2022年福建省莆田市高考數(shù)學(xué)第三次質(zhì)檢試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.設(shè)集合4={x|/+%-12<0},B={x€N|-2<x<5},則AnB=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

2.若復(fù)數(shù)z=l+2i,則E=()

z+l

A.1-iB.3—iC.1+3iD.3+3i

3.芝諾是古希臘著名的哲學(xué)家，他曾提出一個(gè)著名的悖論，史稱芝諾悖論.芝諾悖論

的大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)母傎愔?，他的?/p>

度為烏龜?shù)氖叮瑸觚斣谒懊?00米爬，他在后面追，但他不可能追上烏龜.原

因是在競賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追了100米時(shí)，烏

龜已經(jīng)向前爬了10米.于是一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追

完烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追這1米.就這樣，

烏龜會(huì)制造出無窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距

離有多小，只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜.”試問在阿

略琉斯與烏龜?shù)母傎愔?，?dāng)阿喀琉斯與烏龜相距0.001米時(shí)，烏龜共爬行了()

A.11.111米B.11.11米C.19.99米D.111.1米

4.廈門中學(xué)生助手通過統(tǒng)計(jì)已知某校有教職工560人，其中女職工240人，現(xiàn)按性別

用分層抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工

人數(shù)之差是()

A.2B.4C.6D.8

5."tana=2"是"9sin2a+sin2a—8=0”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.已知a=2°,，b=log43,c=log52,則()

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.b>a>c

7.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的

對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦

點(diǎn).已知拋物線E：y2=2Px(0<p<4),一條平行于x軸的光線從點(diǎn)4(8,2p)射出，

經(jīng)過拋物線E上的點(diǎn)B反射后，與拋物線E交于點(diǎn)C,若A4BC的面積是10,則「=

()

A.-B.1C.-D.2

22

8.已知函數(shù)/(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,則a=()

A.3B.4C.5D.6

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.下列說法正確的是()

A.(%-2)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-32

B.-2>展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為1

C.(%-2>展開式中爐的系數(shù)為40

D.(工一2)5展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32

10.將函數(shù)y=2s譏(2x-$的圖象向右平移w">0)個(gè)單位長度，再將所得圖象上每

一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的也得到函數(shù)f(x)的圖象，若/(x)的圖象關(guān)于直線％=?

對(duì)稱，則8的取值可能為()

A—126R四24C—12，D—12

11.已知函數(shù)/(x)=IB；12，函數(shù)g(x)=/"(>)-a,則下列結(jié)論正確

I1-XI。XJL3,XJL

的是()

A.若g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是［1,2)

B.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0,1)

xXX

C.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)X1，x2,X3,x4(l<%2<3<4)>則芯3+%4=4

D.若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x2,X3,%4(*1<*2<%3<*4)，則X3X4的取值范圍是

137

K)

12.己知正四面體48CD的棱長為2聲，點(diǎn)E,F滿足同=A~BE-JD=AJF,用過4E,

產(chǎn)三點(diǎn)的平面截正四面體ABCD的外接球。，當(dāng);16［1,3］時(shí)，截面的面積可能為()

A.67rB.77rC.87rD.97r

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量力=(一4,3)1=(1,6)，若0+23)，石，則瓶=-

14.在正方體A8CD-4B1GD1中，E,F,G,"分別是棱4D,GZ\,BC,&&的中

點(diǎn)，則異面直線EF與G"所成角的余弦值是.

第2頁，共19頁

15.五一期間，廈門中學(xué)生助手的家庭(一共四個(gè)大人，三個(gè)小孩)一起去旅游，在某景

點(diǎn)站成一排拍照留念，則小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的概率是

16.已知雙曲線C：捻一￡=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)為F.圓。：x2+y2=a2與雙曲線

C的漸近線在第一象限交于點(diǎn)P,直線尸P與雙曲線C交于點(diǎn)Q,且麗=麗，則雙曲

線C的離心率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.在①b=2際1,②&=就］，③砥=(-l)nSn這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到

下面的問題中，并解答.

設(shè)等差數(shù)列｛每｝的前n項(xiàng)和為Sn,且as=5,S5=5.

(1)求%的最小值；

(2)若數(shù)列｛九｝滿足一，求數(shù)列｛bn｝的前10項(xiàng)和.

18.在AABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知a=2bcosBcosC+2ccos2B.

(1)求B的值：

(2)若c—a=l,且cosC=詈，求△ABC的面積.

19.如圖，在四棱錐P—4BCD中，四邊形ABCD為矩形，且E,

F分別為棱4B,PC的中點(diǎn)，BC=2AB=4,PA=PB=

PC=PD=3.

(1)證明：PEL平面PCC；

(2)求平面PEF與平面。EF的夾角的余弦值.

20.點(diǎn)外賣現(xiàn)已成為上班族解決午餐問題的一種流行趨勢(shì).某配餐店為擴(kuò)大品牌影響力,

決定對(duì)新顧客實(shí)行讓利促銷.促銷活動(dòng)規(guī)定：凡點(diǎn)餐的新顧客均可獲贈(zèng)10元、15元

或者20元代金券一張，中獎(jiǎng)率分別為3:和3,每人限點(diǎn)一餐，且100%中獎(jiǎng).現(xiàn)有

4公司甲、乙、丙、丁、戊五位員工決定點(diǎn)餐試吃.

(1)求這五人中至多一人抽到10元代金券的概率；

(2)這五人中抽到15元、20元代金券的人數(shù)分別用a,b表示,記X=ab,求隨機(jī)變

量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.已知橢圓C：攝+'=l(a>6>0)的離心率為爭點(diǎn)4(1,當(dāng)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線，與橢圓C相切于點(diǎn)。，且與直線％=2交于點(diǎn)E.試問在x軸上是否存在定點(diǎn)

P,使得點(diǎn)P在以線段DE為直徑的圓上？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在.請(qǐng)

說明理由.

第4頁，共19頁

已知函數(shù)/(%)=ex—ax{aER).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若Q=0,證明：對(duì)任意的%>1,都有/(%)N—3%3仇％+%2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：?集合4={x\x2+x—12<0}={x|—4<x<3},

B={xGN\-2<x<5]={0,1,2,3,4),

：.AdB={0,1,2}.

故選：B.

求出集合A,B,利用交集定義能求出AnB.

本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：復(fù)數(shù)z=l+2i,則券=詈=巖翳=2-l+3i=l+3t,

z+ll-l(1-0(1+1)

故選：C.

利用共較復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.

本題考查了共軌復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

3.【答案】B

【解析】解：由題意可知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，記為{冊(cè)}“1=10,q=0.1,

an=0.001,

10-0.001X0.1

所以%=與誓=11.11(米).

1-0.1

故選：B.

由題意可知，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，記為{5},%=10,q=0.1,an=

0.001,然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求.

本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

第6頁，共19頁

4.【答案】B

【解析】解：?.?某校有教職工560人，其中女職工240人，.?.男職工320人，故男女職工數(shù)

之比為愛=9

現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，

則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之比為土

即抽取的男職工人數(shù)占的比例為$抽取的女職工人數(shù)占的比例為?，

故抽取的男職工人數(shù)為28xi=16,抽取的女職工人數(shù)為28x|=12,

抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是16-12-4,

故選：B.

先求出男職工人數(shù)和抽取的女職工人數(shù)所占的比例，再根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)，即可求出

抽取的男職工人數(shù)和抽取的女職工人數(shù)，從而得出結(jié)論.

本題主要考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：「9sin2a+sin2a-8=0可等價(jià)轉(zhuǎn)化為："喀墳寫經(jīng)=8,即

sm^a+cos^a

9’0n即“=8,即tan2a+2tana—8=0,^tana=2或tcma=-4,

tan2a+l

ua2

Atana=2”是9sina+sin2a—8=0”的充分不必要條件,

故選：B.

先利用“弦”化“切”將結(jié)論等價(jià)化簡，再利用充分與必要條件概念即可求解.

本題考查充分與必要條件概念，三角恒等變化中“弦”與“切”的互化，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：丁a=201>2°=1,

b=log43e(pl).

c=logs2<log5V5=I，

：?a>b>c,

故選：c.

利用對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由題知拋物線焦點(diǎn)為Fg,O),AB〃x軸，

將y=2P代入功=2px,得%=2p,則B為(2p,2p),

由題可知B、F、C三點(diǎn)共線，BC方程為y=施(％-9，即丁=久化一方，

代入拋物線方程消去y得，8x2-17px+2p2=0,

設(shè)方程兩根為與、X,則％1+刀2=子，則|BC|=X1+%2+P=乎+P=§P，

2OOO

又4(8,2p)到BC：4%-3y-2p=0的距離d=陽一6rpi=%物，

???由S—6C=10,得|BC|,d=10=yp-=20=p=2.

故選：D.

根據(jù)4B〃x軸知B點(diǎn)縱坐標(biāo)為2p,代入拋物線方程可求B點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用B和尸求出直線

BC的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長公式可求BC長度，利用點(diǎn)到直線距

離公式可求4到直線BC的距離d,根據(jù)S-BC=|?|BC|?d=10,即可求出p.

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：令x+l=t,

則/'(%)=g(t)=t2+cost+a,

g'(t)=2t—sint,g"(t)=2—cost>0,

g'(t)在R遞增，而g'(0)=0,

故te(-8,0)時(shí)，g'(t)<0,g(t)遞減，

te(0,+8)時(shí)，g'(t)>0,g(t)遞增,

故=9(0)=1+a=4，解得a=3,

故選：A.

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，得到關(guān)于a的方程，解出即可.

第8頁，共19頁

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)4展開式的常數(shù)項(xiàng)為琮(一2>=-32,故A正確，

選項(xiàng)B：令x=L則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為(1-2)5=-1,故B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C：展開式中含爐的項(xiàng)為廢爐(一2)2=407,所以式的系數(shù)為40,故C正確，

選項(xiàng)力：二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為25=32,故。正確，

故選：ACD.

選項(xiàng)4根據(jù)二項(xiàng)式定理求出常數(shù)項(xiàng)即可判斷；選項(xiàng)B：令x=l,由此即可判斷；選項(xiàng)

C：求出展開式中含爐的項(xiàng)，由此即可求解；選項(xiàng)。：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可判斷.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：丫=25譏(2%-§的圖象向右平移9(0>0)個(gè)單位長度，得到函數(shù)曠=

2sin(2x-2R-9的圖象，

再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的也得到函數(shù)=2sin(4x-2R-

因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=W對(duì)稱，

所以4x?-20-g=/OT+5，k&Z,

所以9=合一?，kez,

又<p>0,

當(dāng)卜=-2時(shí)，W=詈；當(dāng)k=-l時(shí)，8=工；當(dāng)k=0時(shí)，3=卷；

故選：AD.

根據(jù)圖象的變換規(guī)律求出/(x)的解析式，進(jìn)而求出對(duì)稱軸，即可得到9的取值情況.

本題考查了函數(shù)y=Asin(Mx+w)的圖象變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)

思想，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解：令9(%)=/(%)-a=0,得f(%)=a,

即所以g(%)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)y=/(%)與y=Q圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù),

g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是(0,1),故8選項(xiàng)正確；

g(%)有4個(gè)不同的零點(diǎn)%1，%2?%3,%4(無1<%2<%3<%4)，

此時(shí)巧，％4關(guān)于直線1=2對(duì)稱，所以％3+%4=4,故。選項(xiàng)正確；

XX

由C選項(xiàng)可知％3=4-％4，所以％3%4=(4-X4)4=~4+4%4，

由于g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，a的取值范圍是(0,1)，

故0<—4%4+16%4—13<1,

所以當(dāng)<一*+4%4</故Q選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=a圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解

即可得答案.

本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

第10頁，共19頁

12.【答案】CD

【解析】解：如圖1,在棱BD上取點(diǎn)S,使得前=3放，BD=3B5.

取CD的中點(diǎn)G,連接4R,AS,RS,BG,AG,

記RSCBG=M,連接AM,過點(diǎn)4作AH1平面BCD,垂足為H,

則”為△BCD的中心，正四面體4BCD外接球的球心。在4”上，

4。為球。的半徑，

由題中的數(shù)據(jù)可得AM=4G=3HG=3HM=3&，AH=4,

設(shè)球。的半徑為R,則R2=一。日）2=B"2+。由，解得R=3,OH=1,

當(dāng);le[1,3]時(shí)，截面4EF從平面ARS轉(zhuǎn)動(dòng)到平面ACD,

要求截面的面積只需考慮球心。到截面的距離的取值范圍即可，

由題意可知CD〃RS,且COJ■平面4BG,如圖2,

圖2

過點(diǎn)。作ON_LAM,垂足為N,則ON_L平面ARS,

AD-MH

?：XAON~AAMH,,??。加=絲等=1,

AM

球心。到截面的距離de[0,1],

則截面圓的半徑N=R2_d2€[8,9],

???所求截面的面積se[8兀,9初.

故選：CD.

作出當(dāng)4=3時(shí)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為截面4EF從平面4RS轉(zhuǎn)動(dòng)到平面4CD的過程中截球所

截得圓面的面積范圍，利用球的截面的性質(zhì)，由產(chǎn)=R2-d2得出圓面的半徑平方的范

圍即可求解.

本題考查命題真假的判斷，考查空間向量運(yùn)算法則、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、球、線面垂直的判定、

截面等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

13.【答案】-2或3

【解析】解：根據(jù)題意，向量為=(一4,3)是=則1+23=(-2,3+2m)，

若0+2b)JLb，貝1(五+2b)?b=—2+(3+2m)m=0>解可得m——2或

故答案為：-2或

根據(jù)題意，求出方+2方的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式可得0+29)4=-2+

(3+2m)m=0,解可得m的值，即可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】：

【解析】解：如圖，設(shè)EG與4C交點(diǎn)為。，連接A1。，GO,

易證E/7/0G，GH”O(jiān)A[,

二異面直線EF與所成角即為乙41OCi或其補(bǔ)角，

設(shè)乙410cl=23,正方體的棱長為0，

—2,A]。=G。=%，:.sin6-~~—9，

C11

?,.cos20=1-2sin20=1—2x-=-,

33

???異面直線EF與所成角的余弦值是:

故答案為：

將兩異面直線所成的角平移轉(zhuǎn)化成兩相交直線所成角，再解三角形得所求角的余弦值.

本題考查異面直線所成角，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

第12頁，共19頁

15.【答案】專

【解析】解：根據(jù)題意，7人全排列有用種排法，

利用插空法，其中小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右都有大人的排法有用留利

故所求概率為P=攀=親

故答案為：表.

根據(jù)全排列求出7人的全排列，再利用插空法求出小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右都

有大人的排法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

本題考查古典概型概率計(jì)算公式，涉及插空法，考查學(xué)生歸納推理和運(yùn)算求解的能力,

屬于中檔題.

16.（答案］V5

fx2+y2=a2（a2

【解析】解:聯(lián)立"=、，解得I方

（x>0,y>0v—c

即尸（!，?）'則仍尸1=人仍。1=a，|。尸|=c,

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F',連接P/,

由于而=而，所以P是線段QF的中點(diǎn)，

因?yàn)?。是線段FF'的中點(diǎn)，

所以|QF'|=2a,|QF|=2b,

由雙曲線的定義可知2b-2a=2a,即6=2a,

???雙曲線的離心率為e=后+1=后

故答案為：V5.

依題意，解得P（9，B）,則|P用=b,|PO|=a,|OF|=c,設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F',

結(jié)合已知條件可得P是線段QF的中點(diǎn)，由此|QF'|=2a,|QF|=2b,進(jìn)而可得b=2a,

由此得解.

本題考查雙曲線的定義及其性質(zhì)，考查離心率的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

=Qi+4d=5

17.【答案】解：⑴由題，1=5%+.d=5,｛建2,

所以cin=—3+2(n-1)—2n—5,

則Sn=—3n+n(n-1)=n2—4n,

所以當(dāng)n=2時(shí)，S"的最小值為一4；

(2)設(shè)數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和為7；,

2n5

選①，由(1),bn=2~,

令2n—5>0,即n>|,

/I、"52n

所以“=_(?2-5川,n*<2

所以Tio=23+21+21+23+…+215=10+出H=43700;

1—4

選②，由(1),bn—(2n-5)(2n-3)-2Qn-5-2n-3)'

所以Ao號(hào)>《一9+9號(hào)+1心+?“+/一5="(一?―=一々；

選③，由⑴，%=(T)"-軌)=｛￡；；；/廣-9*,

所以Ao=(-12+4x1+22-4x2)+(-32+4X3+42-4x4)+-+(-92+4x

9+102-4x10)

=(1+2—4)+(3+4—4)+…+(9+10—4)

5=35.

【解析】(1)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求得如，d,利用二次函數(shù)的性質(zhì)

即可求解；

(2)選①,判斷小=｛；：］；'；:；，進(jìn)而求解;選②,利用裂項(xiàng)相消法即可求解;選③匕=

(-l)n(n2-4n)=-i,k€N*,利用分組求和法即可求解.

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因?yàn)閍=IbcosBcosC+2CCOS2B,

由正弦定理得sim4=2sinBcosBcosC+2sinCcos2B=2cosB(sinBcosC+sinCcosB)=

2cosBsin(B4-C)=2cosBsinA,

因?yàn)閟bM>0,

所以cosB=I，

第14頁，共19頁

由B為三角形內(nèi)角得8=g

(2)因?yàn)閏ost=嚕

x/3V13.127393\/39

則s譏A=sin(1+C)_xX，-----pi~-一xX'一''—一，'

1326

由正弦定理得，asinC=csinA,即源。=返。，

1326

所以4Q=3c,

又C—Q=1,

所以Q=3,c=4,

故AABC的面積S=-acsinB=ix3x4x—=3b.

222

【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求cosB,進(jìn)而可求B；

(2)由已知先求出sinC,進(jìn)而可求sinA,再結(jié)合正弦定理及c-a=1,結(jié)合三角形面積

公式可求.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬

于中檔題.

19.【答案】⑴證明：矩形4BCD對(duì)角線的交點(diǎn)記為。，可知OA=OB=OC=OD,

又因?yàn)镻8=P。，可知POJ.BO,同理可得P0J.4C,ACC\BD=0,

且4C,BDu底面ABCD,所以PO_L底面4BCD,

故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2),E(0,-2,0),C(l,2,0),。(一1,2,0),F(1,1,1),

從而有兩=(0,—2,-2),而=(1,1,-1),PC=(1,2,—2),而=(-1,2,-2),DE=

設(shè)平面PCO的法向量為沅=(卬yMi),則有fVgiJ之彳:In，可取沅=(°，1，1)，

所以而=—2記，所以PE1平面PCD.

(2)解：記平面PEF、平面DEF的法向量分別為記、t

由(1)中的數(shù)據(jù)，同理可得平面PEF、平面DEF的法向量分別為元=(-4,1，一1)、i=

(4,1,-5),

根據(jù)法向量的方向，可知平面PEr與平面DEF的夾角的余弦值即為cos(記，力=矗=

-176=+~2+=5=--^-21-.

x/42x-^1814

【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出相關(guān)平面的法向量及而，再運(yùn)用向量的

共線及向量的夾角公式可證得線面垂直.

(2)分別求得兩個(gè)半平面的法向量，然后結(jié)合所得的法向量計(jì)算面面角的余弦值即可.

本題主要考查線面垂直的證明，空間向量及其應(yīng)用，面面角的計(jì)算等知識(shí)，屬于中等題.

20.【答案】解：(1)設(shè)“這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件4,

易知“五人中至多一人抽到10元代全券”的概率：

PG4。)+P(&)=嗚嗆＞+讖針針=或+＞髀*

第16頁，共19頁

(2)由題意可知，當(dāng)a=b=O或Q=0,8。0或口工0,b=0時(shí)，X=0,

當(dāng)a=b=l時(shí)，X=1,

當(dāng)Q=1,b=2或a=2,b=l時(shí)，X=2,

當(dāng)Q=1,b=3或Q=3,Z?=l時(shí)，X=3,

當(dāng)Q=1,6=4或Q=4,b=1或Q=b=2時(shí)，X=4,

當(dāng)Q=3,6=2或Q=2,b=3時(shí),X=6,

??.X的可能取值為0,1,2,3,4,6,

P(X=0)=Cfx(|)5+若x(|)5-若x(i)5=震，

P(X=1)=酸3總，

P(X=2)=廢x(|)2x[Clx?2X*+己x：x(2=吳

P(X=3)=Cjxlx[C；xlx(1)3+C1x(1)2xl]

P(X=4)=Cixix(i)2+c[x?)4x：+程x：x戲xC)2x(》2=言,

P(X=6)=此X(i)2X(i)3+/XC)3x(i)2=言，

故X的分布列為:

X012346

2175525255

P

4323624324432324

故E(X)=0x霆+1X卷+2X-+3X券+4X言+6X言=與

【解析】（1）設(shè)“這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件4，由互斥事件的概率求和

公式求解“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率即可；

（2）由題意可知X可取0,1,2,3,4,6,求得相應(yīng)的概率值，列出分布列，最后求解

數(shù)學(xué)期望即可.

本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題.

仔=立

a2

21.【答案】解：（1）由題意得（三+工=1=>a2=2,b2=1,

\a22b2~

=爐+

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+y2=1.

（2）由題意，可知橢圓的切線方程的斜率一定存在，設(shè)切線方程的切點(diǎn)為DQoJo），切

線方程為等+yyo=L下面證明：

仁+y2=i2

聯(lián)立｛泉>消y得(得+_2&X+2-2羽=。，

［―+yy。=1

又9+羽=1，貝如衣=1一去

所以/-2XQX+2—2(1—=0?

2

所以(％-x0)=0，

及直線［與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)D(%o，yo),直線］與橢圓相切，

所以橢圓上切點(diǎn)為。(%0，%)的切線方程為等+yy0=1.

切線方程學(xué)+yy0=1與x=2聯(lián)立得玖2,守)，

nyo

則線段OE為直徑的圓的方