2021-2022學年鄭州二模中考模擬數(shù)學試題

（時間：100分鐘滿分：120分）

一、選擇題（每小題3分，共30分）

2

的相反數(shù)是（）

32人23

A.--B.~-C.-D.一

2332

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得一個數(shù)的相反數(shù).

22

詳解：--的相反數(shù)是一.

33

故選C.

點睛：本題考查了相反數(shù)，關鍵是在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)的相反數(shù).

2,據(jù)河南省統(tǒng)計局發(fā)布的信息，2021年我省對外貿易取得新突破，全年全省進出口總值8208.1億元，創(chuàng)

河南省進出口規(guī)模歷史新高，數(shù)據(jù)“8208.1億”用科學記數(shù)法表示為（）

A0.82081xlO12B.82081xlO7C.8.2081x10"D.8.2081xlO5

【答案】C

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14同＜10,"為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成。時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值》10時，〃是正數(shù);

當原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負數(shù).

（詳解］解：8208.1億=8208.1x100000000=8.2081x10".

故選：C.

【點睛】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為4X10,，的形式，其中l(wèi)4|a|＜100,n

為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定“的值以及〃的值.

3.下列立體圖形中，俯視圖與主視圖不同的是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】從正面看所得到的圖形是主視圖，從左面看到的圖形是左視圖，從上面看到的圖象是俯視圖.

【詳解】A.俯視圖與主視圖都是正方形，故該選項不合題意；

B.俯視圖與主視圖都是矩形，故該選項不合題意；

C.俯視圖是圓，左視圖是三角形；故該選項符合題意；

D.俯視圖與主視圖都是圓，故該選項不合題意；

故選C.

【點睛】此題主要考查了三視圖，關鍵是把握好三視圖所看的方向.屬于基礎題，中考?？碱}型.

4.如圖，在AABC中，AC=BC,點。和E分另IJ在A8和AC上，且連接DE,過點4的直線G”

與。E平行，若NC=40。，則NGAQ的度數(shù)為()

B.45°C.55°D.70°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和平行線的性質即可得到結論.

【詳解】解：：AC=BC,ZC=40°,

ZCAB=NB=gx(180°—40°)=70°,

GH//DE,

AZGAD=ZADE,NHAE=NAED,

"：AD=AE,

：.NADE=NAED,

：./GAD=ZHAE=-x(180°-ZBAC)=-x(180°-70°)=55°,

22

故選：C.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關

鍵.

5.下列各式計算正確的是()

A.2a2+3a2=5a4B.(-2ab)3=6abC.(3a+b)(3a-h)-9a2-b2D.

a，?(—2a)=—2a，

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項法則、積的乘方運算法則、平方差公式及單項式乘單項式運算法則，進行運算，

即可一一判定.

【詳解】解：A.2a2+3。2=542,故該選項錯誤，不符合題意；

B.(-2^)3=-8?3h\故該選項錯誤，不符合題意；

C.(3a+b)(3a—份=94一〃，故該選項正確，符合題意；

D.“3.(一2a)=-21,故該選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要了合并同類項法則、積的乘方運算法則、平方差公式及單項式乘單項式運算法則，熟練

掌握和運用各運算法則是解決本題的關鍵.

6.關于x的一元二次方程公+(2-4"-憶=()的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】判定一元二次方程判別式的符號，即可得出結論.

【詳解】解：'：A=(2-kf-4x]x(-k)=k2-4k+4+4k=k2+4>0

方程有兩個不相等的實數(shù)根

故選A.

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的判別式與根的情況，熟練掌握相關基礎知識是解題的關鍵.

7.現(xiàn)有四張分別標有數(shù)字-3,-1,0,2的卡片，它們除數(shù)字外完全相同.把卡片背面朝上洗勻，然后從中

隨機抽取兩張，則這兩張卡片上所標的數(shù)字都是非負數(shù)的概率為()A.工B.工C.=D.』

63212

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后求得所有等可能的結果與這兩張卡片上的數(shù)字都為非負數(shù)的情況，

再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】解：列出表格得：

-3-102

-3(-3,-1)(-3,0)(-3,2)

-1(-1,-3)(-1,0)(-1,2)

0(0,-3))(0-1)(0,2)

2(2-3)(2-1)(2,0)

?.?共有12種等可能的結果，這兩張卡片上的數(shù)字都是非負數(shù)的有2種，

...這兩張卡片上的數(shù)字都是非負數(shù)的概率為：一2==1,

126

故選：A.

【點睛】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比.

8.為了解新冠肺炎疫情防控期間，學生居家進行“線上學習”情況，某班進行了某學科單元基礎知識''線

上測試”，其中抽查的10名學生的成績如圖所示，對于這10名學生的測試成績，下列說法正確的是

人數(shù)

24.中位數(shù)95分B.眾數(shù)是90分C.平均

859095100

數(shù)是95分D.方差是15

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及方差的定義，逐項計算分析計算即可.

【詳解】解：A.由圖可知，中位數(shù)是90分，此選項錯誤：B.由圖可知，這組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是

90分，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是90分，此選項正確；

C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為91,此選項錯誤；

D.這組數(shù)據(jù)的方差為19,此選項錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查的知識點是中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及方差的概念，掌握求中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及

方差的方法是解此題的關鍵.

9.如圖，在平行四邊形OABC中，邊0C在x軸上，點A(1,6)，點C(3,0).按以下步驟作圖：分

別以點B,C為圓心，大于;BC的長為半徑作弧，兩弧相交于E,尸兩點；作直線E凡交AB于點H；連

【解析】

【分析】延長8A交y軸于點M,根據(jù)點A的坐標，求出AM,OM,AO,根據(jù)三角函數(shù)求出/AOM的度

數(shù)，進而求出NB的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的性質，求出的長度，進一步得到AH,MH,接下來

在Rt^HMO中利用勾股定理即可求出OH的長度.

【詳解】解：延長BA交y軸于點M,則軸，如圖所示：

￥

:點6

OCX

，AM=1,OM=y/j,

?.?在RfZVlMO中，tanZA(9M=—=^=—,AO^BC^y/AM2+OM2=業(yè)+陰-=2,

OM63

：./AOM=30。，

ZAOC=ZB=60°,

為8C的垂直平分線，BC=2,

；.8N=1,NBHN=3Q°,

：.HB=2BN=2,

?.?點C(3,0),

OC=AB=3,

:.AH=AB-BH=19

：.MH=MA+AH=2,

.?.在RfZV7例。中，OH=\IMH2+OM2=7?+(3F=V7>

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質，三角函數(shù)以及勾股定

理，綜合運用所學知識解決問題是解題的關鍵.

10.如圖1,點A是O。上一定點，圓上一點P從圓上一定點3出發(fā)，沿逆時針方向運動到點A,運動時

間是x(s),線段AP的長度是y(cm).圖2是y隨X變化的關系圖象，則點P的運動速度是()

1cm/sB.42an/sC.

圖1

n.

—cm/sD.

22

【答案】C

加斤】

【分析】通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)當X=1時,y有最大值2,即。。的直徑為2,半徑為1；再根據(jù)當x=0時,

y=AP=J^，由勾股定理逆定理可得NAOB=90。；進而求得點P運動Is,走了,圓周，即求出,圓周的長

44

即可.

【詳解】解：I?當x=l時，y有最大值2

的直徑為2,半徑為1

?.?當x=0時，y=AP=V2.

???O^+OB2=AP2

：.ZAOB=90°

.?.點P運動1S時，走了L圓周,

4

90"?247i

：.點P的運動速度是--=-cm/s

36002

故答案為C.

【點睛】本題考查了分析函數(shù)圖像、弧長公式、勾股定理逆定理等知識，掌握弧長公式和分析函數(shù)圖像的

方法是解答本題的關鍵.

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.計算:

【答案】6

【解析】

【分析】先分別化簡負整數(shù)指數(shù)募和絕對值，然后再計算.

【詳解】2+(6-2)=2+6-2=G，

故填：上.

【點睛】本題考查負整數(shù)指數(shù)惠及實數(shù)的混合運算，掌握運算法則準確計算是解題關鍵.

12.如圖所示，點C位于點A、B之間（不與A、B重合），點C表示l-2x,則x的取值范圍是..

曾一~一>［答案］

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出不等式組，求出解集即可確定出X的范圍.

【詳解】解：根據(jù)題意得：1<1一2%<2,解得：

2

則x的范圍是一，<x<0,

2

故答案為：—<x<0.

2

【點睛】考查了解一元一次不等式組，以及數(shù)軸，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

13.如圖，在AABC中，。為3c邊上的一點，以。為圓心的半圓分別與A8,AC相切于點M,N.已知

ZBAC=120°,AB+AC=16,MN的長為兀，則圖中陰影部分的面積為

【答案】24s3兀

【解析】

【分析】連接OM,ON,0A,設半圓半徑為r.由切線的性質可知QW，AB,ONLAC,從而可求出

ZMON=60°,進而可求出NMQB+NM9C=120°.由MN的長為工利用弧長公式即可求出r的

長.根據(jù)所連輔助線結合題意，易證△AONMAAOMBL）,即得出

ZAON=ZAOM=|AMON=30°,AM=AN=5從而可求出我0+CN的長.最后根據(jù)

S陰影=S.OBM+KOCN—（S扇形MOE+S扇形NOF）結合二角形和扇形的面積公式，即可求出S陰影?

【詳解】解：如圖，連接。M,ON,OA,設半圓半徑為八

AOMYAB,ONLAC,

ABAC=120°,

：.AMON=0。,

ZMOB+ZNOC=120。.

....［八.60萬「

,MN的長為m??［口八=九'

1oU

OM-ON=r=3.

ON=OM

在向AAON和中，｛八，八

AO=AO

：.AAON-AOM(HL),

：.ZAON=ZAOM=-AMON=30°,AM=AN.

2

AM=AN=4ON=6

3

3M+CN=A8+AC-(4M+AN)=16-2G

丁S陰影+S40cN一（S扇形MOE+S扇形NOP）

???S陰影=；r(BM+CN)—^^=；x3x(16—26)—^^=24—3百一3萬?

23602360

故答案為：24-36一34.

【點睛】本題考查切線的性質，弧長公式，三角形全等的判定和性質，含30。角的直角三角形的性質，勾

股定理和扇形的面積公式，綜合性強.連接常用的輔助線并利用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵.

14.如圖，矩形A8CD和矩形CEFG,AB=1,BC=CG=2,CE=4,點尸在邊G尸上，點。在邊CE上，

且尸尸=C。，連結AC和PQ,M,N分別是AC,PQ的中點，則的長為—.

【解析】

【分析】連接CF,交PQ于R,延長AD交EF于H,連接AF,則四邊形ABEH是矩形，求出FH=1,

AF=ylAH2+FH2=762+12=V37>由ASA證得△RFP^ARCQ,得出RP=RQ,則點R與點M重

合，得出MN是ACAF的中位線，即可得出結果.

【詳解】解：連接CF,交PQ于R,延長AD交EF于H,連接AF,如圖所示：

則四邊形ABEH是矩形，；.HE=AB=1,AH=BE=BC+CE=2+4=6,

四邊形CEFG是矩形，

.?.FG//CE,EF=CG=2,

.\ZRFP=ZRCQ,/RPF=/RQC,FH=EF-HE=2-1=1,

在RSAHF中,由勾股定理得：AF=+切2=后+尸=J方，

在4RFPfDARCQ中，

ZRFP^ZRCQ

<PF=CQ,

NRPF=NRQC

.".△RFP^ARCQ(ASA),

，RP=RQ,

.?.點R與點M重合，

?.,點N是AC的中點，

；.MN是ACAF的中位線，

；.MN=LAF=L義屈=叵-

222

故答案為：’37

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理、

全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理等知識；作輔助線構建全等三角形是解題的關鍵.

15.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,相交于點。，ZBCD=45°,AB=BD=6,E為AD

上一動點，連接8E,將ZXABE沿BE折疊得到AEBE，當點F落在平行四邊形的對角線上時，。尸的長為

【答案】3或地

5

【解析】

【分析】分點尸落在8。上和落在AC上，兩種情況討論求解即可.

【詳解】解：如圖1所示，當點尸落在對角線8。上時，

由翻折的性質可得A8=BF,

"：AB=BD=6,

：.BF=BD,即尸與D重合,

?..四邊形ABC。是平行四邊形，

0F=0B=-BD=3；

2

如圖2所示,當點尸在AC上時，設4C與BE交于G,

NBAD=NBCD=45°,

'：AB=BD,

：./8W=NBD4=45°,

22

ZABD=90°,：.AO=y]AB+OB=3石，

由折疊的性質可知AG=FG,AFLBE,

：.ZBGO=ZABO=90°,

XVZAOB=ZBOG,

：.△AOBS/^BOG,

.OGOB

''~OB~~OA

；.OG=&也

OA5

；?AG=FG=OA-OG=

5

9J5

/.OF=FG-OG=-^

5

故答案為：3或迷

5

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，折疊的性質,

勾股定理，相似三角形的性質與判定，正確畫出圖形，利用分類討論的思想求解是關鍵.

三、解答題(共8個小題，共75分)

/m2—n7—4A\rn4-1

16.如果m2-4m—6=0,那么代數(shù)式......-+1的值.

Im+3Jm~-9

【答案】〃?？—+3，9

【解析】

【分析】根據(jù)分式的加法和除法法則化簡題目中的式子，然后根據(jù)m2-4m-6=0可以得到

(2--4、m+l

機2_4根=6,然后整體代入化簡后的式子即可解答本題.【詳解】解：.m....m-+1

(???+3)m-9

m2-m-4+m+3(/?+3)(7M-3)

=-----------------------------------------f

m+3m+l

+—l)+—3)

~~*f

m+3m+l

=(m-l)(m-3),

=m2-4m+3，

*?*m2—4m—6=0，

m2-4m=6，

*,?原式=加？—4m+3=6+3=9.

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是掌握整體思想的應用.

17.為了解某市八年級數(shù)學期末考試情況，進行了抽樣調查，過程如下，請將有關問題補充完整.

收集數(shù)據(jù)隨機抽取甲乙兩所學校的各20名學生的數(shù)學成績進行分析(滿分為100分)：

甲：9189778671319793729181928585958888904491

乙：8493666976877782858890886788919668975988

整理、描述數(shù)據(jù)

按如表數(shù)據(jù)段整理、描述這兩組數(shù)據(jù)

分析數(shù)據(jù)

分段

30<x<3940<x<4950<x<5960<x<6970能9780<x<89900閆00

學校

甲1100378

乙0014285

兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表:

統(tǒng)計量

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

學校

甲81.85ab268.43

乙C8688115.25

經統(tǒng)計，表格中

(1)a=sb=；c=；

得出結論

(2)若甲學校有600名八年級學生，估計這次考試成績80分以上人數(shù)為；

(3)可以推斷出_____學校學生的數(shù)學水平較高，理由為：(至少從兩個不同的角度說明推

斷的合理性)

【答案】(1)88、91、81.95；

(2)450人；(3)甲，兩校平均數(shù)基本相同，而甲校的中位數(shù)以及眾數(shù)均高于乙校，說明甲校學生的

數(shù)學水平較高

【解析】

【分析】(1)將甲學校20名學生數(shù)學成績重新排列，再根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)及平均數(shù)的概念求解即可得出

〃、b、c的值；

(2)依據(jù)甲學校考試成績80分以上人數(shù)所占的百分比，即可得到有600名八年級學生中這次考試成績80

分以上人數(shù)；

(3)從平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)的角度分析，即可得到哪個學校學生的數(shù)學水平較高.

【小問1詳解】

解：將甲學校20名學生數(shù)學成績重新排列如下：

31、44、71、72、77、81、85、85、86、88、88、89、90、91、91、91、92、93、95、97,

QOIOO

所以甲學校20名學生數(shù)學成績的中位數(shù)。="上=88,眾數(shù)6=91,

2

乙學校20名學生數(shù)學成績的平均數(shù)為:

c=-X(84+93+66+69+76+87+77+82+85+88+90+88+67+88+91+96+68+97+59+88)

20

=81.95；

故答案為：88、91、81.95；

【小問2詳解】

解：若甲學校有600名八年級學生，估計這次考試成績80分以上人數(shù)為：

7+8,,

600x----=450(人)，

20

故答案為：450人；

【小問3詳解】解：可以推斷出甲學校學生的數(shù)學水平較高，

理由為：兩校平均數(shù)基本相同，而甲校的中位數(shù)以及眾數(shù)均高于乙校，說明甲校學生的數(shù)學水平較高.

故答案為：甲：兩校平均數(shù)基本相同，而甲校的中位數(shù)以及眾數(shù)均高于乙校，說明甲校學生的數(shù)學水平較

高.

【點睛】本題主要考查了統(tǒng)計表，眾數(shù)，中位數(shù)以及方差的綜合運用，利用統(tǒng)計圖表獲取信息時，必須認

真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖表，才能作出正確的判斷和解決問題.

18.如圖1,點A、2是雙曲線(k>0)上的點，分別經過4、B兩點向x軸、y軸作垂線段AC、

x

(2)在雙曲線上移動點A和點B,上述作圖不變，得到矩形。CGF(陰影部分)，點A、8在運動過程中

始終保持S陰影=1不變(如圖2),則AAGB的面積是否會改變？說明理由.

3

【答案】(1)y=-

x；

(2)ZkAGB的面積保持不變，理由見解析

【解析】

【分析】(1)結合題意，根據(jù)正方形和直角坐標系的性質，得推導得點A的橫坐標為1,點8縱坐標為

1;根據(jù)雙曲線的性質，得4C=晨BF=k,根據(jù)三角形面積公式，通過列一元二次方程并求解，即可得到答

案；

（2）結合題意，根據(jù)矩形和直角坐標系的性質，設矩形OCGF的邊。C=,〃，得推導得點A的橫坐標為

13

〃?，點B縱坐標為一；根據(jù)雙曲線的性質，得AC=—,BF=3tn,根據(jù)三角形面積公式計算，即可得到答

mm

案.【小問1詳解】

???四邊形OCGF是正方形，

OC=CG=GF=OF,ZCGF=9。。,

???陰影部分S=OG=1,

OC=CG=GF=OF=1,

...點A的橫坐標為1,點B縱坐標為1.

?點A、B是雙曲線產工上點，

X

，點A的縱坐標為尸;二左，點8橫坐標為廣彳二鼠

:?AC=k,BF=k,

：.AG=k-1,BG=k-l.

???ZAGB=ZCGF=90°,

:?S>AGB=—AG*BG=—（左—1）2=2,

22

解得：63或（舍去）

3

???雙曲線的解析式為尸一；

x

【小問2詳解】

設矩形OCGF的邊OC=〃？

???陰影部分S=OC?OF=1,

1

???OF=—

m

：.點A的橫坐標為m,點B縱坐標為—.

m

3

?點A、8是雙曲線產一上的點

x

3

/.點A的縱坐標為產一,點B橫坐標為x=3m.

m

3

?\AC=—,BF=3m.

m

"：FG=OC=m,CG=OF=—,

m

312

AG=AC-CG=---=—,BG=BF-FG=3m-m=2m,

mmm

112

S&AGB=-AG?BG=一,—?2/n=2

22m

...點A、B在運動過程中AAGB的面積保持不變.

【點睛】本題考查了雙曲線、一元二次方程、矩形、正方形的知識；解題的關鍵是熟練掌握雙曲線的性

質，從而完成求解.

19.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌C。，小明與同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部。的仰角

為53。，沿坡面AB向上走到8處測得廣告牌頂部C的仰角為45。，已知山坡AB的坡度i=1：舊，AB=

10米，AE=21米.（測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：72-1.41,73=1.73,

sin53°~—,cos53°~—,tan530--)

553

（1）求,點8距水平地面AE的高度;

（2）求廣告牌CD的高度.（結果精確到01米）

【答案】（1）點8距水平地面AE的高度為5米；（2）廣告牌CD的高度約為6.7米

【解析】

【分析】（1）過點8作BMLAE,BNLCE,垂足分別為M、N,由坡度的含義可求得NBAM=30。，由含

30度角的直角三角形的性質即可求得結果；

（2）由輔助線作法及已知得四邊形BMEN是矩形，可得NE=BM,BN=ME=MA+AE,在放△BMA中可求

得AM的長，從而可得BN；再由/CBN=45"可得CN=BN,進而得CE的長；在放△D4E中由三角函數(shù)知

識可求得DE,根據(jù)CD=CE-DE即可求得CD的長.

【詳解】（1）如圖，過點B作BNLCE,垂足分別為M、N,

口

口由題意可知，NCBN=45°,ZDAE=53°,/=1：垂，,A8=10米，AE=21米.

口

口

目

i=1：6=——=tanZBAM,

AM

：.ZBAM=3）0°,：.BM=—AB=5（米），即點B距水平地面AE的高度為5米;

2

（2）'JBMLAE,BNLCE,CELAE,

，四邊形8WEN為矩形，

:.NE=BM=5米,BN=ME,

在放△A8M中，/54M=30°,

，AM=AB.cos30?—AB=5y/3（米），

2

：.ME=AM+AE=^（573+21）米=BN,

,JNCBN=45。,

：.CN=BN=（5百+21）米，

：.CE=CN+NE=（573+26）米，

在配AAOE中，ZDAE=53°,AE=21米,

4

Z.DE=AE?tan530-21x-=28（米）,

3

：.CD=CE-DE=5百+26-28=5百-2=6.7（米）,

即廣告牌CD的高度約為6.7米.

本題是解直角三角形的應用，考查了矩形的判定與性質，解直角三角形，關鍵是理解坡度的含義，構造適

當?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關線段.

20.閱讀下面材料?，并按要求完成相應的任務：

阿基米德是古希臘的數(shù)學家、物理學家.在《阿基米德全集》里，他關于圓的引理的論證如下：

命題：設AB是一個半圓的直徑，并且過點B的切線與過該半圓上的任意一點。的切線交于點T,如果作

OE垂直AB于點E,且與AT交于點立則DF=EF.

圖①圖②

證明：如圖①，延長AD與BT交于點H,連接。。，OT.

,：DT,27與。。相切

??......,C1)

：.BT=DT

是半。。的直徑，ZADB=90°,②

在△8。“中，BT=DT,得到NTDB=NTBD,

可得NH=NTDH,

：.BT=DT=HT.

.DF_AFEF_AF

又,：DE〃BH,

''~HT~~AT~BT~~AT

.EF_DF

又?：BT=HT,：.DF=EF.

任務：

(1)請將①部分證明補充完整；

(2)證明過程中②的證明依據(jù)是；

(3)如圖②，ABED是等邊三角形,8E是。O的切線，切點是5,。在。。上，CD1AB,垂足為C,連

接AE,交C。于點F,若。。的半徑為2,求CE的長.

【答案】(1)見解析；

(2)直徑所對的圓周角是直角；

⑶C￡=V21

【解析】

【分析】(1)通過DT、BT為切線，易得RdODT四RMOBT,從而可以繼續(xù)證明；

(2)直徑所對的圓周角是直角；

(3)先根據(jù)NE8D=60。，得到NOBA=30。，由外角得到NOOC=60。，△OOA為等邊三角形，并求出0G

CD,再求出被、ED,最后再RAEBC求出結果即可.【小問1詳解】

如圖，連接0。OT,

0D=0B

在Rt&0DT和RtA0BT中，《

0T=0T

:.RsODTgRsOBT(HL)；

【小問2詳解】

直徑所對的圓周角是直角；

故答案為：直徑所對的圓周角是直角.

【小問3詳解】

如圖，連接。。，CE,

'.ZEBD=60°,

：.ZDBA=30°,：./OOC=60。,

"：0D=0A,...△0D4為等邊三角形，

"：0D=2,CDLAB,：.0C=^-0A=l,DC=￡,

:.BD=2g=BE,

V0B=2,，BC=3,

在配AEBC中，由勾股定理得：CE=5.

【點睛】本題考查圓的切線的性質，等邊三角形的性質、利用相切轉化直角并通過勾股定理求出線段是解

題的關鍵.

21.黃石市在創(chuàng)建國家級文明衛(wèi)生城市中，綠化檔次不斷提升.某校計劃購進A,B兩種樹木共100棵進

行校園綠化升級，經市場調查：購買A種樹木2棵，B種樹木5棵，共需600元；購買A種樹木3棵，B

種樹木1棵，共需380元.

(1)求A種，B種樹木每棵各多少元；

(2)因布局需要，購買A種樹木的數(shù)量不少于B種樹木數(shù)量的3倍.學校與中標公司簽訂的合同中規(guī)

定：在市場價格不變的情況下(不考慮其他因素)，實際付款總金額按市場價九折優(yōu)惠，請設計一種購買

樹木的方案，使實際所花費用最省，并求出最省的費用.

【答案】(1)A種樹每棵100元，B種樹每棵80元；(2)當購買A種樹木75棵，B種樹木25棵時，所需費

用最少，最少為8550元.

【解析】

【分析】(1)設A種樹每棵x元，B種樹每棵y元，根據(jù)“購買A種樹木2棵，B種樹木5棵，共需600元；

購買A種樹木3棵，B種樹木1棵，共需380元”列出方程組并解答；

(2)設購買A種樹木為x棵，則購買B種樹木為(100-x)棵，根據(jù)“購買A種樹木數(shù)量不少于B種樹

木數(shù)量的3倍”列出不等式并求得x的取值范圍，結合實際付款總金額=0.9(A種樹的金額+B種樹的金

額)進行解答.

【詳解】解：(1)設A種樹木每棵x元，B種樹木每棵y元，根據(jù)題意，得

2x+5y=600\x-100

<3x+y=380，解得=，

答：A種樹木每棵100元，B種樹木每棵80元.

(2)設購買A種樹木x棵，則B種樹木(100—x)棵，則瘧3(100-x).解得瘧75.

又100-xK),解得爛100.r.75<x<100.

設實際付款總額是y元，則y=0.9[100x+80(100-x)J.

B|Jy=18x+7200.

V18>0,y隨x增大而增大,...當x=75時，y最小為18x75+7200=8550(元).

答：當購買A種樹木75棵，B種樹木25棵時，所需費用最少，為8550元.

22.在平面直角坐標系xOy中，己知拋物線V=爐+3一1)%—2a,其中。為常數(shù)，點A(T,2a-4)在此

拋物線上.(1)求此時拋物線的解析式及點4的坐標；

(2)設點M(x,y)為拋物線上一點，當—3WXW2時，求縱坐標y的最大值與最小值的差；

(3)已知點P(—2,—3),。(2,—3)為平面直角坐標系內兩點，連接PQ.若拋物線向上平移c個單位(c>0)

的過程中，與線段尸。恰好只有一個公共點，請直接寫出c的取值范圍.

【答案】(1)丫=爐+2》一6.點4的坐標為(7,2)

(2)9(3)0<c<3或c=4

【解析】

【分析】(1)將點的坐標代入解析式中求解得出。的值即可；

(2)根據(jù)拋物線的開口方向以及對稱軸方程可得尸-1時y取最小值，k2時y取最大值，進而求解;

(3)分類討論拋物線頂點落在PQ上，點尸