4．隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.通過(guò)具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的意義和性質(zhì)，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出數(shù)學(xué)期望邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算2.掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)抽象3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解決一些相關(guān)問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算設(shè)有12個(gè)西瓜，其中重5kg的有4個(gè)，重6kg的有3個(gè)，重7kg的有5個(gè)．[問(wèn)題](1)任取一個(gè)西瓜，用X表示這個(gè)西瓜的重量，試想X可以取哪些值？(2)X取上述值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率分別是多少？(3)試想每個(gè)西瓜的平均重量該如何求？知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1．一般地，如果離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi為離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱為期望)．2．離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望刻畫了X的平均取值．3．若X與Y都是隨機(jī)變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．離散型隨機(jī)變量的均值是在試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率最大的值嗎？或者是試驗(yàn)的結(jié)果之一嗎？提示：可以通過(guò)舉例說(shuō)明．?dāng)S一枚硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)X是隨機(jī)變量，取X＝0，1，且取每個(gè)值的概率都是eq\f(1,2)，，既不是試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率最大值，也不是試驗(yàn)的結(jié)果之一．實(shí)際上，均值是隨機(jī)變量取值的平均水平．知識(shí)點(diǎn)二特殊分布的均值1．兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則E(X)＝eq\a\vs4\al(p)．2．二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np．3．超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X～H(N，n，M)，則E(X)＝eq\f(nM,N)．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量，其隨X的變化而變化．()(2)隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平．()(3)若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝2，則E(2X)＝4.()(4)隨機(jī)變量X的均值E(X)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n).()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．若隨機(jī)變量X的分布列為X1234Pm則E(X)＝________．解析：由分布列的性質(zhì)可得m＝1－(＋)，于是E(X)＝1×0.1＋2×0.15＋3×0.35＋4×0.4＝3.05.答案：3．若ξ～B(5，p)，且E(ξ)＝eq\f(10,3)，則P(ξ＝2)＝________．解析：由于ξ～B(5，p)，所以E(ξ)＝5p，即5p＝eq\f(10,3)，因此p＝eq\f(2,3)，于是P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(5－2)＝eq\f(40,243).答案：eq\f(40,243)4．一個(gè)袋子里裝有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取4個(gè)，求其中所含白球個(gè)數(shù)的期望．解：根據(jù)題目知所含白球數(shù)X服從參數(shù)為10，4，5的超幾何分布，即X～H(10，4，5)，則E(X)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(4×5,10)＝2.離散型隨機(jī)變量的期望[例1](鏈接教科書第86頁(yè)練習(xí)A5題)已知隨機(jī)變量X的分布列如下.X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)(1)求E(X)；(2)若Y＝2X－3，求E(Y)．[解](1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1，解得m＝eq\f(1,6)，∴E(X)＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30).(2)法一：由(1)可知，E(X)＝－eq\f(17,30)，∴E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq\f(62,15).法二：∵Y＝2X－3，且由(1)可知，m＝eq\f(1,6)，∴Y的分布列如下Y－7－5－3－11Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)eq\f(1,6)eq\f(1,20)∴E(Y)＝(－7)×eq\f(1,4)＋(－5)×eq\f(1,3)＋(－3)×eq\f(1,5)＋(－1)×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,20)＝－eq\f(62,15).eq\a\vs4\al()求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟[提醒](1)由隨機(jī)變量的分布列求均值，根據(jù)定義計(jì)算即可；(2)對(duì)于隨機(jī)變量aX＋b，可利用均值的性質(zhì)求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解．比較兩種方式，顯然前者較方便；(3)在選擇題或填空題中出現(xiàn)特殊分布模型，可以直接利用公式計(jì)算．[跟蹤訓(xùn)練]若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)，則a－b＝()ξ0123PabA． B．C． D．解析：選B因?yàn)榉植剂兄兴懈怕屎蜑?，所以a＋b，因?yàn)镋(ξ)，所以a＋2b，a＋2b，解得a，b，a－b，故選B.實(shí)際問(wèn)題中的期望[例2](鏈接教科書第86頁(yè)練習(xí)A2題)某工廠生產(chǎn)A，B兩種元件，已知生產(chǎn)A元件的正品率為75%，生產(chǎn)B元件的正品率為80%，生產(chǎn)1個(gè)A元件，若是正品則盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)1個(gè)B元件，若是正品則盈利40元，若是次品則虧損5元．(1)求生產(chǎn)5個(gè)A元件所得利潤(rùn)不少于140元的概率；(2)設(shè)X為生產(chǎn)1個(gè)A元件和1個(gè)B元件所得總利潤(rùn)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解](1)法一：由題意知，生產(chǎn)5個(gè)A元件，若全為正品則所得利潤(rùn)為250元；若4個(gè)為正品，1個(gè)為次品，所得利潤(rùn)為4×50－10＝190(元)；若3個(gè)為正品，2個(gè)為次品，所得利潤(rùn)為3×50－2×10＝130(元)．由此可知生產(chǎn)5個(gè)A元件，當(dāng)5個(gè)全為正品或4個(gè)為正品時(shí)，所得利潤(rùn)不少于140元．記“生產(chǎn)5個(gè)A元件所得利潤(rùn)不少于140元”為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(4)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(5)＝eq\f(81,128).法二：設(shè)生產(chǎn)的5個(gè)A元件中有正品n個(gè)，由題意得50n－10(5－n)≥140，解得n≥eq\f(19,6).所以n＝4或n＝5.設(shè)“生產(chǎn)5個(gè)A元件所得利潤(rùn)不少于140元”為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(4)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(5)＝eq\f(81,128).(2)隨機(jī)變量X的取值范圍是{－15，30，45，90}．所以P(X＝90)＝eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5)，P(X＝45)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,20)，P(X＝30)＝eq\f(1,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(1,5)，P(X＝－15)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,20).故隨機(jī)變量X的分布列為X904530－15Peq\f(3,5)eq\f(3,20)eq\f(1,5)eq\f(1,20)則E(X)＝90×eq\f(3,5)＋45×eq\f(3,20)＋30×eq\f(1,5)＋(－15)×eq\f(1,20)＝66.eq\a\vs4\al()實(shí)際問(wèn)題中求離散型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望的步驟(1)根據(jù)ξ的實(shí)際意義，寫出ξ的取值范圍；(2)求出ξ取每個(gè)值的概率；(3)寫出ξ的分布列；(4)利用定義求出數(shù)學(xué)期望．其中第(1)、(2)兩條是解答此類題目的關(guān)鍵，在求解過(guò)程中應(yīng)注重應(yīng)用概率的相關(guān)知識(shí)．[跟蹤訓(xùn)練]某游戲射擊場(chǎng)規(guī)定：①每次游戲射擊5發(fā)子彈；②5發(fā)全部命中獎(jiǎng)勵(lì)40元，命中4發(fā)不獎(jiǎng)勵(lì)，也不必付款，命中3發(fā)或3發(fā)以下，付款2元．現(xiàn)有一游客，其每次射擊命中率均為eq\f(1,2)，且每次射擊互不影響．(1)求該游客在一次游戲中5發(fā)全部命中的概率；(2)求該游客在一次游戲中獲得獎(jiǎng)金的均值．解：(1)設(shè)5發(fā)子彈命中X(X＝0，1，2，3，4，5)發(fā)，由題意知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，則由題意得P(X＝5)＝Ceq\o\al(5,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＝eq\f(1,32).(2)易得X的分布列為X012345Peq\f(1,32)eq\f(5,32)eq\f(5,16)eq\f(5,16)eq\f(5,32)eq\f(1,32)設(shè)游客在一次游戲中獲得的獎(jiǎng)金為Y元，于是Y的分布列為Y－2040Peq\f(13,16)eq\f(5,32)eq\f(1,32)故該游客在一次游戲中獲得獎(jiǎng)金的均值為E(Y)＝(－2)×eq\f(13,16)＋0×eq\f(5,32)＋40×eq\f(1,32)＝－eq\f(3,8).常見(jiàn)分布的期望[例3](鏈接教科書第86頁(yè)練習(xí)A3題)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________．[解析]同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，至少有一枚硬幣正面向上的概率為1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,4)))，∴均值E(X)＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).[答案]eq\f(3,2)eq\a\vs4\al()常見(jiàn)的兩種分布的均值設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，則(1)兩點(diǎn)分布E(X)＝p；(2)二項(xiàng)分布E(X)＝np.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度．[跟蹤訓(xùn)練]罐中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，每次從中任取1球，記住顏色后再放回并攪勻，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的期望E(X)＝________．解析：因?yàn)槭怯蟹呕孛颍悦看蚊蛎眉t球的概率均為eq\f(3,5)，連續(xù)摸4次，記X為取得紅球的次數(shù)，則X服從參數(shù)為4，eq\f(3,5)的二項(xiàng)分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5)))，從而有E(X)＝np＝4×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)決策問(wèn)題[例4](鏈接教科書第83頁(yè)例2)某工廠有5臺(tái)機(jī)器，在1個(gè)月中，1臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的．出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為eq\f(1,2).已知1名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)有工人維修，就能使該廠獲得10萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將虧損3萬(wàn)元．．(1)若每臺(tái)機(jī)器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)有工人進(jìn)行維修，則稱工廠能正常運(yùn)行．若該廠只有2名維修工人，求工廠每月能正常運(yùn)行的概率；(2)已知該廠現(xiàn)有4名維修工人．①記該廠每月獲利為X萬(wàn)元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；②以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問(wèn)該廠是否應(yīng)該再招聘1名維修工人．[解](1)∵該工廠只有2名維修工人，∴要使工廠正常運(yùn)行，最多只能有2臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障，∴該工廠正常運(yùn)行的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＋Ceq\o\al(1,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋Ceq\o\al(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,2).(2)①X的取值范圍是{31，44}，P(X＝31)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＝eq\f(1,32)，P(X＝44)＝1－eq\f(1,32)＝eq\f(31,32).∴X的分布列為X3144Peq\f(1,32)eq\f(31,32)∴E(X)＝31×eq\f(1,32)＋44×eq\f(31,32)＝eq\f(1395,32).②若工廠再招聘一名維修工人，則工廠一定能正常運(yùn)行，工廠所獲利潤(rùn)為5××(萬(wàn)元)，∵eq\f(1395,32)，∴該廠不應(yīng)該再招聘1名維修工人．eq\a\vs4\al()1．均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如對(duì)體育比賽的成績(jī)預(yù)測(cè)、消費(fèi)預(yù)測(cè)、工程方案的預(yù)測(cè)、產(chǎn)品合格率的預(yù)測(cè)、投資收益的預(yù)測(cè)等方面，都可以通過(guò)隨機(jī)變量的期望來(lái)進(jìn)行估計(jì)．2．概率模型的三個(gè)解答步驟(1)審題，確定實(shí)際問(wèn)題是哪一種概率模型，可能用到的事件類型，所用的公式有哪些；(2)確定隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算隨機(jī)變量的期望；(3)對(duì)照實(shí)際意義，得出概率、均值等所表示的結(jié)論．[跟蹤訓(xùn)練]受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)售出每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x/年0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轎車數(shù)量/輛2345545每輛利潤(rùn)/萬(wàn)元123將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記出售一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1萬(wàn)元，出售一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2萬(wàn)元，分別求X1，X2的分布列；(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10).(2)依題意得，X1的分布列為X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)X2的分布列為X2Peq\f(1,10)eq\f(9,10)(3)由(2)，得E(X1)＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝eq\f(143,50)(萬(wàn)元)，E(X2)×eq\f(1,10)×eq\f(9,10)(萬(wàn)元)．因?yàn)镋(X1)＞E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．1．，則獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是()A．3 B．C． D．3解析：選C，則可得他獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是E(X)＝3×0.8＝2.4.2．有N件產(chǎn)品，