2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷一、選擇題（每小題5分，共30分）1．已知a、b、c是兩兩不相等的實(shí)數(shù)．則方程（x－a）（x－b）+（x－b）（x－c）+（x－c）（x－a）=0根的情況為（）．（A）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根（B）沒有實(shí)根（C）必有兩個(gè)相等的實(shí)根（D）方程的根有可能取值a、b、c2．已知，，且=8，則a的值等于（）（A）－5（B）5（C）－9（D）93．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則（）（A）h<1（B）h=1（C）1<h<2（D）h>24．鐘面上的1~12這12個(gè)數(shù)字把圓周12等分，以其中任意4個(gè)等分點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，其中矩形的個(gè)數(shù)是（）（A）10個(gè)（B）14個(gè)（C）15個(gè)（D）30個(gè)5．在△ABC中，AB<BC<CA，且AC－AB=2，AD為∠BAC的平分線，E為邊AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE交AD于點(diǎn)G，且=2007，則邊BC的長(zhǎng)為（）．（A）2008（B）2007（C）2006（D）20056．如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為O，連結(jié)AO，如果AB＝4，AO＝6eq\r(2)，那么AC的長(zhǎng)等于（）（A）12（B）16（C）4eq\r(3)（D）8eq\r(2)二、填空題（每小題5分，共30分）7、已知a、b、c均為非零實(shí)數(shù)，滿足：，則的值為_________．8、如圖，面積為的正方形DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于．9．函數(shù)的最小值是．10、如圖，兩個(gè)全等的邊長(zhǎng)為正整數(shù)的正△A1B1C1和正△A2B2C2的中心重合，且滿足A1B1⊥A2C2，若六邊形ABCDEF的面積為S=，其中，m、n為有理數(shù)，則的值為_______．11．正六邊形軌道ABCDEF的周長(zhǎng)為米，甲、乙兩只機(jī)器鼠分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿軌道奔跑，甲的速度為厘米／秒，乙的速度為8厘米／秒，那么出發(fā)后經(jīng)過(guò)___________秒鐘時(shí)，甲、乙兩只機(jī)器鼠第一次出現(xiàn)在同一條邊上．12．正整數(shù)M的個(gè)位上的數(shù)字與數(shù)20222022的個(gè)位上的數(shù)字相同，把M的個(gè)位上的數(shù)字移到它的左邊第一位數(shù)字之前就形成一個(gè)新的數(shù)N．若N是M的4倍，T是M的最小值，則T的各位數(shù)字之和等于___________．三、解答題（每小題15分，共60分）13．設(shè)，，為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式①②求a的取值范圍．14．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象G和x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)A，與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），且ac＝b．（1）求該二次函數(shù)的解析表達(dá)式；（2）將一次函數(shù)y＝－3x的圖象作適當(dāng)平移，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，記所得的圖象為L(zhǎng)，圖象L與G的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△ABC的面積．BBACMNPEF15．如圖，M、N、P分別為△ABC三邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，BP與MN、AN分別交于E、F，（1）求證：BF=2FP；（2）設(shè)△ABC的面積為S，求△NEF的面積．

16．從連續(xù)自然數(shù)1，2，3，…，2022中任意取n個(gè)不同的數(shù)．（1）求證：當(dāng)n＝1007時(shí)，無(wú)論怎樣選取這n個(gè)數(shù)，總存在其中的4個(gè)數(shù)的和等于4017；（2）當(dāng)n≤1006（n是正整數(shù)）時(shí)，上述結(jié)論成立否？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案一、選擇題：1．A．原方程可化為3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．其判別式為△=4（a+b+c）2－4×3（ab+bc+ca）=2[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]．因?yàn)閍、b、c兩兩不相等，則△>0，所以，方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根．2、解：由已知可得，．又=8，所以解得a=－9故選C．3、解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，c2）（|c|<|a|），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－a，a2），由勾股定理，得，，所以．由于，所以a2－c2=1，故斜邊AB上高h(yuǎn)=a2－c2=1故選B．4、C解：連結(jié)圓周上12個(gè)等分點(diǎn)，得6條直徑，以其中任意兩條為對(duì)角線的四邊形即為矩形，共15個(gè)矩形．5．B．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交CD于點(diǎn)F，設(shè)AB=x，則．有BD=DF．所以，DG為△BEF的中位線，則BG=GE．又∠BAG=∠EAG，所以，AB=AE=x．得CE=AC－AE=AC－AB=2．又因EF∥AD，所以=2．故DF=，CF=1．而及，故x=2006．因此，BC=2007．6．B解：在AC上取一點(diǎn)G，使CG=AB=4，連接OG，則ABCEFOG（第6題）△OGC≌△OABABCEFOG（第6題）∠AOG=90°，所以△AOG是等腰直角三角形，AG=，所以AC=16．7、－1或8．令=k，則b+c=（k+1）a，c+a=（k+1）b，a+b=（k+1）c．于是，2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c）．故a+b+c=0或b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c．所以=－1或8．8、解：設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為x，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為m，則，由△ADG∽△ABC，可得，解得xyO（第9題）于是xyO（第9題）由題意，，，，所以．9．解：y==其圖象如圖，由圖象可知，當(dāng)x=0時(shí)，y最小為－1．10、由對(duì)稱性知，A1B1⊥A2C2，B1C1⊥A2B2，C1A1⊥B2C2，即Rt△A1AF，Rt△A2AB，Rt△B1CB，Rt△B2CD，Rt△C1ED，Rt△C2EF全等．故考察Rt△A1AF．設(shè)A1B1=a（a∈N+），AA1=x，則AF=x，A1F=2x，有x+x+2x=a．解得x=．故S△A1AF=x2=（）2．則S=a2－3S△A1AF=a2－a2．由已知S=及a為正整數(shù)，m、n為有理數(shù)，得m=．11．乙走了厘米，于是解得．因x是整數(shù)，所以x=8，即經(jīng)過(guò)==秒時(shí)，甲、乙兩只機(jī)器鼠第一次出現(xiàn)在同一條邊上．12．36解：的個(gè)位數(shù)字是7，所以可設(shè)，其中k是m位正整數(shù)，則．由條件N=4M，得=，即．當(dāng)m=5時(shí)，k取得最小值17948．所以T=179487，它的各位數(shù)字之和為36．13、解法一：由①－2×②得，所以a>－1．當(dāng)a>－1時(shí)，=．又當(dāng)時(shí)，由①，②得，③④將④兩邊平方，結(jié)合③得化簡(jiǎn)得，故，解得，或．所以，a的取值范圍為a>－1且，．解法二：因?yàn)椋?，所以，所以．又，所以，為一元二次方程⑤的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故，所以a>－1．當(dāng)a>－1時(shí)，=．另外，當(dāng)時(shí)，由⑤式有，即或，解得，或．當(dāng)時(shí)，同理可得或．所以，a的取值范圍為a>－1且，14、解：（1）由B（0，4）得，c=4．G與x軸的交點(diǎn)A（，0），由條件，得，所以=，即A（，0）．ABDCOxy（第14題）ABDCOxy（第14題）（2）設(shè)圖象L的函數(shù)解析式為y=x+b，因圖象L過(guò)點(diǎn)A（，0），所以，即平移后所得一次函數(shù)的解析式為y=．令=，解得，．將它們分別代入y=，得，．所以圖象L與G的另一個(gè)交點(diǎn)為C（，9）．如圖，過(guò)C作CD⊥x軸于D，則S△ABC=S梯形BCDO－S△ACD－S△ABO==15．15．BACMNPEF（圖1）解：（1）如圖1，連結(jié)PN，則BACMNPEF（圖1）∴△ABF∽△NPF，．∴BF=2FP．（2）如圖2，取AF的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，則BACMNPEF（圖2）GMG∥BACMNPEF（圖2）G∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S．16．解：（1）設(shè)，…，是1，2，3，…，2022中任意取出的1007個(gè)數(shù)．首先，將1，2，3，…，2022分成1004對(duì)，每對(duì)數(shù)的和為2022，每對(duì)數(shù)記作(m，2022－m)，其中m=1，2，3，…，1004．因?yàn)?022個(gè)數(shù)取出1007個(gè)數(shù)后還余1001個(gè)數(shù)，所以至少有一個(gè)數(shù)是1001個(gè)數(shù)之一的數(shù)對(duì)至多為1001對(duì)，因此至少有3對(duì)數(shù)，不妨記為(互不相等)均為，…，中的6個(gè)數(shù)．其次，將這2022個(gè)數(shù)中的2022個(gè)數(shù)(除1004、2022外)分成1003對(duì)，每對(duì)數(shù)的和為2022，每對(duì)數(shù)記作(k，2022－k)，其中k=1，2，…，1003．2022個(gè)數(shù)中至少有1005個(gè)數(shù)被取出，因此2022個(gè)數(shù)中除去取出的數(shù)以外最多有1001個(gè)數(shù)，這1003對(duì)數(shù)中，至少有2對(duì)數(shù)是，…，中的4個(gè)數(shù)，不妨記其中的一對(duì)為．又在三對(duì)數(shù)，(互不相等)中至少存在