3講考情解讀1.平面向量基本定理和向量共線定理是向量運(yùn)算和應(yīng)用的基礎(chǔ)，高常以小題lka＝(1，k)l的一個(gè)方向向量．(5)向量的投影：|b|cos〈a，bba方向上的投影．a(chǎn)，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則(1)a＝(x，y)，則|a|＝a·a＝(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)， |AB|＝x2－x1＋y2－y1(3)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θab cos

x1＋y1熱點(diǎn)一例1 (1)(2014·福建)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是( 的點(diǎn)D，若→＝→＋→，則m＋n的取值范圍是 思維啟迪結(jié)論，將此結(jié)論與＝＋答案 (2)DO外一點(diǎn)，可設(shè)＝

＝＋

→ C，O，D三點(diǎn)共線，令＝－

，

則 λ

1－λ

μ ＝－μ故 μ思維升華對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算問題，要注意其與數(shù)的運(yùn)算法則的共性與不同，兩者不

(2)如圖，在△ABC中

，DBC的中點(diǎn)，ADCFE.若→＝a且→且

.

答 解析(1)sin2θ＝cos2θ，2sinθcosπ0<θ<2cosπ2sinθ＝cosθ，tan(2)FBMDBC的中點(diǎn)，MFB

FAM的中點(diǎn)，EAD方法一因?yàn)椋絘＝b，DBC 所以＝1所以

1→所以 → → x＝1，y＝－3 方法二易得 所以 ，所以因?yàn)?→ → 所以→ x＝1，y＝－3 熱點(diǎn)二例 (1)如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑

，則

→等于 44

(2)(2013·重慶)

＝→＝1，→＝→→

值范圍是

， 5，

7 2

2，22 22，

22，2思維啟迪(1)O1，可對(duì)題中向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化＝，→＝；(2)用→

OD 答案 解析(1)∵→＝O1， ∴→ → →

→ 1 (2)∵→⊥→∴→ OB·OB－OBOB·OB－OB·OA－OA·OB＋OA

→ → → ∴→ → → →∵→ ∴ ∴ ∵ ∴→

→ →

→ →OP＝1＋1＋OA＝2＋→2＋2(－→2＝2－→∵→

OA →2

→2|OP|<2，∴0≤|OP|<4，∴0≤2－OA∴7→

4<OA≤2，即|OA|∈2，思維升華(1)(1)(2014·江蘇)ABCD

→，

→＝2，則

→的值 (2)G是△ABC的重心，若∠A＝120°，＝－2最小值

2答案 解析(1)由

→1

1→

→1→ → 1→

→3 →

→1

→3

→ 1→ → → → →AB＝2.又因?yàn)锳D＝25，AB＝64，所以(2)在△ABCAGBCD，∵G是△ABC的重心，∴ADBC

→＝→×→×cos120°＝－2，∴→×→＝4，∵→＝2→，→

→

→

∴→ 1 →

1→ → →

→ AG

＝9[AB

≥9[2|AB|×|AC|＋2×(－2)＝9，∴AG∴ 熱點(diǎn)三例3 已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若

f(x)＝b·cx(2)若a與 a⊥c，求tan2α的值思維啟迪(1)應(yīng)用向量的數(shù)量積可得f(x)的三角函數(shù)式，然后利用換元法將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)式，由此可解得函數(shù)的最小值及對(duì)應(yīng)的x值．(2)由夾角及a⊥c可得關(guān)于角α的三角函數(shù)式，通過三角恒等變換可得結(jié)果解(1)∵b＝(cosx，sin4c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cos4＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcos＝2sinxcosx＋2(sinx＋cos t＝sinx＋cos2sinxcosx＝t2－1，且－1<t<y＝t2＋2t－1＝t＋22－3，－1<t< 2 ∴t＝－2時(shí)，ymin＝－3sinx＋cosx＝－ 即2sinx＋π＝－ π

6π，∴x＝1223(2)∵ab的夾角為3

12∴cosπ＝a·b＝cosαcosx＋sinαsin ∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cos∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0sin2α＋π＋2sin ∴5sin2α＋ ＝0，∴tan2α＝－2cos 5思維升華在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中a＝sinx，3，b＝(cos a∥bcos2x－sin2x3，b＝2，sin 6 π＝3， ＝解

∴4cos

＋sinx＝0，∴tancos2x－2sinxcos 1－2tan ∴cos2x－sin ＝ (2)f(x)＝2(a＋b)·b＝ 由正弦定理a＝bsinA＝sin

sin

∴f(x)＋4cos2A＋π＝ ∵x∈[0，π

π，11π ∴3－1≤f(x)＋4cos(2A＋π≤ [3－1，2－1[ 就要根據(jù)向量加減法的法則進(jìn)行，特別是減法法則很容易出錯(cuò)，向量→＝

其中

OA根據(jù)平行四邊形法則，對(duì)于非零向量a，b，當(dāng)|a＋b|＝|a－b|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線長度相等，此時(shí)平行四邊形是矩形，條件|a＋b|＝|a－b|a，b互相垂直．[]0或π量知識(shí)只給出一幾何量位置和量關(guān)系在題中要根據(jù)向知識(shí)分解析幾1．(2014·湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)D 答 解析D(x，y)，由＝(x－3，y)及＝1知DC → OA＝(－1,0)＋(0，＝(x－1，y＋∴ x－1＋y＋3問題轉(zhuǎn)化為圓(x－3)2＋y2＝1P(1，－3)∵圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，－3)之間的距離為 3－12＋0＋32＝7， x－12＋y＋32的最大值為7＋1.2．(2014·)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上BE＝λBC，DF＝μDC.若

→＝1，→

66答案

→ ∴→ ＝→ → → →＝2×2×(－1∴2(λ＋μ)－λμ＝3

∵→ → 333λμ－(λ＋μ)＝－2②由①②解得λ＋μ3精練Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，PAB邊上的點(diǎn)，且→＝

→，若→→≥→≥

A． B．2－ 1

1＋

1－

1＋[2，答案

，解析因?yàn)椤?/p>

→ → →

→ → CP·AB＝(AP－AC)·AB＝AP·AB－AC·AB＝λAB·AB－AC·AB＝2λ－1×2×cos

→＝－

→＝－

-＝－)

→

，所以

2－2(2

2＋21AOB中，∠AOB＝60°，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABOC2＋2則→→ 答案解析因?yàn)?/p>

→ → → →).∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以→→＝

＝－1→所以

→＝－1→＋→2＝

|BP|cos

)21≥－1.故當(dāng)且僅當(dāng)＝1時(shí)→→最小值是1

已知向量m＝(sinx，cosx)，n＝

3 解(1)f(x)＝2sinx＋2cosx＝f(x)的最大值為(2)b＝2af(A－π，由(1)sin＝2B＝2Asin2A＝23sin2A，即sinAcosA＝3sin2A，AsinA≠0cosA＝3sin3tanA＝3 (推薦時(shí)間：60分鐘1．設(shè)a，b為向量，則“|a·b|＝|a||b|”是a∥b的( 答案解析a，bθ，若|a·b|＝||a||b|cosθ|＝|a||b|，cosθ＝±1a∥ba∥b，則cosθ＝±1，從而|a·b|＝||a||b|cosθ|＝|a||b|，“|a·b|＝|a||b|”是a∥b的充要條件．已知向量→＝(2,2)，→＝(4,1)，點(diǎn)P在x軸上，→→取最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)是 答案解析P(x,0)，則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)

2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1x＝3時(shí)→→1.P點(diǎn)坐標(biāo)為||＝1，b|＝2 7 7答案解析|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉

11 55 55答案解析

→∴ABCDS＝1→→2＝1×5×22

等腰直角三角形ABC中 AB＝AC＝2，M是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在△ABC內(nèi)部或邊界上運(yùn)動(dòng)，則→→的取值范圍是 答案解析AAB，ACx軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，＋y≤2，

M是△ABC

→

，則△ABM與△ABC

2

55答案解析AB

C，M，D且 3也就是△ABM與△ABCAB3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為

→→ 答案3解析∵Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝

3 → →1→→1→

＝1→2∴→

→1→2

1→

2→

AB·AD＝AB·(3AC＋3AB)＝3AB·AC＋3AB＝0＋3×1

1→＋

，則與 答案解析＝1→

∴O是△ABCBC∴BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有〈→〉e1，e2λe1＋e2e1＋λe260° 3答案3解析e1，e2e1，e2x，y軸的正 1212λe2的夾角等于60°，所以由向量數(shù)量積的定義可得cos60°＝|λe＋e|·|e＋λe|?21212

?λ＝2±1的平面向量和90°.OAB上運(yùn)動(dòng)．若＝＋x、y∈R的最大值 答

解析設(shè)∠AOC＝α，則

∴OC＝cosα·OA＋sinα·OB，即 ∴x＋y＝cosα＋sinα＝2sinα＋π≤ xOyAxAB 4，|OB|＝2，設(shè)∠AOB＝θ，θ∈24(1)θB的坐標(biāo)及(2)若tan →→的值解(1)B的坐標(biāo)為(2cosθ，2sin在△ABO 由正弦定理，得|OB|＝|OA|4sin4

sin即|OA|＝2 (2)由(1)

→＝→＝42sin3π－θ tan 4sinθ＝4，cos 又sin3π－θ＝sin －cos

4cos

4sin＝

2 22

5－－2×5＝10故→→

OA·OB＝42×10

2Cc＝23，S△ABC＝23a，b解(1)∵m＝(cosB，cos∴ccosB＝(2a－b)cos∴sinCcosB＝(2sinA－sinB)cos2sinA＝2sinAcosC，∴cos2(2)