離散時間系統(tǒng)的變換域分析第一頁，共八十一頁，2022年，8月28日主要內容Z變換及其性質離散時間系統(tǒng)的Z變換分析離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和穩(wěn)定性Z變換與拉普拉斯變換的關系第二頁，共八十一頁，2022年，8月28日§8.2Z變換及其性質一、Z變換的定義及其收斂區(qū)我們知道離散信號可以由連續(xù)信號抽樣得到：兩邊求雙邊拉普拉斯變換：第三頁，共八十一頁，2022年，8月28日上式就定義為序列f(k)的雙邊z變換，記為：與拉普拉斯變換一樣，在離散系統(tǒng)中我們感興趣的是因果系統(tǒng)和有始的激勵，因此我們同樣定義f(k)的單邊Z變換：第四頁，共八十一頁，2022年，8月28日或用記號

表示它們是一對Z變換對。顯然單邊Z變換是一個單邊的無窮級數(shù)F(z)是否存在要看級數(shù)是否收斂，使級數(shù)收斂的Z的取值范圍稱為收斂區(qū)。第五頁，共八十一頁，2022年，8月28日要級數(shù)收斂要求|Z|-1小于某一數(shù)值，或表示為|Z|>R，R與具體的序列有關。將它用圖形在Z平面上表達出來，它是以原點為圓心R為半徑的圓之外的區(qū)域，所以R就稱為收斂半徑。第六頁，共八十一頁，2022年，8月28日例如：f(k)=akε(k)求F(z)及其收斂區(qū)。解：

第七頁，共八十一頁，2022年，8月28日說明：1、Z變換與連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換相對應，也有雙邊與單邊之分。2、Z變換與拉普拉斯變換是有聯(lián)系的，它們之間的關系由表明。3、能量有限的有限長序列，單邊Z變換的收斂區(qū)為|z|>0。4、有始無終的單邊序列，單邊Z變換的收斂區(qū)總是在某一圓外。5、在收斂區(qū)中不應包含極點。第八頁，共八十一頁，2022年，8月28日二、常用序列的Z變換1、單位函數(shù)δ(k)收斂區(qū)為整個Z平面∞≥|z|≥0。

2、單位階躍序列ε(k)第九頁，共八十一頁，2022年，8月28日3、單邊指數(shù)序列f(k)=vkε(k)4、單邊正弦和余弦序列sin(βkT)

ε(k)，cos(βkT)

ε(k)第十頁，共八十一頁，2022年，8月28日第十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日同理第十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日所以：第十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日三、Z變換的性質1、線性性質若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)則：a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)

a1，a2為常數(shù)。2、移序性質若：f(k)←→F(z)

則：

第十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日證明：第十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日例如：第十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日3、尺度變換若：f(k)←→F(z)

證明：則：例如：第十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日4、時域線性加權和Z域的微分若：f(k)←→F(z)

則：證明：第十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日例如已知

則：所以，這個性質也可以重復使用。第十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日5、卷積定理若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)則：f1(k)*f2(k)←→F1(z).F2(z)

證明：

第二十頁，共八十一頁，2022年，8月28日6、初值定理和終值定理若：f(k)←→F(z)

則：第二十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日若F(z)的所有極點位于單位圓內或在z=1處有一個一階極點。則：證明：

第二十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日另一方面例1：第二十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日例2：例3：求F(z)例4：已知f(k)求F(z)。第二十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日第二十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日設N=3則可畫出f(k)的圖形為一三角形序列。而三角形序列為兩個矩形序列卷積的結果。

*第二十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日f(k)=y(k-1)，而Y(z)=F1(z)F2(z)|z|>0

第二十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日§8.3反Z變換由F(z)反過來求f(k)稱反Z變換，記為Z

-1[F(z)]。一、長除法根據(jù)Z變換的定義F(z)為z的冪級數(shù)，因此我們只要設法將F(z)展開為z的冪級數(shù)，則其系數(shù)即為f(k)。

第二十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日例1：

第二十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日例2：或者可寫成：第三十頁，共八十一頁，2022年，8月28日二、圍線積分法根據(jù)復變函數(shù)理論中的柯西(Cauchy)定理：其中c為圍繞原點的反時針方向的圍線。則：

第三十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日其中閉合圍線c應包含被積函數(shù)F(z)zk-1的所有極點。zr為被積函數(shù)的第r個極點。留數(shù)的求法：

第三十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日例：求f(k)。解：第三十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日k≥0時

k<0時

第三十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日當k≥0時被積函數(shù)在圍線內只有一個一階極點a。當k<0時被積函數(shù)在圍線內有一個一階極點a，還有一個-k階的極點0。第三十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日第三十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日三、部分分式展開法v1，v2，...，vn。也稱F(z)的n個極點。

設D(z)=0有n個單根則：

0，v1，v2，...，vn。展開為部分分式：

有n+1個極點第三十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日也可將極點分為三種不同情況，并記住下面幾個簡單的公式。第三十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日1、單根時2、n階重根時3、v，v*為一對共軛復根時

或者第三十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日例1：求右邊序列f(k)。

解：第四十頁，共八十一頁，2022年，8月28日第四十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日例1：求右邊序列f(k)。

解：第四十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日例：求f(k)。

解：第四十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日第四十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日對于一對共軛復根也可將它保持整體處理，這時我們可以使用正弦序列和余弦序列的變換對。第四十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日又如：第四十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日§8.5離散時間系統(tǒng)的Z變換分析法與拉普拉斯變換一樣Z變換是求解差分方程的工具。一、直接求解例1：已知系統(tǒng)的差分方程為系統(tǒng)的激勵和初始條件為：求全響應。

第四十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日解：兩邊求Z變換代入初始條件并整理得：第四十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日第四十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日需要注意的是將k=0,1

代入y(k)

得y(0)=9,y(1)=13.9

顯然與題目所給的不一致。原因是題目所給出的實際上是系統(tǒng)的初始儲能，是不考慮輸入激勵下的初始條件yzi(0)=2,yzi(1)=4。

第五十頁，共八十一頁，2022年，8月28日

差分方程兩邊進行Z變換時，方程的左邊用移位性質時計入了初始條件，而方程的右邊沒有計入激勵的初始值。原因也在于此，方程的左邊計入的是系統(tǒng)的初始儲能與激勵無關。如果方程的左邊計入的是系統(tǒng)全響應的初值,則右邊也應計入激勵的初值。系統(tǒng)的激勵和初值為：重做例一

第五十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日解：兩邊求Z變換代入初值并整理得：第五十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日這種方法的實質是：第五十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日二、從信號分析的角度分析系統(tǒng)還是將全響應分為零輸入響應和零狀態(tài)響應來求，y(k)=yzi(k)+yzs(k)1、基于Z變換的方法。注意在求零輸入響應時應代入系統(tǒng)的初始條件

例2：已知系統(tǒng)的差分方程為

系統(tǒng)的初始條件和激勵為：求yzi(k)和yzs(k)

。

第五十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日解：1、令輸入為0，兩邊Z變換，需要注意的是這種方法只能用零輸入的初始條件2、令初始條件為0，兩邊Z變換第五十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日第五十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日2、基于系統(tǒng)函數(shù)H(z)的方法。(1)、零狀態(tài)響應yzs(k)①、e(k)←→E(z)

②、定義離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)③、Yzs(z)=E(z)?H(z)④、yzs(k)=Z-1[Yzs(z)](2)、系統(tǒng)函數(shù)H(z)第五十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日時域中零狀態(tài)響應的求法為計算卷積y(k)=e(k)*h(k)

由卷積定理Y(z)=E(z)?H(z)。所以h(k)←→H(z)第五十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日①、H(z)也可由轉移算子H(S)求。②、由離散系統(tǒng)的方框圖或信號流圖求H(z)。

(3)、零輸入響應yzi(k)顯然H(z)的極點就是系統(tǒng)的特征根，所以可以根據(jù)H(z)的極點寫出yzi(k)的一般形式，然后由系統(tǒng)的初始條件確定系數(shù)。第五十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日例3：已知系統(tǒng)的差分方程為系統(tǒng)的初值和激勵為：

求零輸入響應和零狀態(tài)響應。

解：第六十頁，共八十一頁，2022年，8月28日可以先求出零狀態(tài)響應的初值；然后用全響應的初值減去零狀態(tài)響應的初值求得零輸入的初始條件。確定c1,c2時必需要用零輸入的初始條件。第六十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日第六十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日第六十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日3、離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)（1）、H(z)

的表示s→z設H(z)有m個零點：。和n個極點：。則：

第六十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日知道了極點和零點H(z)就基本確定了，只是差一個比例因子H0。

也可以將它分子、分母的因子在Z平面中用矢量表示。

如果我們定義離散信號的傅里葉變換，系統(tǒng)函數(shù)也可以用它的幅頻特性和相頻特性來表示。也可用矢量作圖的辦法來估計離散系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線。

第六十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日(2)、H(z)與離散時間系統(tǒng)的模擬這是一個二階系統(tǒng)的差分方程，它的模擬方框圖可以方便地作出：第六十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日模擬方框圖也可根據(jù)H(z)來作。這樣作出的方框圖也稱為直接型模擬方框圖。引入中間變量q(k)則差分方程可寫成如下的等價形式：

將差分方程兩邊Z變換（不計初始條件）第六十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日可見它們沒有本質的區(qū)別，只是將單位延時器D改成Z-1，相應的變量改成Z域的變量即可。第六十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日若將寫成級聯(lián)和并聯(lián)也可畫出離散系統(tǒng)的級聯(lián)型和并聯(lián)型模擬方框圖。第六十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日

級聯(lián)形式不是唯一的其分子分母可有不同的組合。若零點和極點中有共軛復根則分解為二次因式。另外，兩種形式中的H1(z)，H2(z)，...，Hr(z)是不同的。由離散系統(tǒng)的模擬方框圖也可畫出它的信號流圖并用流圖的化簡和梅森公式求出任意兩個結點之間的傳輸值或傳輸函數(shù)。

第七十頁，共八十一頁，2022年，8月28日(3)、H(z)與離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可以證明離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是單位函數(shù)響應h(k)絕對可和：第七十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日第七十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日

在實際中我們通常根據(jù)H(z)的極點在Z平面中的位置來判別比較方便。如果H(z)的所有極點位于Z平面的單位園內則系統(tǒng)穩(wěn)定；如在單位園上僅有一階極點則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；如有極點位于Z平面的單位園外則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

如果H(z)的極點不易求得也可以用羅斯判據(jù)來判別，但羅斯判據(jù)只能判別是否有實部位正的根。

第七十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日為能夠使用羅斯判據(jù)可作一個影射將Z平面的單位園內影射到λ平面的左半平面，單位園外影射到λ平面的右半平面，單位園影射到λ平面的虛軸，這種影射稱雙線性變換。

第七十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日例：判別下列方程是否有