1.1.1不等式的基本性質(zhì)1.了解不等關(guān)系與不等式.2.掌握不等式的性質(zhì).3.會(huì)用不等式的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.自學(xué)導(dǎo)引1.對(duì)于任何兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，a>b?a－b>0；a<b?a－b<0；a＝b?a－b＝0.2.不等式有如下8條性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：a>b?b<a；(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c；(3)加(減)：a>b?a＋c>b＋c；(4)乘(除)：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；(5)乘方：a>b>0?an>bn，n∈N*且n≥2；(6)開(kāi)方：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，n∈N*且n≥2；(7)a>b，c>d?a＋c>b＋d；(8)a>b>0，c>d>0?ac>bd.基礎(chǔ)自測(cè)1.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小關(guān)系是()A.a2>a>－a2>－a B.－a>a2>－a2>aC.－a>a2>a>－a2D.aD.a2>－a>a>－a2解析由a2＋a<0知a≠0，故有a<－a2<0，0<a2<－a.故選B.答案B2.若a>b>0，c<d<0，則一定有()A.eq\f(a,d)>eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)解析思路一：根據(jù)給出的字母的取值要求，取特殊值驗(yàn)證.思路二：根據(jù)不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo).方法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，則eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，排除選項(xiàng)C，D；又eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確.故選B.方法二：因?yàn)閏<d<0，所以－c>－d>0，所以eq\f(1,－d)>eq\f(1,－c)>0.又a>b>0，所以eq\f(a,－d)>eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，故選B.答案B3.設(shè)x∈R，則eq\f(x2,1＋x4)與eq\f(1,2)的大小關(guān)系是________.解析當(dāng)x＝0時(shí)，eq\f(x2,1＋x4)＝0<eq\f(1,2)，當(dāng)x≠0時(shí)，eq\f(x2,1＋x4)＝eq\f(1,\f(1,x2)＋x2)，∴eq\f(1,x2)＋x2≥2，∴eq\f(x2,1＋x4)≤eq\f(1,2)(當(dāng)x＝±1時(shí)取等號(hào))，綜上所述eq\f(x2,1＋x4)≤eq\f(1,2).答案eq\f(x2,1＋x4)≤eq\f(1,2)知識(shí)點(diǎn)1不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】判斷下列各題的對(duì)錯(cuò)(1)eq\f(c,a)<eq\f(c,b)且c>0?a>b()(2)a>b且c>d?ac>bd()(3)a>b>0且c>d>0?eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c))()(4)eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)?a>b()解析(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)<\f(c,b),c>0))?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，當(dāng)a<0，b>0時(shí)，此式成立，推不出a>b，∴(1)錯(cuò).(2)當(dāng)a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3時(shí)，命題顯然不成立.∴(2)錯(cuò).(3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?eq\f(a,d)>eq\f(b,c)>0?eq\r(\f(a,d))>eq\r(\f(b,c))成立.∴(3)對(duì).(4)顯然c2>0，∴兩邊同乘以c2得a>b.∴(4)對(duì).答案(1)×(2)×(3)√(4)√●反思感悟：解決這類(lèi)問(wèn)題，主要是根據(jù)不等式的性質(zhì)判定，其實(shí)質(zhì)是看是否滿(mǎn)足性質(zhì)所需的條件，若要判斷一個(gè)命題是假命題，可以從條件入手，推出與結(jié)論相反的結(jié)論或舉出一個(gè)反例予以否定.1.有以下四個(gè)條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.其中能使eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有________個(gè)條件.解析①b>0>a，∴eq\f(1,a)<0<eq\f(1,b)，結(jié)論成立；②0>a>b，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，結(jié)論成立；③a>0>b，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，結(jié)論不成立；④a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，結(jié)論成立.答案3知識(shí)點(diǎn)2實(shí)數(shù)大小的比較【例2】實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，試比較x，y，z的大小.解x2－2x＋y＝z－1?z－y＝(x－1)2≥0?z≥y；x＋y2＋1＝0?y－x＝y(tǒng)2＋y＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0?y>x，故z≥y>x.●反思感悟：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，通常用作差法來(lái)進(jìn)行.其一般步驟是：(1)作差.(2)變形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法.(3)定號(hào)，即確定差的符號(hào).(4)下結(jié)論.2.已知－eq\f(1,2)<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，D＝eq\f(1,1－a)，試比較A，B，C，D的大小.解∵－eq\f(1,2)<a<0，∴1＋a2>1－a2，即A>B，eq\f(1,1＋a)>eq\f(1,1－a)，即C>D，又∵A－C＝1＋a2－eq\f(1,1＋a)＝eq\f(a（1＋a＋a2）,1＋a)<0，∴A<C，∵B－D＝1－a2－eq\f(1,1－a)＝eq\f(a（a2－a－1）,1－a)>0，∴C>A>B>D.知識(shí)點(diǎn)3不等式的證明【例3】如果a>b>0，c<d<0，f<0，證明：eq\f(f,a－c)>eq\f(f,b－d).證明∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.不等式的兩邊同乘eq\f(1,（a－c）（b－d）)>0，得：eq\f(1,b－d)>eq\f(1,a－c)>0，又∵f<0，∴eq\f(f,b－d)<eq\f(f,a－c)，即eq\f(f,a－c)>eq\f(f,b－d).●反思感悟：利用不等式性質(zhì)證明不等式的實(shí)質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形.在此過(guò)程中，一要嚴(yán)格符合性質(zhì)條件；二要注意向特征不等式的形式化歸.3.已知a<b<c，x<y<z，則ax＋by＋cz，ax＋cy＋bz，bx＋ay＋cz，cx＋by＋az中哪一個(gè)最大？請(qǐng)予以證明.解最大的一個(gè)是ax＋by＋cz∵ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)＝(b－c)(y－z)>0?ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz同理ax＋by＋cz>bx＋ay＋czax＋by＋cz>cx＋by＋az故結(jié)論成立.課堂小結(jié)1.不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是量與量之間的關(guān)系，可以用符號(hào)“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式則是用來(lái)表示不等關(guān)系的，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等關(guān)系是通過(guò)不等式來(lái)體現(xiàn)的.2.不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù).每一步變形，都應(yīng)有根有據(jù).記準(zhǔn)適用條件是關(guān)鍵.3.關(guān)于傳遞性要正確處理帶等號(hào)的情況：由a>b，b≥c或a≥b，b>c均可推得a>c；而a≥b，b≥c不一定可以推得a>c，可能是a>c，也可能是a＝c.隨堂演練1.已知下列四個(gè)條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)解析運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)，由a>b，ab>0可得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，②、④正確.又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，①正確，③錯(cuò)誤，故選C.答案C2.已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－c>b－d,c>d))?a>b；而當(dāng)a＝c＝2，b＝d＝1時(shí)，滿(mǎn)足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))，但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要而不充分條件，選B.答案B3.已知不等式：①x2＋3>2x；②a5＋b5>a3b2＋a2b3；③a2＋b2≥2(a－b－1)，其中正確的不等式有__________.(填上正確的序號(hào))答案①③4.實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c，則將a，b，c，d按照從小到大的次序排列為_(kāi)_______.解析∵d>c，a＋d<b＋c，∴a<b，∵a＋d<b＋c，∴a－c<b－d，∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，即d<b，a<c，∴a<c<d<b.答案a<c<d<b基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式中正確的有()①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ac>bc.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案A2.若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.a2>b2C.eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D.a|c|>b|c|解析本題只提供了“a，b，c∈R，a>b”這個(gè)條件，而不等式的基本性質(zhì)中，幾乎都有類(lèi)似的前提條件，但結(jié)論會(huì)根據(jù)不同的要求有所不同，因而這需要根據(jù)本題的四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)進(jìn)行判斷.選項(xiàng)A，還需有ab>0這個(gè)前提條件；選項(xiàng)B，當(dāng)a，b都為負(fù)數(shù)或一正一負(fù)時(shí)都有可能不成立，如2>－3，但22>(－3)2不正確；選項(xiàng)C，eq\f(1,c2＋1)>0，因而正確；選項(xiàng)D，當(dāng)c＝0時(shí)不正確.答案C3.設(shè)a，b∈R，若a－|b|>0，則下列不等式中正確的是()A.b－a>0 B.a3＋b3>0C.a2－b2<0 D.b＋a>0解析∵a－|b|>0，∴a>|b|>0.∴不論b正或b負(fù)均有a＋b>0.答案D4.已知60<x<84，28<y<33，則x－y的取值范圍為_(kāi)_______，eq\f(x,y)的取值范圍為_(kāi)_______.解析x－y＝x＋(－y)，所以需先求出－y的范圍；eq\f(x,y)＝x×eq\f(1,y)，所以需先求出eq\f(1,y)的范圍.∵28<y<33，∴－33<－y<－28，eq\f(1,33)<eq\f(1,y)<eq\f(1,28).又60<x<84，∴27<x－y<56，eq\f(60,33)<eq\f(x,y)<eq\f(84,28)，即eq\f(20,11)<eq\f(x,y)<3.答案27<x－y<56eq\f(20,11)<eq\f(x,y)<35.設(shè)x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，則實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足的條件是________________.答案ab≠1或a≠－26.已知a、b∈{正實(shí)數(shù)}且a≠b，比較eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)與a＋b的大小.解∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,a)))－(a＋b)＝eq\f(a2,b)－b＋eq\f(b2,a)－a＝eq\f(a2－b2,b)＋eq\f(b2－a2,a)＝(a2－b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,a)))＝eq\f(（a2－b2）（a－b）,ab)，∴當(dāng)a>b>0時(shí)，a2>b2，∴eq\f(（a2－b2）（a－b）,ab)>0.當(dāng)0<a<b時(shí)，a2<b2，∴eq\f(（a2－b2）（a－b）,ab)>0.∴只要a≠b，總有eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)>a＋b.綜合提高7.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)>eq\f(1,y2＋1) B.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)C.sinx>siny D.x3>y3解析先依據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定出x，y的大小，再逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.因?yàn)?<a<1，ax<ay，所以x>y.采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，eq\f(1,2)<1，A不成立.B中，當(dāng)x＝0，y＝－1時(shí)，ln1<ln2，B不成立.C中，當(dāng)x＝0，y＝－π時(shí)，sinx＝siny＝0，C不成立.D中，因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在R上是增函數(shù)，故選D.答案D8.若a，b，x，y∈R，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>a＋b，,（x－a）（y－b）>0))是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>a，,y>b))成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>a，,y>b))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－a>0，,y－b>0，,x＋y>a＋b，))即有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>a＋b，,（x－a）（y－b）>0；))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>a＋b，,（x－a）（y－b）>0))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>a＋b，,x－a>0，,y－b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>a＋b，,x－a<0，,y－b<0，))即有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y>a＋b，,（x－a）（y－b）>0，))所以應(yīng)選C.答案C9.設(shè)角α，β滿(mǎn)足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，則α－β的范圍是________.解析∵－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)＜－β＜－α＜eq\f(π,2).∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0，∴－π＜α－β＜0.答案－π＜α＜－β＜010.有以下四個(gè)條件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0.其中能使eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的有________個(gè)條件.解析①∵b＞0，∴eq\f(1,b)＞0.∵a＜0，∴eq\f(1,a)＜0.∴eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).②∵b