專(zhuān)題13倍值函數(shù)

一、單選題

1.(2011-2012學(xué)年安徽省六校教育研究會(huì)高三測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué))函數(shù)()的定義域?yàn)?若存在閉區(qū)間

［,］匚，使得函數(shù)()滿(mǎn)足：①()在［,］內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②()在［,］上的值域?yàn)?/p>

［2,2］,則稱(chēng)區(qū)間［,］為=()的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有

①〃力=’(箕0)；②()=(€)；

③〃力=翟(叁0);④f(x)=iogaS-Na>0,"D

X+1o

A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③

【答案】C

【解析】

函數(shù)存在“倍值區(qū)間”，即函數(shù)的圖像與直線=2有交點(diǎn)，/(力=/(工'0)與直線=2有交點(diǎn)是

(0,0),(2,4)；對(duì)于()=(G)，構(gòu)造函數(shù)()=-2,()min=(ln?=2-

2n2>。；所以()=-2沒(méi)有零點(diǎn)，即()=(e)與直線=2沒(méi)有交點(diǎn)；

4x

=——(x>0)

x2+l與直線=2的交點(diǎn)是(0,0),(1,2).解方程log(-令=2,即2一

［土生x

1/(x)=loga(a->0,4KD

+i=0,=得<當(dāng)無(wú)解；。<有兩解.故不

oN7,>1,<78

滿(mǎn)足題意.選C.

2.(河南省鄭州市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試題)對(duì)于函數(shù)y=/(x),

若存在區(qū)間句,當(dāng)。，句時(shí)的值域?yàn)椋矍?，?4>0),則稱(chēng)y=/(x)為k倍值函數(shù).若〃x)=4+2x是我

倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.(e+l,+co)B.(e+2,+oo)C.(e+J+s)D.(e+j+s)

【答案】B

【分析】

可看出y=/(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，可得出也是方程e'+2x=fcr的兩個(gè)不同根，從而得出k=C+2,

X

通過(guò)求導(dǎo)，求出C+2的值域，進(jìn)而可得到%的范圍.

【詳解】

解：y=/(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，

/.f(a)=ka,f(b)=kb,

^ea+2a=ka,eb+2b=kb,

即是方程e'+2x=日的兩個(gè)不同根，

k-----1-2,

x

、兀/、、

設(shè)g(x)=—e*+2c,g,(/x)=-e-*--(-x、—~1),

xx'

.〔Ocxcl時(shí)，g'(x)<0；x>l時(shí),g'(x)>0,

，x=l是g(x)的極小值點(diǎn)，

g(x)的極小值為:g(l)=e+2,

又X趨向。時(shí)，g(x)趨向+8；X趨向+8時(shí)，g(X)趨向+8,

.,">e+2時(shí)，y=*和y=g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程々=J+2有兩個(gè)解，

X

?.?實(shí)數(shù)k的取值范圍是(e+2,田).

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)笈倍值函數(shù)的理解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于

難題.

3.(2021?四川?內(nèi)江市教育科學(xué)研究所高二期末(文))對(duì)于函數(shù)y=/(x),若存在區(qū)間忸,々，當(dāng)向

時(shí)，f⑺的值域?yàn)椋?如，則稱(chēng)y=/(x)為笈倍值函數(shù).若=e，是左倍值函數(shù),則k的取值范圍為()

A.(0,jB.(l,e)C.D.

【答案】C

【分析】

可看出y=，(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，可得出“，6是方程e，=履的兩個(gè)不同根，從而得出％=4,通過(guò)求

X

導(dǎo)，求出《的值域，進(jìn)而可得到k的范圍.

X

【詳解】

解：y=/(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，

:.于(a)=ka,f(b)=kb,

即e"=3,e〃=妨,

即是方程/=日的兩個(gè)不同根,

k,=—,

x

設(shè)g(x)=幺,g'(X)=e(x11),

XX

.??當(dāng)x<0時(shí)g'。)<o,函數(shù)g(x)=-單調(diào)遞減，k=-不存在兩個(gè)根的問(wèn)題,

XX

0cxe1時(shí)，g'(x)<0；x>l時(shí)，g\x)>0,

x=l是g(x)的極小值點(diǎn)，

?,.g(x)的極小值為：^(l)=e,

又x趨向。時(shí)，g(x)趨向+8；x趨向+8時(shí)，g(x)趨向+8,

二.Qe時(shí)，y=?和y=g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程仁《有兩個(gè)解，

X

???實(shí)數(shù)k的取值范圍是(e,+oo).

故選:C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方

面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.

4.(2021?吉林?長(zhǎng)春十一高高二期中(理))對(duì)于函數(shù)y=〃x),若存在區(qū)間［4,0，當(dāng)同時(shí)，〃x)

的值域?yàn)椋?，媯，則稱(chēng)y=/(x)為我倍值函數(shù).若〃x)=x+lnx是太倍值函數(shù)，則k的取值范圍為()

A.陷B.Q+8)C.(6+1)D.(2引

【答案】C

【分析】

InY］nY

由題意有方程x+lnx=辰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則Z=l+q-,令8(制=1+7，求導(dǎo)得函數(shù)g(x)的單調(diào)

性與極值，由此可求出結(jié)論.

【詳解】

解：?.?/(x)=x+lnx,定義域?yàn)?0,+8),

函數(shù)“X)在(0,+8)上為增函數(shù),

由題意有，/(a)=a+lna=3,/(b)=b+lnb=kb,

即方程x+lnx=丘有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

Inx

+一，

x

1-lnx

令8(》)=1+丁,則g'(x)=

x2

由——>0tf0<x<e,由一^<0得xNe,

xx

???函數(shù)g(X)在(0,e］上單調(diào)遞增，在［e,x)上單調(diào)遞減,

.??函數(shù)g(x)在x=e處取得極大值g(e)=l+,，

e

又當(dāng)x->0時(shí)，g(x)v0,當(dāng)尤一田時(shí)，g(x)>l,

.??當(dāng)1<%<!+1時(shí)，直線y=%與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

e

Inr

此時(shí)方程k=l+——有兩個(gè)不同的解，

X

??4的取值范圍為1,;+1),

故選：C.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，本題的關(guān)鍵在于分離參數(shù)法得方程

11］YliiV"

%=1+T有兩個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=l+—j,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與極值，注意討論當(dāng)xrO和

x-物時(shí)函數(shù)值的情況.本題考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題.

5.(2020?海南中學(xué)高三月考)對(duì)于函數(shù)尸心)，若存在區(qū)間值,用，當(dāng)［a,用時(shí)的值域?yàn)椋跭a,kb］(k>0),

則稱(chēng)片/U)為K倍值函數(shù).若心)=R3x是K倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

12

A.(e+-,+8)B.(e+—,+8)

ee

C.(e+2,+8)D.(e+3,+8)

【答案】D

【分析】

根據(jù)何=於+3x是定義域R上的增函數(shù)，易得即。力是方程e，+3x=船的兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為人《+3

有兩個(gè)根，令g(x)=f+3,用導(dǎo)數(shù)法求解.

【詳解】

因?yàn)?(刈=。+3才是定義域7?上的增函數(shù)，

于(a)=ka

所以即ea+3a=ka,eb+3b=kb

f(b)=kb'9

所以a1是方程e、+3x="的兩個(gè)根，

顯然x=0不是方程的根，

所以人C+3,

X

令g(x)=?+3(xwO),則g<x)='，

當(dāng)x<O,O<x<l時(shí)，g,(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,

所以當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取得極小值e+3,

當(dāng)X->0時(shí)，g(x)—+oo,當(dāng)Xf-8時(shí)，g(x)f3,

畫(huà)出函數(shù)g(x)圖象，如下圖所示:

所以4>e+3

所以實(shí)數(shù)K的取值范圍是(住3,+8),

故選：D

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方

面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.

6.(2021?寧夏?銀川三沙源上游學(xué)校高一期中)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，若存在閉區(qū)間［。，句使得

函數(shù)f(x)同時(shí)滿(mǎn)足：(1)屬數(shù)在句內(nèi)是單調(diào)函數(shù);(2)/(數(shù)在［。,可上的值域?yàn)椋?，物］(%>0),則稱(chēng)

區(qū)間［"，〃］為f(x)的'“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)：①/(x)=lnx；②〃x)=：(x>0);③/(x)=x?20)；④

V

〃x)=4/(0Wl)淇中存在“3倍值區(qū)間”的有()

A.①③B.②③C.②④D.①②③④

【答案】B

【分析】

根據(jù)題目所給定義，分別利用對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、雙勾函數(shù)的單調(diào)性，算出

和f(b),進(jìn)行分析判斷即可.

【詳解】

對(duì)于①，函數(shù)/(x)=lnx為增函數(shù)，若函數(shù)〃x)=lnx存在“3倍值區(qū)間”可，貝“；3=［2=3匕，由

圖象可得方程lnx=3x無(wú)解，故函數(shù)〃x)=lnx不存在“3倍值區(qū)間”；

f(a)=-=3b

對(duì)于②，函數(shù)〃x)=T(x>0)為減函數(shù)，若存在“3倍值區(qū)間”［a,可，則有<

?得:tz>0,

，伍)=廠3a

Z?>0

例如：〃=；,6=1.所以函數(shù)"x)=1(x>0)存在“3倍值區(qū)間”；

JX

/、I,、ria2=0

對(duì)于③，若函數(shù)〃力=4/0)存在“3倍值區(qū)間”［a,可，貝叫f;(篙)==從a=3a5,解得b=3,所以函數(shù)函數(shù)

/(x)=x2(xZ0)存在“3倍值區(qū)間”［0,3］;

對(duì)于④，當(dāng)x=0時(shí)，〃x)=0.當(dāng)0<x41時(shí)，從而可得函數(shù)/(x)在區(qū)間［0』上單調(diào)遞增.

X

./(￡,)=_j_^T=3a

若函數(shù)/(xh'r=存在“3倍值區(qū)間”目，且句00』，則有二,無(wú)解.所以函數(shù)

f(b)=-^=3b

I八，1+b2

〃x)=L不存在“3倍值區(qū)間”.

1+x

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題是函數(shù)新定義問(wèn)題，以及對(duì)數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、雙勾函數(shù)單調(diào)性和值域等，根據(jù)函數(shù)性

質(zhì)及題中所給條件進(jìn)行一一判斷是關(guān)鍵.

7.(2020?湖南郴州?高一期末)函數(shù)，(x)的定義域?yàn)镈,若存在閉區(qū)間1利川三。，使得函數(shù)f(x)滿(mǎn)足

以下兩個(gè)條件:(1)/(*)在［m,臼上是單調(diào)函數(shù)；(2)/(x)在［m,臼上的值域?yàn)椋?m,2n］,則稱(chēng)區(qū)間［m,

劃為y="x)的"倍值區(qū)間''.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有()個(gè).

①/(x)=/(x20)②f(x)=2,③/(x)=x+,(x>0)

X

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

①②兩個(gè)函數(shù)都是單調(diào)遞增函數(shù)，假設(shè)存在“倍值區(qū)間”，轉(zhuǎn)化為判斷f(x)=2x在定義域內(nèi)是否有兩個(gè)不

等實(shí)根；③/(x)=x+g(x>0)在(0/單調(diào)遞減，在。，+8)單調(diào)遞增，分兩個(gè)區(qū)間討論是否存在“倍值區(qū)間”.

【詳解】

①/(月=*a0)是增函數(shù)，若存在區(qū)間［"向是函數(shù)的“倍值區(qū)間”，

—2a

則，即Y=2X有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別是為=0,X,=2，即存在“倍值區(qū)間”［0,2］,故①存在；

o—Lb

②〃x)=2,是單調(diào)遞增函數(shù)，若存在區(qū)間同是函數(shù)的“倍值區(qū)間”，

2a=2a

則L，“，即2、=2x,存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別是々=0,再=2,即存在“倍值區(qū)間”，故②存

2"=2b/

在;

③〃x)=_r+Jx>0),在(05單調(diào)遞減，在(1收)單調(diào)遞增,

1,

〃+—=2。

a

若在區(qū)間&國(guó)單調(diào)遞減，貝『,解得“=b=l,不成立,

b,+1—=C2a

b

ciH—=2a

若在區(qū)間以單調(diào)遞增，貝IJ:,即x+'=2x有兩個(gè)不同的大于1的正根，

b+-=2b*

b

解得：x=±l不成立，故③不存在.

，存在“倍值區(qū)間”的函數(shù)是①②.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義背景的函數(shù)性質(zhì)，意在考查函數(shù)性質(zhì)的靈活掌握，關(guān)鍵是讀懂題意，并能轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根

個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題型.

8.(2021?全國(guó)?高二單元測(cè)試)若存在苔,&e［a,目且x產(chǎn)%,使歸(再)七(巧/(芍)|成立,

則在區(qū)間句上，稱(chēng)g(x)為了(力的“倍函數(shù)”.設(shè)〃x)=lnx,g(x)=#—,若在區(qū)間［&,e］上,g(x)

4111IJL

為“X)的“倍函數(shù)”，則實(shí)數(shù)L的取值范圍為()

B.F

A.卜芍

C.D.(fe)

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)可證得g(x)在［&，e］上單調(diào)遞增，設(shè)2Vxi4e,可將不等式化為

g(X)-//&)＞g(X2)-Z/伍)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為//(x)=g(x)-//(x)在［五,e］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合

導(dǎo)數(shù)可進(jìn)一步化為乙＜含于￥在［G,e］上有解，令lnx=r,可得尸⑺二等淌^:巾，貝q

乙＜尸0)皿，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，從而得到結(jié)果?

【詳解】

??18，(”=(；：二；20在［&，e］恒成立,g(x)在［Ge］上單調(diào)遞增,

由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性知：f(x)在［五,司上單調(diào)遞增；

不妨設(shè)&4X?＜玉＜e,

由忖（玉）-8（9）1＞4（匕）-/（天）|得:ga）-g（w）＞L（/a）-“w））,

???8（%）一為（％）＞8（%）-為。）.

令6（x）=g（x）-0（x）,則Mx）＞Mw），；"（x）在［&,e］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，

即/?'）=混品+＞°在上有解，

即'Vi?在［G］上有解,：.L＜［e［4,e］）,

（21nx+l）L」［（21nx+l）,叩'LJ/

令lnx=f,貝,

令飛"器/H別），則"網(wǎng)*,

...F'（f）［［（2I）+4］＞0,..當(dāng)re［：」］時(shí)，/⑺單調(diào)遞增，

（2/+1）L2」

???尸（％「尸（1）得，?」＜］，即實(shí)數(shù)L的取值范圍為18高.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是理解新定義并結(jié)合題中函數(shù)的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)；二是合理對(duì)問(wèn)題進(jìn)

行轉(zhuǎn)化，并構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題，利用分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值

之間的關(guān)系，從而利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.

二、多選題

9.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選題）已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椤?，若存在區(qū)間［〃］，川口。使得f（x）：

（1）〃x）在［見(jiàn)〃］上是單調(diào)函數(shù);

（2）/⑶在［見(jiàn)網(wǎng)上的值域是直見(jiàn)2〃］,

則稱(chēng)區(qū)間［加，〃］為函數(shù)/（x）的“倍值區(qū)間”.

下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有（）

113x

A./（x）=x2;B./（x）=-；C.f（x）=x+-；D./（x）=.

xxx+\

【答案】ABD

【分析】

if(tn)=2m\f(m}=2n

函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則/(x)在r上"內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，廿艮=2"或=對(duì)四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性

分別研究，從而確定是否存在“倍值區(qū)間”.

【詳解】

[fOn)=2m"(⑼=2n

函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，則(1)人幻在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，(2)7、°或:/、0,

[/(〃)=2〃[f(n)=2m

,ff(m)=2mni2=2m[ni=O.

對(duì)于A,fM=x2,若存在“倍值區(qū)間”[北川，貝ij[：n2n,.-./U)=x2,存在

[/(〃)=2〃[獷=2〃[n=2

“倍值區(qū)間”[0,2]；

I_

-=2〃

對(duì)于B,/(x)=l(xe/?),若存在“倍值區(qū)間”[，",〃],當(dāng)x>0時(shí)，：=,〃〃=:，故只需〃?〃=:即

x1=2^22

n

可，故存在；

對(duì)于C,/(%)=%+-;當(dāng)x>0時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間口,共。)上單調(diào)遞增，

X

若存在“倍值區(qū)間”[團(tuán),川口[0,1]=>加+，=2九，/?+—=2m=>nr—Itnn+1=0,

mn

n2—2mn+1=0=相2=n2不符題意；

若存在“倍值區(qū)間”[八〃]=[1,+8)=>加+工=2租，〃+1=2〃n加=片=1不符題意，故此函數(shù)不存在“倍

mn

值區(qū)間”；

對(duì)于D,,所以〃x)在區(qū)間[0」上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1,+8)上單調(diào)遞減，若存在“倍

XH--

X

值區(qū)間”回，“1n°，11,-^~=2m,-^-=2n,.-.m=0,n=—,

m+]n+12

即存在“倍值區(qū)間”10,4|；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查新定義：“倍值區(qū)間”，關(guān)鍵在于緊扣定義，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和值域，使問(wèn)題得以

解決.

10.(2019?山東泰安?高三月考)對(duì)于函數(shù)y=/'(x),若存在區(qū)間5,。],當(dāng)時(shí)，/⑴的值域?yàn)?/p>

[如,的]/>0),則稱(chēng)y=/(x)為4倍值函數(shù).下列函數(shù)為2倍值函數(shù)的是()

A./(x)=x2B.f(x)=x3+2x2+2x

C./(x)=x+lnxD.=4

e

【答案】ABD

【分析】

由題中條件可轉(zhuǎn)化為f(x)=2x至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)行一一判斷即可得答案.

【詳解】

由題意可得,若函數(shù)y=/(x)為2倍值函數(shù)，需要.〃x)=2x在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A/(x)=f=2x,xeR解得x=0或x=2滿(mǎn)足題意；

8/5)=/+2》2+2》=2》解得了=—2或》=0滿(mǎn)足題意；

C/(x)=x+lnx=2x無(wú)解,不滿(mǎn)足題意；

YJ

D/U)=三=2x解得x=0或x=In三滿(mǎn)足題意.

e2

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義函數(shù)的應(yīng)用，理解新定義函數(shù)并正確的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,屬于一般難度的題.

11.(2021?江西?贛州市贛縣第三中學(xué)高一期中)一般地，若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?，句，值域?yàn)椋勐?妨］,

則稱(chēng)為的“左倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域?yàn)椋邸＃?，值域也為［。，司，則稱(chēng)［。，以為/("的"跟隨區(qū)間”.下

列結(jié)論正確的是()

A.若［1,可為〃x)=d-2x+2的“跟隨區(qū)間”，則6=2

B.函數(shù)〃x)=l+：存在“跟隨區(qū)間”

C.若函數(shù)〃月=機(jī)—5/7TT存在“跟隨區(qū)間”，則，-%。

D.二次函數(shù)/(x)=-存在“3倍跟隨區(qū)間”

【答案】ABD

【分析】

’11

a=1+一

對(duì)A,由跟隨區(qū)間的定義可得從-2A+2=b,求解即可；對(duì)B,根據(jù)定義得出:可求解；對(duì)C

b=H-

b=m-yja+\

根據(jù)定義得出,解得，7+l+〃+l=1,令f化簡(jiǎn)可判斷r-f-〃?=0在區(qū)間［o,l］上

a=m—yjb+\

有兩根不相等的實(shí)數(shù)根；對(duì)D,根據(jù)定義設(shè)定義域?yàn)橐?，值域?yàn)椋?a,3可，可得討論當(dāng)時(shí)即可.

【詳解】

對(duì)A,若［1力］為/(x)=f-2x+2的跟隨區(qū)間，因?yàn)?(x)=f-2x+2在區(qū)間［1/］為增函數(shù)，故其值域?yàn)?/p>

[l,Z>2-2/7+2],根據(jù)題意有從_26+2=b,解得b=l或b=2,因?yàn)椤?gt;1故6=2.故A正確;

對(duì)B,因?yàn)楹瘮?shù)人力=1+：在區(qū)間(TO,。)與(O,+8)上均為減函數(shù)，故若/(犬)=1+一存在跟隨區(qū)間國(guó)則

,11-5/5

a=1+—a=---------

h2

有,；，解得：廠.故存在，B正確.

,1+V5

h=\+-b=---------

a2

對(duì)c,若函數(shù)/(x)=,〃-47T存在跟隨區(qū)間［。,司，因?yàn)閒(x)=，w-GR為減函數(shù)，故由跟隨區(qū)間的定義

b-m-Ja+1

=a—b=Ja+l-Jb+1

可知a<b9

a-m-Jb+1

即(“-［)(&+1+J〃+1)=(a+1)-e+l)=a-b,因?yàn)閍<6,所以Ja+l+〃+l=1.

易得044+1<”+l41.所以a=/?-「，+1=/n-(l-Ja+1),

令「=，^萬(wàn)代入化簡(jiǎn)可得/―r-m=O,同理「=屈1也滿(mǎn)足產(chǎn)-「一機(jī)=0,即/一「一機(jī)=0在區(qū)間［0』上有

兩根不相等的實(shí)數(shù)根.

fl+4〃?>0(1

故、c,解得力e-70,故c不正確.

［-in>0v4_

對(duì)D,若f(x)=-；f+x存在“3倍跟隨區(qū)間”，則可設(shè)定義域?yàn)椋邸?句，值域?yàn)榧?3句.當(dāng)時(shí),

易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)易得a)為方程-；/+x=3x的兩根，求解得x=0或

x=-4.故存在定義域［Y,0］,使得值域?yàn)椋跿2,0］.故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

12.(2012屆浙江省瑞安中學(xué)高三上學(xué)期期末試題理科數(shù)學(xué))對(duì)于函數(shù)y=〃x),存在區(qū)間以，當(dāng)

句時(shí)，ye［ka,kb］^k>0),則稱(chēng)y=為無(wú)倍值函數(shù).已知f(x)=/是無(wú)倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)左

的取值范圍是

【答案】k>e+l

【詳解】

因?yàn)閷?duì)于函數(shù)1y=/(x)，存在區(qū)間［可，當(dāng)xe,,0時(shí)，ye［3，姑］(%>0),則稱(chēng)y=/(x)為k倍值函數(shù).已

知/(力=/+》是七倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是左>。+1.

13.(2013屆浙江省十校聯(lián)合體高三上學(xué)期期初第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題(帶解析))函數(shù)/(x)的定義域

為。，若存在閉區(qū)間［m,n］CD,使得函數(shù)/")滿(mǎn)足：①/6)在［m,n］上是單調(diào)函數(shù)；②在［m,n］上的

值域?yàn)椋?m,2n］,則稱(chēng)區(qū)間［m,可為y=/(x)的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有

.(填上所有正確的序號(hào))

①〃?=<(言0);

②/(x)=e*(xeR);

③孚;(xNO)；

x2+1

④f(X)=>ogaS-|xa>o,a#D.

o

【答案】①③④.

【詳解】

試題分析：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”，貝IJ:⑴爾)在同用內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；⑵說(shuō)，或{常二之

/\與/\1f(%?)=2mm2=2mm=0

①/(力=幺(m0),若存在“倍值區(qū)間”r［，”,〃］,則{；(/=2〃，,{/=？"，.,?{〃=2,...

/(x)=x2(x>0),故存在“倍值區(qū)間”［0,2］；②/(x)="(xeR),若存在“倍值區(qū)間”［m,n\,則

f(m}=2tne,n=2m,、,、,、

{1構(gòu)建函數(shù)力="—力="一二.函數(shù)在(上單調(diào)減'在

='''￡/=2/?)8(2%'；.8'(2,7\1112)

(In2,4w)上單調(diào)增，.?.函數(shù)在x=In2處取得極小值，且為最小值，：g(ln2)=2-21n2>0,/—2x=0

無(wú)解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；

4(l+x)(l-x)

(3)/(x)=-^-(x>0),尸任)=，若存在“倍值區(qū)間”[叫T曰0』,

X+1(叫

f(m)=2mfm=O

則{，故存在“倍值區(qū)間”[0,1]；@/(x)=log,3>o

/(〃)=2〃[w=l

、rIf(m}=2m

且。工1),不妨設(shè)4>1,則函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，若存在“倍值區(qū)間”[n〃],貝=，

10ga卜一升2m(n1

,則方程loggia，—gj=2m,即.z.-V+jnO,由于該方程有兩個(gè)不等的正

10g。k一0=方

根，故存在“倍值區(qū)間”加,〃];綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④，故答案為①③④.

考點(diǎn)：函數(shù)的值域；命題的真假判斷與應(yīng)用.

14.(2014屆浙江省湖州中學(xué)高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(帶解析))對(duì)于函數(shù)y=/(x),若存在區(qū)

間口向，當(dāng)xw[a,h]時(shí)的值域?yàn)檠?kb](k>0)，則稱(chēng)y=f(x)為k倍值函數(shù).若/(x)=1nx+x是女倍值函數(shù)，

則實(shí)數(shù)%的取值范圍是.

【答案】(1,1+-)

e

【詳解】

試題分析：由題意得lnx+x=右有兩個(gè)不同的解，憶=叱+1,則1=上羋=0nx=e,因此當(dāng)0<x<e時(shí)，

XX

/re(-oo,l+-),當(dāng)x>e時(shí)，/：€(1,1+-),從而要使lnx+x=Ax有兩個(gè)不同的解，需％e(l,l+,)

eee

考點(diǎn)：函數(shù)與方程

【思路點(diǎn)睛】

(1)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問(wèn)題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能

夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì).

(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究.

15.(【百?gòu)?qiáng)?！?016屆寧夏六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)高三五?？荚嚁?shù)學(xué)(文)試卷(帶解析))函數(shù)/(x)的定義域

為D,若存在閉區(qū)間也加餐。，使得函數(shù)/(X)滿(mǎn)足：①/*)在3,句內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②/5)在句上的值域

為[2a,2勿，則稱(chēng)區(qū)間以回為y=/(x)的“倍值區(qū)間”，下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的函數(shù)有

（填序號(hào)）.

①/（X）；

②〃x）=e、（xeR）;

4Y

③f(x)==~~；(xNO);

X'+1

④/(X)=log/，~1)(67>0,0^1)

o

【答案】①③④

【解析】

試題分析：F（x）=x2（xN0）是增函數(shù)，則由/（x）=2x,即f=2x得占=0,々=2,因此。=0力=2,①符合;

f（）=4x=4

f（x）=e'是增函數(shù)，/（x）=2x,/=2x,此方程無(wú)解，②不合；/W-77T-7J,因此它在［0,11上遞

XT-

增，在U，E）上遞減，又/（0）=0，/（D=2,因此可取。=0力=1,③符合；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知

ax\na

/（x）=log〃（優(yōu)-：）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，記g（x）=log“（，-J）-2x,gM=--------------2

OOO(優(yōu)-g)ln〃

1111

,因此當(dāng)三＜優(yōu)＜了時(shí)，函數(shù)遞減，當(dāng)優(yōu)時(shí)，函數(shù)遞增.爐=了時(shí)，g（x）取極值為

T18444

8

log“（!-4）-21og「=log〃2,當(dāng)〃〉1時(shí)，g。）在（log，/og」）上遞增，在（log",”）上遞減，1嗎2是

4o4o44

極大值，且為正，同樣當(dāng)0＜"1時(shí)，g（x）在（log」,log」）上遞增，在（F,log“3上遞減，log“2是極小

4o4

值，且為負(fù)正，因此g（x）恒有兩個(gè)零點(diǎn)加,〃（加＜"）,取"=〃?/=〃，④符合題意.故①③④符合題意.

考點(diǎn)：新定義，命題真假判斷.

【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題，對(duì)新概念“倍值區(qū)間”的理解與轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.對(duì)新概念的兩個(gè)

條件中單調(diào)性比較容易處理，因此在考慮問(wèn)題時(shí)先研究單調(diào)性，然后在單調(diào)區(qū)間內(nèi)再考慮區(qū)間團(tuán),力，“倍

值區(qū)間”實(shí)質(zhì)就是方程/（x）=2x在單調(diào)區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根，特別是④，還要通過(guò)研究函數(shù)

g（x）=log“（優(yōu)-：）-2x的單調(diào)性來(lái)確定其零點(diǎn)的存在性，這是零點(diǎn)不能直接求出時(shí)需采用的方法：證明存

O

在性.

16.（【百?gòu)?qiáng)?！?017屆湖南石門(mén)縣一中高三9月月考數(shù)學(xué)（文）試卷（帶解析））對(duì)于函數(shù)y=/（力，

若存在區(qū)間［&句，當(dāng)切時(shí)的值域?yàn)椋圬肮Γ荩ㄗ螅?）,則稱(chēng)y=/（力為左倍值函數(shù).若

f8=lnx+x

是it倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

【答案】(U+-)

e

【詳解】

試題分析：依題意可知，無(wú)倍值函數(shù)即函數(shù)圖象與>=依圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即lnx+x=日有兩個(gè)解，分離參

數(shù)得4=1+(,令8⑴句+理，令短(》)=—￡=0,可得極大值點(diǎn)x=e,故g(x)的極大值為

g(e)=l+,，當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)，g(x)趨向于1,故實(shí)數(shù)大的取值范圍是(U+3.

ee

考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式.

【思路點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值的方法，體現(xiàn)了劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.解

決含參數(shù)問(wèn)題及不等式問(wèn)題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等

式恒成立問(wèn)題，要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化

為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題處理.

17.(【全國(guó)市級(jí)聯(lián)考】四川省遂寧市2017-2018學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題)函數(shù)/(x)的定義域

為。若存在閉區(qū)間cD，使得函數(shù)/(x)同時(shí)滿(mǎn)足：

(1)“X)在[凡句內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

(2)/(x)在[4國(guó)上的值域?yàn)閇總倒伏>0),則稱(chēng)區(qū)間[a,以為〃x)的“左倍值區(qū)間”.

下列函數(shù)中存在“3倍值區(qū)間''的有.

①f(x)=f(xNO);②f(x)=5"(xwR)；③f(x)=j1^(xNO)；④f(x)=，nx.

【答案】①③

【詳解】

對(duì)于①，若函數(shù)/*)=工2*20)存在"3倍值區(qū)間”[a,0，則有[[?=：，=：：，解得所以函數(shù)

[f(b)=b=3b[b=3

函數(shù)=存在"3倍值區(qū)間”[o,3].

I：：：；：，結(jié)合圖象可得方程

對(duì)于②，若函數(shù)"x)=5*(xwR)存在“3倍值區(qū)間”司，則有

j(b)=□=3b

5*=3x無(wú)解.所以函數(shù)函數(shù)/(x)=5'(xeR)不存在“3倍值區(qū)間”.

6

對(duì)于③，當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=0.當(dāng)x>0時(shí),/(》)=從而可得函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增.若

x+—

X

函數(shù)小)=丹存在“3倍值區(qū)間”句，且［則引05，則有,解得：.所以

"Xf(b)=-^y=3b也一1

1+4

函數(shù)了(力=6停Y存在“3倍值區(qū)間”［05.

對(duì)于④，函數(shù)/(x)=M為增函數(shù),若函數(shù)f(x)=M存在“3倍值區(qū)間”［。,目，則

f(a)=\na=3a

由圖象可得方程Inx=3x無(wú)解，故函數(shù)/(同=/群不存在“3倍值區(qū)間”.

f(b)=lnb=3b

綜上可得①③正確.

答案：①③

點(diǎn)睛：本題屬于新概念問(wèn)題，解題時(shí)要從給出的“3倍值區(qū)間”的定義出發(fā)，先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后再

構(gòu)造一個(gè)方程組，經(jīng)過(guò)對(duì)方程組有解或無(wú)解的判斷得到相應(yīng)的結(jié)論.實(shí)際上，本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判

斷和方程(組)的解法.

18.(【全國(guó)市級(jí)聯(lián)考】山東省德州市2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(文)試題)對(duì)于函數(shù)y=/(x),

若存在區(qū)間3句,當(dāng)xe［a向時(shí),f(x)的值域?yàn)橄?，?％>0),則稱(chēng)y=/(x)為k倍值函數(shù).下列函數(shù)為2

倍值函數(shù)的是(填上所有正確的序號(hào)).

①/(X)=x2②/(x)=丁+2x2+2x

③/(x)=x+lnx@/U)=4

e

【答案】①②④

【解析】

分析：y=/(x)為2倍值函數(shù)等價(jià)于，丫=〃力的圖象與丫=2工有兩個(gè)交點(diǎn)，且在句上遞增，由此逐一

判斷所給函數(shù)是否符合題意即可.

詳解：y=/(x)為2倍值函數(shù)等價(jià)于，了=〃”的圖象與丫=2》有兩個(gè)交點(diǎn),

且在目上遞增：

對(duì)于①，丫=2X與>=一,有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0乂2,2),

在［0,2］上/(X)遞增，值域?yàn)椋?,4］,①符合題意.

對(duì)于②，y=2x^y=x3+2x2+2x,有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0),(—2,T),

在卜2,0]上/(x)遞增，值域?yàn)閇T0],②符合題意.

對(duì)于③，y=2x與y=x+lnx,沒(méi)有交點(diǎn)，不存在，

x^[a,b],值域?yàn)榍?2句，③不合題意.

對(duì)于④，y=?與y=2x兩個(gè)交點(diǎn)(0,0)(—ln2,—21n2),

在[-In2,0]上遞增，值域?yàn)閇-21n2,0],④合題意，故答案為①②④.

點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象與性質(zhì)、新定義問(wèn)題及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.新定義題型

的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考

生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題

的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，”照章

辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.

19.(上海市松江二中2018-2019學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，若存在閉區(qū)

間[。，句u。，使得函數(shù)“到滿(mǎn)足:①〃x)在[“例內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在[6國(guó)上的值域?yàn)閇2。,23，則稱(chēng)

區(qū)間,力]為的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有

①/(X)=/(a0)②/(x)=e'(xeR)③/(同=言(讓0)

【答案】①③

【分析】

根據(jù)''倍值區(qū)間”的定義，分別對(duì)三個(gè)函數(shù)研究，從而可確定存在''倍值區(qū)間”的函數(shù).

【詳解】

對(duì)于①，假設(shè)函數(shù)/(x)=x2U>0)存在''倍值區(qū)間”匕,勿，因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x2(x>0)為單調(diào)遞增函數(shù),

[/(?)=2?(a2=2a,[a-0

所以匕八力，所以廠，解得7,，