河南省鄭州市朝陽電腦學(xué)校2021年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)等比數(shù)列{an}中,前n項和為Sn,已知,則（）A． B． C． D．參考答案：D2.若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等，則這兩條直線A．平行

B．相交

C．異面

D．以上皆有可能參考答案：D略3.兩人打靶，甲擊中目標的概率為0.8，乙擊中目標的概率為0.7，若兩人同時射擊一目標，則他們都擊中目標的概率是（）A．0.6 B．0.48 C．0.75 D．0.56參考答案：D【考點】相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】設(shè)A表示“甲擊中目標”，B表示“乙擊中目標”，他們都擊中目標的概率是P（AB）=P（A）P（B），由此能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)A表示“甲擊中目標”，B表示“乙擊中目標”，兩人同時射擊一目標，P（A）=0.8，P（B）=0.7，∴他們都擊中目標的概率是P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.7=0.56．故選：D．4.四進制數(shù)201(4)表示的十進制數(shù)的是

()A．31

B．32

C．33

D．34參考答案：C略5.設(shè)橢圓(a>b>0)的兩個焦點是F1和F2，長軸是A1A2，P是橢圓上異于A1、A2的點，考慮如下四個命題：①|(zhì)PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；

②a-c<|PF1|<a+c；③若b越接近于a，則離心率越接近于1；④直線PA1與PA2的斜率之積等于-．其中正確的命題是A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①④參考答案：A6.過拋物線的焦點作直線交拋物線于，、，兩點，若，則等于（

）

A．4p

B．5pC．6p

D．8p參考答案：A略7.已知點到直線的距離相等，則實數(shù)等于（

）A. B. C.1 D.或參考答案：D8.在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=，若{}等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的第10項為(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點】等差數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的定義可得等差數(shù)列的公差，代入通項公式后化簡可得an，則答案可求．【解答】解：∵a1=1，a2=，且{}等差數(shù)列，則等差數(shù)列{}的首項為1，公差為，∴，則．∴．故選：C．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)的計算題．9.（原創(chuàng)）湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個半徑為6cm，深2cm的空穴，則該球表面積為(

)cm2.A．

B．

C．

D．參考答案：A10.如圖所示，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒芝麻，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為（

）A.

B.

C.

D.無法計算參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正六棱錐S-ABCDEF的底面邊長為2，高為.現(xiàn)從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機變量X表示所得三角形的面積.則概率的值_________.參考答案：【分析】該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，共有種取法，然后再找到在正六棱錐中三角形的面積為的三角形個數(shù)，即可求解【詳解】如圖，從該棱錐7個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，共有種取法，其中三角形的面積的三角形如，這類三角形共有6個，，答案是【點睛】本題考查組合的計算，屬于基礎(chǔ)題12.已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在R上恰有兩個不同的零點，則a的值為________.參考答案：【分析】求得x＝0，x＞0，x＜0，y＝f（﹣x）﹣f（x）的解析式，并作出圖象，由題意可得f（﹣x）﹣f（x）＝有兩個不等實根，通過圖象觀察即可得到所求的值．【詳解】函數(shù)，當(dāng)x＝0時，f（0）＝1，f（﹣x）﹣f（x）＝0；當(dāng)x＞0時，﹣x＜0，f（﹣x）﹣f（x）＝﹣x+1﹣（x﹣1）2＝x﹣x2；當(dāng)x＜0時，﹣x＞0，f（﹣x）﹣f（x）＝（﹣x﹣1）2﹣（x+1）＝x2+x；作出函數(shù)y＝f（﹣x）﹣f（x）的圖象，由函數(shù)g（x）在R上恰有兩個不同的零點，可得f（﹣x）﹣f（x）＝有兩個不等實根．由圖象可得＝±，即有＝±時，兩圖象有兩個交點，故答案為：±．【點睛】本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想方法，考查分類討論思想方法和化簡能力，屬于中檔題．13.朝露潤物新苗壯，四中學(xué)子讀書忙.天蒙蒙亮，值日老師站在邊長為100米的正方形運動場正中間，環(huán)顧四周.但老師視力不好，只能看清周圍10米內(nèi)的同學(xué).鄭魯力同學(xué)隨機站在運動場上朗讀.鄭魯力同學(xué)被該老師看清的概率為

.

參考答案：14.已知實數(shù)滿足則的最小值是

.參考答案：115.過圓外一點，引圓的兩條切線，切點為，則直線的方程為________。參考答案：

解析：設(shè)切點為，則的方程為的方程為，則16.曲線在點（1，2）處的切線方程是

．參考答案：y=3x-117.“”是“”的

▲

條件。(填寫“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”)參考答案：充分不必要

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知復(fù)數(shù)滿足(其中是虛數(shù)單位).(1)在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在直線上，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：(1)，∴對應(yīng)的點是，∴，∴.(2)∵，∴，∴.19.設(shè)關(guān)于的一元二次方程（1）若是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率；（2）若是從區(qū)間任取的一個數(shù)，是從區(qū)間任取的一個數(shù)，求上述方程有實數(shù)根的概率參考答案：20.隨著環(huán)保理念的深入，用建筑鋼材余料創(chuàng)作城市雕塑逐漸流行．如圖是其中一個抽象派雕塑的設(shè)計圖．圖中α表示水平地面，線段AB表示的鋼管固定在α上；為了美感，需在焊接時保證：線段AC表示的鋼管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD與AC異面． （1）若收集到的余料長度如下：AC=BD=24（單位長度），AB=7，CD=25，按現(xiàn)在手中的材料，求BD與α應(yīng)成的角； （2）設(shè)計師想在AB，CD中點M，N處再焊接一根連接管，然后掛一個與AC，BD同時平行的平面板裝飾物．但他擔(dān)心此設(shè)計不一定能實現(xiàn)．請你替他打消疑慮：無論AB，CD多長，焊接角度怎樣，一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行（即證明向量與，共面，寫出證明過程）； （3）如果事先能收集確定的材料只有AC=BD=24，請?zhí)嬖O(shè)計師打消另一個疑慮：即MN要準備多長不用視AB，CD長度而定，只與θ有關(guān)（θ為設(shè)計的BD與α所成的角），寫出MN與θ的關(guān)系式，并幫他算出無論如何設(shè)計MN都一定夠用的長度． 參考答案：【考點】直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面平行的判定． 【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離． 【分析】（1）作出BD在α內(nèi)的射影，根據(jù)勾股定理求出D到平面α的距離，即可求出線面角的大?。? （2）使用表示出，即可證明與，共面； （3）對（2）中的結(jié)論兩邊平方，得出MN的長度表達式，根據(jù)θ的范圍求出MN的最大值． 【解答】解：（1）設(shè)D在α上的射影為H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面， ∴過D作DK⊥AC于K，則AHDK為矩形，∴DK=AH． 設(shè)DH=h，則（AC﹣h）2+AH2=CD2，① ∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB， ∴AH2=AB2+BH2=AB2+（BD2﹣h2）② 將②代入①，得：（24﹣h）2+72+（242﹣h2）=252，解得h=12， 于是，∴∠DBH=30°，即BD與α所成的是30°． （2）解：∵，， ∴2==． ∴共面． ∴一定存在一個過MN的平面與AC，BD同時平行． （3）由（2）得=， ∴=++=++cos（）=288（1+sinθ）． ∴MN==12．（θ∈[0，））． ∴12≤MN＜24． ∴當(dāng)MN大于或大于24米時一定夠用． 【點評】本題考查了線面垂直的性質(zhì)，直線共面的判斷，向量法在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題． 21.［選修4－5：不等式選講］（本小題滿分10分）

已知是正數(shù)，證明：。參考答案：

證明：∵，又均為正整數(shù)，∴。22.（本題滿分13分）如圖8，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）設(shè)，在圓柱內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于三

棱柱內(nèi)的概率為．（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求的最大值；（ii）當(dāng)取最大值時,求直線與平面所成的角的正弦值．參考答案：（Ⅰ）因為平面ABC，平面ABC，所以，因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，

而，所以平面平面