矩陣的特征值與特征向量第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日說明一、矩陣的特征值第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日說明第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日說明求矩陣A的特征值及特征向量問題就轉(zhuǎn)化為求解多項(xiàng)式方程以及齊次線性方程組的通解問題.第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日解例

第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日例

設(shè)求A的特征值與特征向量．解第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日得基礎(chǔ)解系為第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日例

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日例

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日例

設(shè)矩陣

A為對(duì)合矩陣(即

A2=I),

且

A

的特征值都是

1,證明

:A=I.由于

A

的特征值都是

1,這說明

-1不是

A

的特征值,即|A+I|0.因而

I+A

可逆.(I+A)-1

即可得

A=I.在

(I+A)(I-A)=0兩端左乘由

A2=I可得

(I+A)(I-A)=0,證明第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日例試證證：必要性如果A是奇異矩陣，則|A|＝0。于是即0是A的一個(gè)特征值充分性：設(shè)A有一個(gè)特征值為0，對(duì)應(yīng)的特征向量為x.由特征值的定義有：齊次線性方程組有非零解，由此可知|A|＝0，即A為奇異矩陣.亦可敘述為：第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日證明即A與其轉(zhuǎn)置矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，因此必有相同的特征值.二、特征值與特征向量的性質(zhì)第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日證明:則類推之，有定理3：第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日把上列各式合寫成矩陣形式，得第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日注意１.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的．２.屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量．３.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值．第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日說明１.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n階方陣A一定有n個(gè)特征根，其中可能有重根和復(fù)根.２.定理4表明，全部特征根的和與A的主對(duì)角線元素的和相等；全部特征根的乘積等于|A|.當(dāng)detA=0時(shí),A至少有一個(gè)零特征值.3.