矩陣及其運(yùn)算課后習(xí)題答案第二章矩陣及其運(yùn)算課后習(xí)題答案1．已知線性變換：求從變量解到變量的線性變換．由已知：故2．已知兩個(gè)線性變換求從到的線性變換．解由已知所以有3．設(shè)解,求4．計(jì)算下列乘積：(1);(2);(3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6)5．設(shè),，問：(1)嗎?(2)(3)嗎?嗎?解(1),.則(2)但故(3)而故6．舉反列說明下列命題是錯(cuò)誤的:（１）若,則,則;（２）若（３）若或;,且,則.解(1)取(2)取(3)取7．設(shè),,但,,但且,,.且但.,求.解;利用數(shù)學(xué)歸納法證明:時(shí),顯然成立,假設(shè)時(shí)成立,則當(dāng)時(shí)由數(shù)學(xué)歸納法原理知:8．設(shè),求.解首先觀察,由此推測用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),顯然成立.假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，由數(shù)學(xué)歸納法原理知:9．設(shè)為階矩陣，且為對(duì)稱矩陣，證明也是對(duì)稱矩陣.證明已知：則從而也是對(duì)稱矩陣.10．設(shè)都是階對(duì)稱矩陣，證明是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是.證明由已知：充分性：即是對(duì)稱矩陣.必要性：.11．求下列矩陣的逆矩陣：(1)；(2)；(3);(4)解(1),..(2)故存在從而(3),故存在故(4).由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知12．解下列矩陣方程：(1);(2);(3);(4).解(1)(2)(3)(4)13．利用逆矩陣解下列線性方程組:(1)(2)解(1)方程組可表示為故從而有(2)方程組可表示為故故有14．設(shè)(為正整數(shù)),證明：.證明一方面，另一方面，由有故兩端同時(shí)右乘就有15．設(shè)方陣滿足證明由,證明及都可逆,并求及.得兩端同時(shí)取行列式:即,故.所以可逆,而故也可逆.由又由16．設(shè)為3階矩陣，，求。解因，故可逆，于是由==及=,得=-=,兩端取行列式得===-2.17.設(shè)矩陣可逆，證明其伴隨陣證因也可逆，且。=，由的可逆性及，可知可逆，且＝；另一方面，由伴隨陣的性質(zhì)，有=.用左乘此式兩邊得===,比較上面兩個(gè)式子，即知結(jié)論成立。18.設(shè)階矩陣的伴隨矩陣為證明(1)用反證法證明．假設(shè)由此得，證明：(1)若,則;(2).則有..這與矛盾，故當(dāng)時(shí),有.(2)由于取行列式得到:若則若由(1)知此時(shí)命題也成立故有19.設(shè),,求.解由可得故20.設(shè),且,求.解由方程，合并含有未知矩陣的項(xiàng)，得。又，其行列式-1,故可逆，用左乘上式兩邊，即得=21.設(shè)，，求。解由于所給矩陣方程中含有及其伴隨矩陣用左乘所給方程兩邊，得，因此仍從公式=著手。為此，，又，=2AB-8E==8E=4E.注意到=,是可逆矩陣，且=,于是＝4=.22.已知矩陣的伴隨陣，且，求。解首先由方程：來確定，由題18知==8,故＝2，其次化簡所給矩陣。(用左乘式兩邊)(因=)=6(因()可逆)23．設(shè),其中,,求.解故所以而故24.設(shè),其中,,求.解因=-6,故可逆，且可求得從而有又因?yàn)樗?.＝=＝＝＝25.設(shè)矩陣A、及都可逆，證明也可逆，并求其逆陣。證要證可逆，由于無法直接尋找一個(gè)X,使（用“和化積”思想表示乘可逆矩陣的乘積。）X=E,所以，考慮把因A、已及都可逆，，，于是====這樣，已表示成上最后一個(gè)等號(hào)三個(gè)可逆矩陣的乘積，于是可逆，由可逆矩陣的性質(zhì)，有===.26.計(jì)算解＝27．取,驗(yàn)證.檢驗(yàn):而,故28．設(shè),求及解，令,.則.故..29．設(shè)階矩陣及階矩陣都可逆,求．解將分塊為.其中,為矩陣,為矩陣.為矩陣,為矩陣.則由此得到故．30.求下列矩陣的逆陣：（1）（2）解（1