絕密★啟用前河北省2022-2023學年高三上學期1月階段性檢測（二）數學本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名，班級，考場/座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題日的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數在復平面內對應的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．設集合，若，則（）A．B．C．D．3．以斜邊長為2的等腰直角三角形一直角邊為軸，旋轉一周形成的幾何體的表面積為（）A．B．C．D．4．已知，則在上的投影向量是（）A．B．C．D．5．2022中國（南昌）國際大健康產業(yè)大會暨博覽會將于11月25日-27日正式舉辦，此次博覽會將圍繞醫(yī)療器械、生物醫(yī)藥、中醫(yī)中藥、國際醫(yī)養(yǎng)、醫(yī)療美容、健康生活六大板塊，搭建政、商、學、醫(yī)、研，產的高端對話與合作平臺，推動健康產業(yè)資源要素相互賦能．博覽會某日將舉辦六大板塊為主旨的六場報告會，其中上午四場，下午兩場，要求中醫(yī)中藥排在上午前兩場中任意一場，醫(yī)療美容和健康生活排在下午，則不同安排種數是（）A．24B．96C．144D．1926．已知函數（且）對于任意的實數，都有成立，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．7．如圖，線段所在直線與平面平行，平面上的動點P滿足，則點P的軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線的一部分D．拋物線的一部分8．已知函數，則（）A．在定義域內單調遞減B．有無數個極值點C．只有一個零點D．為周期函數二、不定項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知直線a、b和平面，下列選項能得到成立的充分條件是（）A．B．C．D．10．如圖是函數的圖象的一部分，則（）A．的圖象關于直線對稱．B．圖象至少向左移個單位得到一奇函數圖象C．將函數圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將所得圖象向右平移個單位長度，可得函數的圖象D．在區(qū)間單調遞減11．過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，過A、B分別做拋物線C準線的垂線，垂足為，線段的中點為M，線段的中點為N，則（）A．B．C．以為直徑的圓與y軸相切D．以為直徑的圓與y軸相切12．已知函數為的導函數，則（）A．方程只有一個實根B．的最小值為C．函數的值域為D．函數為偶函數三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中的系數為___________．14．過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A，B兩點，若，則這條直線可以是___________（寫出一個即可）．15．已知，則的最小值為___________．16．若數列滿足且，則___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且．（1）求A的值．（2）若的面積為，求a的最小值．18．（12分）數列的前n項和為，且．（1）求數列的通項公式．（2）若數列滿足，求數列的前n項和．19．（12分）利用生物活體或其代謝產物針對農業(yè)有害生物進行殺滅或抑制的生物農藥，以其對人畜安全，對生態(tài)環(huán)境影響小等優(yōu)勢，在病蟲害綜合防治中的地位和作用顯得愈來愈重要．江南大學一團隊成功研發(fā)出性能優(yōu)良的桉樹精，填補了全球生物農藥在極端環(huán)境下起效的技術空白．為了研究獼猴桃樹使用該農藥后某項指標值的相關性，研究人員從獼猴桃種植區(qū)一萬多棵樹中，隨機抽取了120棵用藥果樹和80棵未用藥果樹，對這200棵果樹某項指標值進行測量后，按分組，得到該項指標值頻率分布直方圖．并發(fā)現用藥果樹中該項指標值不小于60的有80棵．（1）填寫下面的列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“果樹用藥與指標值不小于60有關”．指標值小于60指標值不小于60合計用藥果樹沒用藥果樹合計（2）用藥后果樹中該項指標值不小于60認為農藥對獼猴桃細菌性潰瘍病有效，以用藥的120棵樹對潰瘍病有效的頻率做為果樹用藥后有效的概率．若從獼猴桃種植區(qū)所有用藥果樹中隨機抽取4棵，求所抽四棵樹中用藥后有效果樹棵數X的分布列及期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如圖矩形中，，沿對角線將折起，使點A折到點P位置，若，三棱錐的外接球表面積為．（1）求證：平面平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．（3）M為的中點，點N在邊界及內部運動，若直線與直線與平面所成角相等，求點N軌跡的長度．21．（12分）在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和M到定直線l：的距離的比是常數，點M的軌跡為曲線E．（1）求E的方程；（2）直線l交曲線E于P，Q兩點，交x軸于N點，交y軸于R點，若，若，求點N的坐標．22．（12分）若函數（其中e是自然對數的底數，a為常數且）．（1）當時，求方程的根的個數；（2）若函數有兩個極值點，且，求的最小值．數學試題答案與解析1．D2．A3．C4．B5．A6．D7．C8．C9．BD10．ACD11．AC12．BC13．3514．或或（寫出一個即可）15．【解析】則，當且僅當時，“=”成立．，∴最小為，此時．另解：由得∴∴當且僅當，即時等號成立．16．5【解析】∵∴得∴為等比數列．∴（舍去）則．17．解：（1）由得：得：整理得：由正弦定理得：∴∵A為內角，∴．（2）由，得∵∴當且僅當時，符號成立．∴．∵，∴a的最小值為．18．解：（1）由得：∴∴當時，∴（2）∵為等差數列∴得：當，且時，∴當時，∴∴時，當時，∴19．解：（1）由頻率分布直方圖可知，樣本中指標值不小于60的棵數為，則標值小于60的果樹棵數為80．所以列聯(lián)表如下：指標值小于60指標值不小于60合計用藥果樹4080120沒用藥果樹404080合計80120200．所以有95%的把握認為“果樹用藥與指標值不小于60有關”．所以有的把握認為“果樹用藥與指標值不小于60有關”．（2）用藥后有效的概率，由題可知，，∴，所以X的分布列為：X01234P所以．所抽四棵樹中用藥后有效果樹棵數的期望為．20．解：（1）設O為矩形對角線的中點，∴．即．∴O為三棱錐外接球的球心．又∵三棱錐外接球表面積為，∴外接球半徑為2．即．過P點作，垂足為E，則，∴，∴為．∵，，∴平面．又∵平面，∴平面平面．（2）以E為坐標原點，所在直線分別為x軸、z軸，以平面內過E且垂直于的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．可知：且設平面的法向量為得可取設平面的法向量為得可取設平面與平面夾角為，則所以平面與平面夾角余弦值為是．（3）由（2）中空間直角坐標系可設N為，，取平面法向量為．∵直線與直線與平面新成角相等，∴得：整理得：，即∵N點在邊及其內部，∴N的軌跡為圓落在邊及內部的部分．∴軌跡長度為半徑為1的圓周長為．得∴N點軌跡長度為．（建系方法不唯一，參照給分）21．解：（1）由題意，點到l距離為，M到的距離為，∴化簡得：即（2）法一：由題意，l斜率一定存在，設其斜率為k，設N點坐標，直線l方程為，由消去y得：令設點P、Q、R的坐標分別為則由，得∴同理由，得∵，得，得將得∴N點坐標為法二：由題意，設l方程為，則N為由得令設P、Q、R坐標分別為則由，得同理，由，得由，得，且得∴N點坐標為法三：設由，得∴因為點P在