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1n等比數(shù)知識點總結(jié)典型例1n、等比數(shù)列的定義：nqn

*

q稱為公比、通項公式：aqn

a1nAA，首項；公比q推廣anm

n

n

anam、等比中項：（1）如a,b成比數(shù)列，那么A叫a的等差中項，即：注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有個（

A（2）數(shù)列a是等比數(shù)aan

、等比數(shù)列的前n項和S公式：（1）qSnan（2）時n

a11

n

an1

a11q11

n

n

'B

n

'（B,',B'為常數(shù)）、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對任意，都或nq(q為常數(shù)a{}為等比數(shù)列nnnn（2）等比中項(ann

{}為等比數(shù)列n（3）通項公式}為等比數(shù)列、等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若n

*

aqa{}為等比數(shù)列nnn、等比數(shù)列的性質(zhì)：（2）對任m,N

*

，在等比數(shù){}中，qnm

。（3）m(m,n,stN

*

，特別的，當，得nta

注：aa1n2

n

a3

等差數(shù)列

等差和比數(shù)列比較等比數(shù)列

*22nn2644*22nn2644

a

d

aa

(0)遞推公式

aa

aa

；

q

通項公式

aa1

1

（

,q

）中項

a

n

2

n

（

nN,0

）

Ga(nnN*,k0）項和

nSan1n(Sn

d

(q1Sq111

(2)重要

aamp

q

q性質(zhì)

(m,pq*mpq)經(jīng)典例透析

(mn,p,N*,np)類型一等比數(shù)列的項公式例1．比數(shù){}中a,a求a.n93711思路點：由等比數(shù)列通項公式，通過已知條件可列出關(guān)于q的元方程組，解a11，可得；或注意到下標1可以利用性質(zhì)可求，再a.113解析：法一：此數(shù)列公比q，則

8111

20

由(2)得：a

(1

)..........(3)∴

.1由(1)得(aq)64,∴1(3)÷(4)得：

1420，q∴

2

4

2

0,解q

2

q

12

2

時，a1

10

64q2

12

時aa1111法二：64,1337

332n1961651956nn1444546n451221332n1961651956nn1444546n4512213

x的兩實數(shù)根，∴或a7∵

2a,∴a33

a64.11總結(jié)升：①方程（組）求解是等比數(shù)列的基本方法，同時利用性質(zhì)可以減少計算量；解題過程中具體求解時，要設(shè)法降次消元，常常整體代入以達降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）舉一反：【變式1{a}為等比數(shù)列，a=3a=768，a?！敬鸢浮?6法一：公比為q則768=aq8

，

=256，∴q=±2∴a=±96；法二：2aa=±48q=±2，∴a=±96。【變式2{a}為等比數(shù)列，a＞0且aa=16，求aa的值?！敬鸢?4∵

aa89

16，又a＞0∴a=4∴

a44

345

64【變式3已知等比數(shù){}，7a，a。n2323n【答案

n

3

；法一：3

，∴

，2從而

11

解aa113當時；時1

12

。a

或n

3

。法二：由等比數(shù)列的定義aqaa21

2代入已知得

1)7,)7,(2)

2q

代入（1得2q，

a1nn369316191136936913131n12335121a1nn369316191136936913131n12335121或1－915－1

124由（2）1或1，以下同方法一。類型二等比數(shù)列的n項和公式例2．等比數(shù)列{a}的前n項和為S，若S+S=2S，求數(shù)列的公比q.解析：q=1，則有S=3a，S=6a，S=9a.因a≠0得S+S≠2S，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q≠1.3)(16)a9)由得，111

，整理得q3

(2q

6

3-1)=0，由q≠0，得2q6

-q3

-1=0，從而2q3

+1)(q

3-1)=0，因q3

≠1q

1，所2

。舉一反：1【變式1求等比數(shù)列1,,,39364【答案；243

的前6項和?！?/p>

1aq3∴

S

13

364243

?！咀兪?已知：{a為等比數(shù)列，aa=27S=13，求S.【答案121或；9∵

a)1aa，q13

，則a

1

=1或a=9∴

5

151

1或＝＝193

.【變式3在等比數(shù){}66n1n

n

128S，n。n【答案

12

或2n；

n1n112123123123985051n1n11212312312398505111444215134n15

a2

n

a∴a1281解方程組

aa128641，得a66a1n

或

a1an①

a641a2n

aq代S1，，1an

n

，解；aq②代n，得a1nan，解得。n∴

1q或2。2類型三等比數(shù)列的質(zhì)例等比數(shù)列{}，alog.n6333解析：∵{}是等比數(shù)列，aaaan11093847∴

loglogaloga(33102

a)(356

log

舉一反：【變式1正項等比數(shù){}中，若a·a=100;lga+lga+……+lga=_____________.n【答案100；∵lga

+lga+lga+……+lga=lg(a·a·a·……·a)而a·a=a·a=a·a=……=a·a∴原式=lg(a

·a)50

=50lg(a·a)=50×lg100=100。827【變式2在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為3________?！敬鸢?16；法一：這個等比數(shù)列為{}，其公比，n∵

827819a∴q323164∴

qq23

2

q1

3

1

6

3

3

3

216。827法二：這個等比數(shù)列為{}，公比，則aa，3加入的三項分別，，23

312n3112n212n3312n3112n212n31n123332n3n48845678423441234444n30由題a也成等比數(shù)列，∴a36，a133∴

224

333

。類型四等比數(shù)列前n項和公式性質(zhì)例4．等比數(shù){}中，已48，n

2n

，S。3n思路點：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k項和，第2個k項和，第3個k項和，……，第n個k項和仍然成等比數(shù)列。解析：法一：b=S=48,=S-S=60-48=12，=S-S觀察b=a+a+……+a,b=a+a+……+a=q(a+a+……+a)，b=a+a+……+a2n(a+a+……+a)22易知b,b,b成等比數(shù)列，2，1∴S

=b+S=3+60=63.法二：S，∴，2nn由已知得

(1)11a(1)1601

②÷①得1

5，即q4

③a③入①得64，1∴

)S)63。法三：{}為等比數(shù)列，，，也成等比數(shù)列，n2nn2∴

()2()，2nnn∴

S3

()2Sn

2

2

2

63。舉一反：【變式1等比數(shù){}中，公比q=2,S=1,S=___________.n【答案17S=S+a+a+a+a=S+aq4q+aq4q4=S+q4(a+a+a+a)=S+q4S=S(1+q

4

)=1×(1+2

4

)=17【變式2已知等比數(shù){}的前n項和為S,且S=10,S=40,求：S=n

102020201030301020101(5)(133)nnnnn111102020201030301020101(5)(133)nnnnn111234561121234136112335123456789n456123789456法一：，S-S，S-S構(gòu)成等比數(shù)列，∴(S-S)2=S·(S-S)即302=10(S-40),∴S=130.法二：2S≠S，∴q,∵

S

)

(1,1

40,∴,20

,

a1

∴

S

)

.【變式3等比數(shù){}的項都是正數(shù)，若S=80,S=6560，前n項中最大的一項為54，求nn.S80【答案∵n，∴q否則n)S65602n2∴

)S

=80S

2n

(12)，(2)÷(1)得：1+q=82,qn∵該數(shù)列各項為正數(shù)，∴由(3)知q>1∴{a}為遞增數(shù)列∴a為最大項54.∴a

=aq=54,∴aqn=54q,∴81a

1

∴

542aqq入(1)得(180(1，813∴q=3,∴n=4.【變式4等比數(shù){}中，若a+a=324,a+a=36,a+a=_____________.n【答案4；令b=a+a=a(1+q)，b=a+a=aq2

(1+q),b=a+a=aq

(1+q),易知：b,b,b成等比數(shù)列，∴b=2==4,a+a=4.【變式5等比數(shù){}中，若a+a+a=7,a+a+a=56,求a+a+a的值。n【答案448；∵{a}是等比數(shù)列∴(a+a+a)=(a+a+a)q3∴q3=8,∴a

+a+a=(a+a+a)q=56×8=448.

226338例5已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項不變，第三項減去32，則成等差數(shù)列若再將此等差數(shù)列的第二項減去4則又成等比數(shù)列.求原來的三個數(shù).226338思路點：恰當?shù)卦O(shè)元是順利解方程組的提.考慮到有三個數(shù)，應(yīng)盡量設(shè)較少的未知數(shù)，并將其設(shè)為整式形式解析：法一：成等差數(shù)列的三數(shù)為a,a+d.則a-d,a,a+d+32成等比數(shù)列，a-4,a+d成等比數(shù)列∴

)(a2a)(a)..........(2)d2由(2)得a=8由(1)得32a=d2+32d8(3)代(4)消，解d或3∴當

826d時,；當d=8時,a=103∴原來三個數(shù)為

226338,,或2,10,50.99法二：原來三個數(shù)為a,aq,aq2∴2a(aq

，則a,aq,aq

-32成等差數(shù)列，a,aq-4,aq2-32成等比數(shù)列由(2)得a

2q

，代入(1)解得q=5或q=132當q=5時a=2當q=13a.9∴原來三個數(shù)為2，10，50或，,.9總結(jié)升：選擇當?shù)脑O(shè)法可使方程簡單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-xd,a,a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為，x,xy。但還要就問題而言，這里解法二中y采用首項a，公比q來解決問題反而簡便。舉一反：【變式1一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上，，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列

nn5n+nnnnn2nn5n+nnnnn【答案為2，18或,；99設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aqaq；則2(aq+4)=a+aq

2

，且(aq+4)

2

=a(aq2

+32)解得a=2，

29

，2故所求的等比數(shù)列為2618或,.9【變式2已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數(shù)。【答案1、9或―1、―9或9、1或、3、a設(shè)這三個數(shù)分別為,aq，q由已知得

2a(2912

q4q2所qq1q3

19

，故所求三個數(shù)為：13、或―1、、―9或9、1或―9、―1?！咀兪?】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和12，求這四個.【答案0，8，或15，9，3，設(shè)四個數(shù)分別是x,y,12-y,16-x∴

x.......(y2y(16).......(由(1)得x=3y-12，代入2)得144-24y+y2

=y(16-3y+12)∴144-24y+y

2

=-3y

+28y,4y-52y+144=0,∴y2

-13y+36=0,∴y=4或9∴x=0或15∴四個數(shù)為0，48，或159，1.類型六等比數(shù)列的斷與證例6已知數(shù)列{a}的前n項和S滿足：log(S+1)=n(n∈N),求出數(shù)列a}的通項公式，并判斷{a是何種數(shù)列思路點：由數(shù){a}的前n項和S可求數(shù)列的通項公式，通過通項公式判斷{a}類.

5nnn+11nn1+nnnnnnnnnnnnnnnnnnn221nn734nn5nnn+11nn1+nnnnnnnnnnnnnnnnnnn221nn734nnnnnammm∴a=S=51-1=4,當n≥2時，a=S-S=(5-1)-(5

n-1-1)=5

-5

n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1而n=1時，4×5=4×51-1=4=a,∴nN時，a=4×5n-1由上述通項公式，可知{a}為首項為4，公比為的等比數(shù)列.舉一反：【變式1已知數(shù)列{C}，中C=2n+3n，且數(shù)列{C-pC}為等比數(shù)列，求常數(shù)p?！敬鸢竝=2或；∵{C-pC}是等比數(shù)列，∴對任意nN且n，有(C-pC)2=(C-pC)(C-pC)∵C=2n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n)]2=[(2n+2+3)-p(2n+1+3)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]即[

n+(3-p)·3

n]

2

=[(2-p)·2

n+1+(3-p)·3

n+1]·[(2-p)·2

+(3-p)·3

n-1]1整理得：(2)(3p)6

n

n

,解得：p=2或p=3,顯然C-pC≠0，故或為所求.【變式2設(shè){a}、公比不相等的兩個等比數(shù)列，=a+b,證明數(shù)列C不是等比數(shù)列.【證明數(shù)列{a、的公比分別為p,q，且p≠q為證{C}不是等比數(shù)列，只需C13

22

.∵

22

aq)1

2

1

2

1

2

2

,1a)(p11

2

q1

2

)21

2

1

2

2

(1

2

2

)∴

b(p,1321又∵p≠q,a≠0,b≠0,∴

0C

∴數(shù)列{C}不是等比數(shù)列【變式3判斷正誤：(1){a}為等比數(shù)a=aa；(2)若b2

=ac，則a，b，為等比數(shù)列；(3){a}，{b均為等比數(shù)列，則ab}為等比數(shù)列；(4){a}是公比為q的等比數(shù)列，{

2n

1}為等比數(shù)列；(5)若a，bc成等比，則loga，logb，c成等差.【答案

7134111nn1112mnnnn13nn112nn13151315131537134111nn1112mnnnn13nn112n