量張量是常數(shù)。

基本度量張量描述空間的性質(zhì)。如果有可能通過(guò)坐標(biāo)變換引入一個(gè)坐標(biāo)系，

使得在該坐標(biāo)系中g(shù),等于常數(shù)，則這個(gè)空間是“歐兒里得(Euclid)空間”。如

果不可能引入這樣的坐標(biāo)系，則是“非歐幾里得空間”。在§3.8中將進(jìn)一步討論

這個(gè)問(wèn)題。

§1.6對(duì)偶基矢量、相伴度量張量

一、對(duì)偶基矢量

對(duì)偶基矢量g"由下面的方程式定義

g'gs=5：（L6-1）

由以上定義可以看出：在一般曲線坐標(biāo)系中，對(duì)偶基矢量g的方向與rws的

諸基矢量g,垂直；在三維空間中，g',g\g、分別垂直于區(qū)、g,,g、、g,及g-g2所

在的平面。g，的大小滿足g：g,=l（r=s）。

對(duì)偶基矢量g'作為一個(gè)矢量，可以沿基矢量g.的方向分解為

g'=g"g,（1.6-2）

式中g(shù)”是對(duì)偶基矢量在民方向的分量，共有9個(gè)。為求g”，將（1.6-2）式兩邊

點(diǎn)乘g、得

g'-g'=g"g「g'=g'@=g"

即

grs=gr-gs（1-6-3）

上式可作為g”的定義。該式與（1.5-1）式對(duì)應(yīng)，因此，g”稱為相伴度量張量。

由于矢量的點(diǎn)積適合交換律，由（L6-3）式可知，g”的指標(biāo)r,s可以交換，即

g、=g"（l-6-3a）

與基矢量g,一樣，對(duì)偶基矢量g一般不是單位矢量，它的大小由下式計(jì)算:

g|=（g',g'A=招7（r不求和）（1.6-4）

一點(diǎn)的三個(gè)對(duì)偶基矢量g構(gòu)成一個(gè)局部的參照標(biāo)架，作用在該點(diǎn)的任何矢量

可以沿g’的方向分解。對(duì)偶基矢量g'也稱為逆變基矢量。

二、相伴度量張量

在討論對(duì)偶基矢量過(guò)程中，引進(jìn)了相伴度量張量g”（1.6-3）式］,它也稱為共

纏度張量。

下面先討論相伴度量張量與基本度量張量的關(guān)系。將（1.6-2）式代入（1.6-1）

式，貝U

g""ge?&=3：

即

gk=5：(1.6-5)

利用上式，可推導(dǎo)出計(jì)算g、的公式，對(duì)于一個(gè)固定的r值和s=l,2,3,上式給出

以下三個(gè)分量方程：

g“g"+gH+g"g"=3；

，：

g2,g"+g2；g+g?g''=①

，：，!

g?g"+g!2g+g.,,g=8；

若g..已知，則對(duì)于r=1,2,3,可以從上面方程解出g"”。根據(jù)克拉默(Cramer)法

則，可推導(dǎo)出計(jì)算g"的公式如下(更換了指標(biāo))，

Dcs

g"=—(1.6-6)

g

式中

gllSl2g|3

g=|gj=§21§22§23(L6-7)

gjl§32§33

D=|gj中元素g.的代數(shù)余子式

在張量分析中，g“的重要性和g”一樣。

m

將(1.6-2)式左右兩邊均乘以g.,即g'g.=ggmg?，則g'g.=5；gm=gs，更換

指標(biāo)，可得

g,=g“g*(1-6-8)

(1.6-2)式和(1.6-8)式給出了基矢量和對(duì)偶基矢量之間極為重要的關(guān)系：

g'=g"g.(1-6-2)

g,=g總(1.6-8)

這表示基矢量gr和對(duì)偶基矢量g'之間，通過(guò)度量張量和相伴度量張量，可以提

升或下降指標(biāo)，使gr和g'互相變換。

三、矢量的逆變分量和協(xié)變分量

前面已經(jīng)指出［見(1.4-6式)］，任可一個(gè)矢量V可以用它沿基矢量8,方向的分

量來(lái)表示，

V=vg(1.6-9)

利用(1.6-8)式，則上式可表示為

V=v'g,=v、g'(1.6-10)

式中

s

vs=g,v(1.6-11)

同樣可得

v'=g"v.(1.6-12)

(1.6-10)式表明矢量V也可以用它沿逆變基矢量g，方向的分量表示。V，稱為矢量

V的逆變分量；v，g,是矢量V在協(xié)變基矢量g,方向的分矢量；v.稱為矢量V的

協(xié)變分量，vg是矢量V在逆變基矢量g,方向的分矢量。

將g’點(diǎn)秉(1.6-9)式兩邊，將g,點(diǎn)乘(1.6-10)式的左邊和第二個(gè)等號(hào)的右

邊，可分別得到如下的兩個(gè)重要關(guān)系式：

vs=V-gs(1.6-13)

v,=Vg(1.6-14)

這表示矢量的逆變分量和協(xié)變分量的大小等于矢量和相應(yīng)的基矢量的點(diǎn)積。利用

這兩個(gè)等式，則(1.6-9)式和(1.6-10)的第二式可寫成

V=(Vg1)gr(1.6-15)

s

V=(Vgs)g(1.6-16)

在曲線坐標(biāo)系中，g,和g‘不是常矢量，它們依賴于點(diǎn)的坐標(biāo)。所以在曲線

坐標(biāo)系中，若用分量表示一個(gè)矢量［(1.6-10)式］，則必須選擇一個(gè)確定點(diǎn)，即

矢量的作用點(diǎn)，基矢量就取自這點(diǎn)，(圖1-3)表示二維空間曲線坐標(biāo)系的基矢量、

對(duì)偶基矢量和任一矢量V的逆變分量和協(xié)變分量。

在直角坐標(biāo)系中，g,和g’的方向重合，因此，矢量的逆變分量和協(xié)變分量

的差別消失。

由以上的討論可以看出V和匕是同一矢量V分解為分量的兩種不同的方

式，或者說(shuō)是同一矢量V的兩種不同的張量表達(dá)式。這是曲線坐標(biāo)系的特點(diǎn),

必須很好地理解。

圖1-3

方程(1.6-12)和(1.6-11)式建立了矢量分量的指標(biāo)提升(由下標(biāo)提升為

上標(biāo)，即由協(xié)變分量變換為逆變分量)和指標(biāo)下降(由上標(biāo)降為下標(biāo)，即由逆變

分量變換為協(xié)變分量)的方法。

四、對(duì)偶基矢量、相伴度量張量的變換法則

設(shè)坐標(biāo)系大變換到另一個(gè)坐標(biāo)系變換方程為

xk=xk(x',x2,x3)k=l,2,3)(1.6-17)

則

蘇卜

dxl=—dx1(1.6-18)

ax,

將(1.4-5)式兩邊點(diǎn)秉片，更換啞指標(biāo)，可得

dr-gk=(g,-gk)dxl

應(yīng)用(1.6-13)式，上式成為

kk

dx=(g|-g)dx'(1.6-19)

將(1.6-18)式與上式比較，可得

,3xk

g「gk=亍

片是個(gè)矢量，應(yīng)用(1.6-16)式及上式，可得

(1.6-20)

這便是坐標(biāo)按(1.6-17)式變換時(shí)，逆變基矢量g'的變換法則。

應(yīng)用(1.6-3)式及(1.6-20)式，可推導(dǎo)出相伴度量張量在坐標(biāo)變換(1.6-17)式時(shí)

的變換法則：

(1.6-21)

dx'dx"dx'Sx"

應(yīng)當(dāng)注意基矢量區(qū)的變換法則［(148)式］與對(duì)偶基矢量+的變換法則

［(1.6-20)式］的差別。當(dāng)坐標(biāo)系U變換到M［(1.6-17)式］時(shí)，基矢量的變換系數(shù)是

與［(1.4-8)式］，它被認(rèn)為是正變換系數(shù),因此基矢量也稱為協(xié)變基矢量;而對(duì)偶基

OX

矢量的變換系數(shù)工［(1.6-20)式］則被認(rèn)為是逆變換系數(shù)，因此對(duì)偶基矢量也稱為

8x

逆變基矢量。

同樣應(yīng)當(dāng)注意基本度量張量am的變換法則［(1.5-9)式］和相伴度量張量。的

變換法則［(L6-21)式］的差別。

§1.7正交曲線坐標(biāo)系列

一、正交曲線坐標(biāo)系

若曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)曲線相互正交，則稱為正交曲線坐標(biāo)系。在正交曲線

坐標(biāo)系中，基矢量相互正交，但不一定是單位矢量，同一點(diǎn)的各基矢量可以有不

同的量綱。對(duì)偶基矢量與基矢量的方向相同，但大小不相等。基本度量張量是

J(H)(i=j)，

g=<(11.77-1n)

'(iwj)

系數(shù)H,稱為拉梅(Lame)系數(shù)，或度量系數(shù)，或比例因子。由(1.6-7)式在正

交曲線坐標(biāo)系中

g=g“g“g"=(H,H,H)(1.7-2)

相伴度量張量由以下關(guān)系式計(jì)算：

gy=—=—(i不求和)(1.7-3)

g,,(H,r

g，j=0(的)(1.7-4)

對(duì)偶基矢量為

k

g=gagk(k不求和)(1.7-5)

在正交曲線坐標(biāo)系中，常采用單位基矢量e,

e,=g,/|g,l=g,/H,(i不求和)(1.7-6)

這樣，在正交曲線坐標(biāo)系中，采用單位基矢量e,時(shí)，矢量的協(xié)變分量和逆變分量

的差別消失。在彈性力學(xué)中最常用的正交曲線坐標(biāo)系是圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系和

平面極坐標(biāo)系。下面分別將它們的基矢量、基本度量張量、相伴度量張量和對(duì)偶

基矢量列出。

二、圓柱坐標(biāo)系(圖1-4)

由§1.3例1得

Z1=X1COSX2

z2=x1sinx2

z3=x3

x,=J(z)+(z)

2

2Z

x'=arctan—

z1

x3=z3

圖1-4

基矢量：由(1.4-4)式，得

22

g,=(cosx)if+(sinx)iIg,1-1

g,=(-x'sinx:)i,+(x'cosx:)i,|g,|=x'

g,=Llgj=l(1.7-7)

基本度量張量：由(1.5-3)式得

,dz'2/&'、,

oxoxdx

=(cosx2丫+(sinx2)2=1

gL(勖+(a+嗡y

=(-x1sinx2)2+(x'cosx2)2=(x1)2

,dzl5z2dz3

g”=G2+(-)2-+(7T)2=1(1.7-8)

dxdxdx

g12=g4=g"°

100

g=o(x1)20=(x')2(1.7-9)

001

相伴度量張量：由(1.6-6)式得

g"=1,g22=l/(x')\g53=l(1.7-10)

g-=o

對(duì)偶基矢量：由(1.6-2)式得

g'=g,，|g'|=l

22：

g=g2/(x'),|g|=l/x'(1.7-H)

g'=g,=|g'|=l

三、球坐標(biāo)系(圖1-5)

z1=xIsi?nx~2cosx3

z2=x1sinx2sinx3(1.7-12)

z3=x1cosx2

x'=7(z，)2+(z2)2+(z3)2

,Z3

x-=arccos—?=(1.7-13)

收)7(z)+(z)

3Z2

x=arctan—

z1

圖1-5

基矢量：由（1.4-4）式得

23232

gi=(sinxconx)i1+(sinxsinx)i2+(cosx)i3,

231232

g2=(x'conxcosx)i,+(xcosxsinx)i2+(-x'sinx)i3,

(1-7-14)

lgj=x1

123123

g3=(-xsinxsinx)il+(xsinxcosx)i2,

|gj=x'sinx，

基本度量張量：由(1.5-3)式得

g?=(sinx2cosx'y+(sinx2sinx3)2+(cosx2)2

=1

12322222

g,2=(xcosxcosx)+(x'cosxsinx')+(-x'sinx)

(x)(1.7-15)

12232

g33=(-xsinxsinx)+(x'sinxcosx)

=(x1sinx2)2

g,2=g、=g?

100

g=0(x1)20=(x')"(sinx?『(1.7-16)

00(x'sinx2)2

相伴度量張量：由(1.6-6)式得

(1.7-17)

g,2=gl5=g2}=0

對(duì)偶基矢量：由(L6-2)式得

g'=g,,|g【=l

222

g=g2/(x'),|g|=l/x](1.7-18)

g'=g,/(x'sinx2y,|g[=1/(x'sinx2)

§1.8張量

一、標(biāo)量、逆變矢量、協(xié)變矢量

在物理量或兒何量中，有一些量與參考坐標(biāo)無(wú)關(guān)，例如質(zhì)量、溫度、長(zhǎng)度

等；另有一些量，它們的分量卻與參考坐標(biāo)的選擇有關(guān)，例如位移、速度等。前

者稱為標(biāo)量，后者稱為矢量。在數(shù)學(xué)上，按照坐標(biāo)作容許變換時(shí)，這些量的分量

所服從的變換法則的不同，而分別給以定義。

設(shè)一個(gè)量的分量在曲線坐標(biāo)系X，中定義，它們是坐標(biāo)x；x\x'的函數(shù)。若

坐標(biāo)系X,作容許變換成另一新坐標(biāo)系友,，X1=x'(x',x2,x5),則口J以定義該量在新

坐標(biāo)系不中的分量，并根據(jù)該量的分量在坐標(biāo)變換時(shí)所遵循的不同的變換法則，

給予該量以不同的名稱。下面定義

(1)標(biāo)量

一個(gè)量被稱為標(biāo)量或絕對(duì)標(biāo)量，若它在坐標(biāo)系X，中只有一個(gè)分量°,在新

坐標(biāo)系資中也只有一個(gè)分量3,并且在兩個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上。。與力的數(shù)值

相等，即

^[x'(x),x2(x),x3(x)],=^(x',x2,x)=^(x',x2,x3)(1.8-1)

標(biāo)量也被稱為o階張量

(2)逆變矢量(一階逆變張量)

一個(gè)量被稱為逆變矢量或一階逆變張量，若它在坐標(biāo)系X，中有三個(gè)分量

A；在坐標(biāo)系F中有三個(gè)分量它們滿足以下的變換法則：

—市i

A'(x)=Ak(x)—(1.8-2)

dx

逆變矢量用上標(biāo)表示，因此上標(biāo)也稱為逆變指標(biāo)。

坐標(biāo)的微分dx，是逆變矢量的一個(gè)典型。因?yàn)榘凑瘴⒎值逆準(zhǔn)椒▌t，在新坐

標(biāo)系中，微分df可按下式計(jì)算

加，

dx'=—dxk(1.8-3)

dxk

可見在坐標(biāo)變換時(shí)，坐標(biāo)微分dx,按(1.8-2)式定義的逆變矢量的變換法則變換。

(3)協(xié)變矢量(一階協(xié)變張量)

一個(gè)量被稱為協(xié)變矢量或一階協(xié)變張量，若它在坐標(biāo)系X，中有三個(gè)分量A；

在坐標(biāo)系尺中有三個(gè)分量工，并且這些分量滿足以下的變換法則：

A,(x)=A、(x)之(1.8-4)

3x

協(xié)變矢量用下標(biāo)表示，因此，下標(biāo)也稱為協(xié)變指標(biāo)。

標(biāo)量。的偏導(dǎo)數(shù)是協(xié)變矢量的例子。因?yàn)樵谛伦鴺?biāo)系M中，標(biāo)量”的偏導(dǎo)數(shù)

為

雪=絲笛(1.8-5)

dx改dx

可見登在坐標(biāo)變換時(shí)，按(1.8-4)式定義的協(xié)變矢量的變換法則變換。

dx

協(xié)變矢量的變換法則［(1.8-4)式］與基矢量的變換法則［(148)式］相同,變換系

數(shù)都是正變換系數(shù)，所以稱為“協(xié)變”。逆變矢量的變換法則［(1.8-2)式］與對(duì)

偶基矢量的變換法則［(1.6-20)式］相同，變換系數(shù)都是逆變換系數(shù)，所以稱為

“逆變”。由此可見，上標(biāo)和下標(biāo)各有其特定的意義。

必須注意，矢量就是矢量，在坐標(biāo)變換時(shí)，矢量本身是不變量。但是矢量的

分量并不是不變量，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，矢量的分量按特定的變換法則變換。逆變矢

量A，和協(xié)變矢量A,并不是兩個(gè)不同的矢量，而是對(duì)同一矢量A的兩種不同的描

述方式；逆變矢量是A'是矢量A的逆變分量，協(xié)變矢量A,是矢量A的協(xié)變分量。

二、二階張量

像三維空間坐標(biāo)系的度量張量g,這樣的量，它有9個(gè)分量。當(dāng)坐標(biāo)系X，變

換為1時(shí);這些分量按特定的法則［(1.5-9)式］變換。類似這樣的量，按照在坐

標(biāo)變換時(shí)它們所遵循的變換法則進(jìn)行定義，并給予不同的名稱。下面定義：

(1)二階逆變張量A。

A\x)=Am"(x)——(1.8-6)

axmax-

(2)二階協(xié)變張量A,

—-A

A，,Z(x)=A.,"/(x)、"",(1.8-7)

dxdx

(3)二階混合張量A；,A：

3M6x“

A'j(x)=A：

aFa?

或(1.8-8)

dx”3f

A'(x)=A；

ax'Sx",

三、高階張量

上面關(guān)于二階張量的定義，可以推廣到高階張量。一個(gè)量被稱為是p階

逆變、q階協(xié)變的r階(r=p+q)張量，若在坐標(biāo)變換時(shí)，它的分量按下式變

換：

.i,_5x3x'dxm'dxm'4

-------...—；-----——...-二—A'(1.8-9)

kk

ax'dx-oxax"'加…

必須注意，指標(biāo)的前后順序不能隨意調(diào)換，在指標(biāo)的空位處應(yīng)當(dāng)用小圓點(diǎn)標(biāo)志，

如((1.8-8)式。(1.8-9)式中，為了因印刷方便，略去了標(biāo)志指標(biāo)前后位置的

小圓點(diǎn)。

四、張量的特性

張量是矢量概念的推廣，根據(jù)以上關(guān)于張量的解析定義，現(xiàn)將張量的特性加

以綜合。

張量由它的分量的集合所規(guī)定。

張量的基本性質(zhì)由坐標(biāo)變換時(shí)張量的分量所遵循的變換法則來(lái)確定，變換法

則與張量表示什么物理量無(wú)關(guān)。

張量的變換法則--(1.8-1)、(1.8-2)、(1.8-4)、(1.8-6)~(1.8-9)式表明

坐標(biāo)系作容許變換時(shí)，張量在新坐標(biāo)系鼠中的每一個(gè)分量是該張量在舊坐標(biāo)系

X，中全部分量的線性組合，變換系數(shù)是齊次的。根據(jù)張量的變換法則的不同來(lái)定

義張量的“階”與“變異”(“結(jié)構(gòu)

張量可分為零階、一階、二階.......張量的階等于變換法則中變換系數(shù)

的維度，也等于張量的指標(biāo)的數(shù)目，在三維空間中,r階張量的分量總數(shù)為

N=3'(1.8-10)

標(biāo)量是零階張量，矢量是一階張量。

按照張量的變異(結(jié)構(gòu))，張量可分為逆變、協(xié)變和混合張量，這由變換法

則中的變換系數(shù)是逆變換系數(shù)會(huì)、正變換系數(shù)洛或兼有二者來(lái)區(qū)別。張量的

aax

變異也由張量的指