試卷第=page22頁，總=sectionpages44頁2020-2021學(xué)年江蘇省南通市第一中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．等差數(shù)列中，，，則（）A．14 B．17 C．20 D．23【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件，求公差d，進(jìn)而求出的值【詳解】由等差數(shù)列中，，，令公差為d，則∴，解得而故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)求項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題2．兩數(shù)與的等比中項(xiàng)是（）A．1 B． C．或1 D．【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列等比中項(xiàng)的公式進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)與的等比中項(xiàng)是x，則滿足，則或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比中項(xiàng)的求解，屬于基礎(chǔ)題．3．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x}，則A∩B等于（）A．(－1，2) B．(－2，1)C．(0，1) D．(0，2)【答案】D【解析】先化簡(jiǎn)集合,再求得解.【詳解】由題得,所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法，考查指數(shù)函數(shù)的值域，考查集合的交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4．已知，（），則在數(shù)列｛｝的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定數(shù)列｛｝的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng).【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)減，在單調(diào)減，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，因此數(shù)列｛｝的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別為，選C.【點(diǎn)睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用對(duì)應(yīng)函數(shù)性質(zhì)，如等差數(shù)列通項(xiàng)與一次函數(shù)，等差數(shù)列和項(xiàng)與二次函數(shù)，等比數(shù)列通項(xiàng)、和項(xiàng)與指數(shù)函數(shù).本題利用了函數(shù)性質(zhì).5．已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）A． B．C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，當(dāng)a1<0，q<0時(shí)，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正確；當(dāng)q＝－1時(shí)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)q<0時(shí)，a3>a1?a3q<a1q?a4<a2，與D選項(xiàng)矛盾．因此根據(jù)基本不等式可知B選項(xiàng)正確．6．朱載堉（1536—1611），明太祖九世孫，音樂家、數(shù)學(xué)家、天文歷算家，在他多達(dá)百萬字的著述中以《樂律全書》最為著名，在西方人眼中他是大百科全書式的學(xué)者王子．他對(duì)文藝的最大貢獻(xiàn)是他創(chuàng)建了“十二平均律”，此理論被廣泛應(yīng)用在世界各國(guó)的鍵盤樂器上，包括鋼琴，故朱載堉被譽(yù)為“鋼琴理論的鼻祖”．“十二平均律”是指一個(gè)八度有13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音頻率是最初那個(gè)音頻率的2倍，設(shè)第二個(gè)音的頻率為，第八個(gè)音的頻率為，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意13個(gè)音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)公比為q，推導(dǎo)出q=，由此能求出的值．【詳解】依題意13個(gè)音的頻率成等比數(shù)列，記為{an}，設(shè)公比為q，則=，且=2a1，∴q=，∴==q6=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)頻率的比值的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基本性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．7．已知數(shù)列：，，，…，又，則數(shù)列的前n項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】可觀察出，然后用裂項(xiàng)相消法即可求出的前項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為:，，，，…所以，所以，所以的前項(xiàng)和為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.8．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為5，則A．119 B．121 C．120 D．1222【答案】C【解析】由已知推導(dǎo)出．，由此能求出n．【詳解】數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，，∴是以=4為首項(xiàng)，以d=4為公差的等差數(shù)列，，．又∵，則，

∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為5，即，，解得，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列項(xiàng)數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的遞推公式、累加法的合理運(yùn)用．二、多選題9．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若

，

，則下列說法正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】ABC【解析】由，，，，公比為整數(shù)，解得，，可得，，進(jìn)而判斷出結(jié)論.【詳解】∵，且公比為整數(shù)，∴，，∴，或（舍去）故A正確，，∴，故C正確；∴，故數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；而，故數(shù)列是公差為lg2的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式以及綜合運(yùn)用，屬于中檔題．10．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論成立的有()A．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為100B．若成等比數(shù)列，則C．若，則n的最小值為6D．若，則的最小值為【答案】AB【解析】由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列通過公式即可求得前10項(xiàng)和;通過等比中項(xiàng)可驗(yàn)證B選項(xiàng);因?yàn)?通過裂項(xiàng)求和可求得;由等差的性質(zhì)可知利用基本不等式可驗(yàn)證選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】由已知可得:,,,則數(shù)列為等差數(shù)列,則前10項(xiàng)和為.所以A正確;成等比數(shù)列,則,即,解得故B正確;因?yàn)樗?解得,故的最小值為7,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;等差的性質(zhì)可知,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等號(hào),因?yàn)?所以不成立,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AB.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查裂項(xiàng)求和,等比中項(xiàng),和基本不等式求最值,難度一般.11．下列說法正確的是（）A．若，滿足，則的最大值為；B．若，則函數(shù)的最小值為C．若，滿足，則的最小值為D．函數(shù)的最小值為【答案】CD【解析】，沒有最大值，故錯(cuò)誤；，函數(shù)，故錯(cuò)誤；，的最小值為2，故正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故正確.【詳解】，若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，沒有最大值，故錯(cuò)誤；，若，即，則函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故錯(cuò)誤；，若，，所以，所以，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以的最小值為2.故正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故正確；故選：CD【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12．設(shè)，分別為等差數(shù)列的公差與前項(xiàng)和，若，則下列論斷中正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，取最大值 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】首先根據(jù)，得到，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，解?對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)闊o法確定和的正負(fù)性，所以無法確定是否有最大值，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，，，因?yàn)?，所以，，，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查了前項(xiàng)和的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.三、填空題13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則______【答案】【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，兩種情況討論求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，不適合上式，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知，，，的等比中項(xiàng)是1，且，，則的最小值是______.【答案】4【解析】，的等比中項(xiàng)是1，再用均值不等式得到答案.【詳解】，的等比中項(xiàng)是1當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.15．在關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是__________．【答案】[－1，3]【解析】把不等式化為，討論，和時(shí)，求出不等式的解集，從而得出滿足題意的a的取值范圍【詳解】解：關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化為，當(dāng)時(shí)，解不等式得，當(dāng)時(shí)，解不等式得，因?yàn)椴坏仁降慕饧兄炼喟?個(gè)整數(shù)，所以或，所以a的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，考查分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題四、雙空題16．如圖，一粒子在區(qū)域{（x，y）|x≥0，y≥0}上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B1（0，1），接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)An、Bn、?n時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為an、bn、cn，請(qǐng)你嘗試求出＝_____，{bn}的通項(xiàng)公式bn＝_____．【答案】8【解析】根據(jù)題意，列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納總結(jié)，即可求得以及.【詳解】根據(jù)題意，容易可得：；；.由歸納可得：；且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故可得；容易知的奇數(shù)項(xiàng)是的奇數(shù)項(xiàng)減去1得到；的偶數(shù)項(xiàng)是的偶數(shù)項(xiàng)加上1得到；故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬綜合基礎(chǔ)題.五、解答題17．已知數(shù)列滿是，.（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，，利用“”法求解.（2）根據(jù)，，利用“”法求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋?所以，解得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?所以，解得，.所以，可得.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．設(shè)函數(shù)（1）若對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍；（2）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）由不等式恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求解；（2）要使對(duì)于恒成立，整理得只需恒成立，結(jié)合基本不等式求得最值，即可求解.【詳解】（1）由題意，要使不等式恒成立，①當(dāng)時(shí)，顯然成立，所以時(shí)，不等式恒成立；②當(dāng)時(shí)，只需，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）要使對(duì)于恒成立，只需恒成立，只需，又因?yàn)?，只需，令，則只需即可因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等式成立；因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了含參數(shù)的不等式的恒成立問題的求解，其中解答中把不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）由已知利用遞推公式，

可得，代入分別可求數(shù)列的首項(xiàng)，公比，從而可求.

（2）由（1）可得，利用乘“公比”錯(cuò)位相減法求和．【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)式為．設(shè)的公比為，由已知條件知，，，所以，，即．(2)，兩式相減得：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求法，錯(cuò)位相減法求數(shù)列通項(xiàng)，屬于中檔題.20．南康某服裝廠擬在年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費(fèi)用萬元滿足.已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入萬元.廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）.（1）將年該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬元表示為年促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；（2）該服裝廠年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，利潤(rùn)最大？【答案】（1）；（2）3萬元.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合已知條件，列出函數(shù)關(guān)系即可；（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行配湊，使之可用基本不等式，即可求得利潤(rùn)的最大值.【詳解】（1）由題意知：每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為，；（2）由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故該服裝廠年的促銷費(fèi)用投入萬元時(shí)，利潤(rùn)最大.【點(diǎn)睛】本題考查分式函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及用基本不等式求最值，屬綜合基礎(chǔ)題.21．已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在數(shù)列的不同項(xiàng)使之稱為等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出這樣的不同項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析．【解析】（1）先由已知求出，再由和可得，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）可求出，從而可得到，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）假設(shè)存在

滿足題意成等差數(shù)列，則有，化簡(jiǎn)可得

，左偶右奇不可能成立，從而可得結(jié)論【詳解】解：（1）由已知

，

，

所以

是

為首項(xiàng)，

為公比的等比數(shù)列

（2）

由（1）得

，

所以

（3）假設(shè)存在

滿足題意成等差數(shù)列，

代入得

，所以，即

，左偶右奇不可能成立．所以假設(shè)不成立，這樣三項(xiàng)不存在【點(diǎn)睛】此題考查由遞推式證明等比數(shù)列，考查